一階微分方程的初等解法53129資料

1、第二章一階微分方程的初等解法例 2-1 求(3x2 6xy2)dx (6x2y 4y 4 2 2 2 2)dy = 0 的通解。解解法1不定積分法。令 M (x, y) = 3x2 6xy2, N (x, y) = 6x2y 4y3，則 型 =12xy,型 -12xy，所以該方程為恰當(dāng)方程。U-=M (x, y) = 3x2 6xy2， .x關(guān)于x積分，得U =x3 3x2y2:(y)，= 6x2y 川：L(y) = N (x, y) = 6x2 y 4y3，-:y： (y)=4y3，y) = yd (x y )3( y dx x dy ) = 0積分，得原方程的通解為x3 3x2y2 y4二

2、C。評注：求解一個對稱形式方程的時候，首先應(yīng)當(dāng)判定它是不是恰當(dāng)方程，如果是，則就可以直接進(jìn)行求解，否則求其積分因子將方程化為恰當(dāng)方程來求解。實際應(yīng)用中，往往在判斷一個方程為恰當(dāng)方程之后，并不需要嚴(yán)格按照解法1和解法2的常規(guī)方法求解，而可以采用分項組合的辦法，先把那些本身已構(gòu)成全微分的項分出，再把剩下的項湊成全微分，這，所以通解為U (x, y) = x3 - 3x2 y2 寸。解法2公式法利用恰當(dāng)方程求解方法 3中公式得方程通積分為x 22y 34322U (x, y) = 0 (3x +6xy ) dx 十4 y dy = y + x + 3x y = C解法3分組法去括號重新分組可得232

3、23x dx 4y dy 6xy dx 6x ydy 二 0樣可以簡化運算量，因此需要熟悉以下二元函數(shù)的全微分公式:X2ydx xdd(xy)，百，必， yyxxydx -xdyxyX= d(ln )，y(arctg 為，x yy警轡 Jd(ln，x y 2 x yxdx ydyx2 y2=-d ln( x22-2)，汀 x yx_y)，xd： yd? * r2)。x y例2-2求方程（x3 12 2 2x y )dx x ydy = 0 的通解。解經(jīng)判斷衛(wèi)= 2y,也 =2xy，所以該方程不是恰當(dāng)方程。分組得3 2 2 2x dx x ydy (x y )dx = 01顯然前兩項具有積分因子

4、 -1，相應(yīng)的全微分為x1 2 2xdx ydy d(x y )，要使得J (X)x y，一（x）二2即可，這樣就找到了一個積分因子x1成立。只需取 (X (x2 y2) . y2)=2x + y原方程兩邊同乘 J，可得評注：當(dāng)一個方程不是恰當(dāng)方程時,尋求積分因子便成了求解此類方程的一個有效途徑,2 , 2 . 2X (X y )12( 22x (x y )分組組合法降低了尋找積分因子的難度，這就要求大家熟悉常見的二元函數(shù)的全微分公式。例2-3求方程ydx (y _x)dy二0的通解。FMfN解 由于 =1,亠=_1，所以原方程不是恰當(dāng)方程。jy；x解法1可將原方程改寫為ydx -xdy =

5、-ydy，1 1左端有積分因子 J(x, y) 2或J(x, y) 2，但考慮到右端只與變量y有關(guān)，故取xyJ(x,y)12y為方程的積分因子，因此有ydx - xdydyy兩邊積分可得通解7 lny=C，易見y = 0也是原方程的解。解法2也可將原方程改寫為dydx這是齊次方程。令y = ux，即可進(jìn)行求解。解法3將x看作未知函數(shù)，原方程可化為線性方程dxdy從而可就x進(jìn)行求解。解法.:M ；:N由于_M只與y有關(guān)，所以存在關(guān)于 y的積分因子以叫x, y)為恰當(dāng)方程，即y丄乘以方程兩端，得到y(tǒng)1 1 xdx dy )dy = 0， y y yydx -xdy dy0 ，y yx因而通解為評注

6、：解法In y二C，另外，易見y = 0也是原方程的解。1體現(xiàn)了選取積分因子的一般原則，如果積分因子選取恰當(dāng)，則解方程的難度就會降低；解法 2運用了轉(zhuǎn)化的思想，將原方程化為可分離變量的方程；解法3體現(xiàn)了在求解常微分方程時， 變量x和y具有同等重要的地位， 有時侯將x看成y的函數(shù)，則方 程很容易就x求解；當(dāng)判定 二丫 -只與x有關(guān)或者 x只與y有關(guān)時，運用解N-M法4可以很方便地求出積分因子，但必須注意乘以積分因子 J(x, y)可能出現(xiàn)使此積分因子為零的多余特解，同時應(yīng)該注意在對方程作同解變形時，會不會產(chǎn)生漏解的情況，如果漏掉則應(yīng)當(dāng)補上，例如上例當(dāng)中的y = 0。例2-4證明方程M(x, y)

7、dx - N(x,y)dy =0有形如=J (x, y)的積分因子的充要條件是(竺)(n M )4二f (x, y)，并求出這個積分因子。cyexexcy證 由定理2.2，方程M (x, y)dx - N(x, y)dy=0有積分因子 J(x, y)的充要條件是M -N |N -M =(y。L、.Lv/-h/x :y :y :x令 (x, y)，則有Nd mA二 d；:x d鋼-M 二(一x，y)即 - (x, y)滿足下列微分方程-M,上式右端應(yīng)為:(x, y)的函數(shù)，這就證明了 - :(x,y)為方程的積分因子的充要條件為：MN)(n=-m 二)Oxcy二 f(x,y) o求解一階方程-5

8、二 f (x, y)，得積分因子為 珂(x, y) =e-f ;(x,y)d ；：o評注：此例對于探索積分因子極為有用。若令廠 x_y, 廠 xy, 口二-, 廠 x2 _y2, 口二x ay卩，則可分別獲得方程 yM (x, y)dx N (x, y)dy 二 0具有以下形式二 f (x - y),廠 f (xy),(1 =f(x2_y2), 口 = f(x“y)積分因子的充分必要條件分別為:M : N;：y fxN 二 M:M: NxN 二 yM:y: x-學(xué)yN - xM1：M；:N:y:x，P-N -Mxy.:M二(x-y),(xy),八(二：(x2 y2)2M ：N、y (-) cy

9、exyN xMx)o例 2-5 求方程 x(4ydx 2xdy) y3(3ydx 5xdy)二 0 的通解。1解對第一項，可以取 M二土，乘以M得 x y4dx 2dy “A 2 .+= 2d (In x y ),x y因此可取第一項的積分因子通式為斗匚宀x2y 。x y同理第二項的積分因子通式為x3y5 。xy容易看出，若取G, t二t2,G2 t =t，則兩項的積分因子相等為:：Ji x2y 口1,3 522 x y x y xy這就是方程的積分因子。如果不易觀察到所需的t:2 t，我們可以嘗試用下面方法。現(xiàn)設(shè)尬1 Z = Z ,事2 Z = Z卩，我們選擇a, B使得12 a a 13

10、3 5 3x y4 x yx yxy成立。比較兩邊x, y的次數(shù)，得2a-2=33-1a1=53_42心，y)二 X y。從而求得因此兩項的公共積分因子，即原方程的積分因子是將所求積分因子乘原方程兩端得j 324t/2534b4x y dx 2x ydy 3x y dx 5x y dy = 0 ,即有y2dx4 x4dy2 廣y5dx3 x3dy5 =0 ,故通解是x4y2 x3y5 =C。評注：用分組法求積分因子的關(guān)鍵在于方程恰當(dāng)分組和尋求各組的共同積分因子。例2-6求下列方程的通解。1) (5xy 3y3)dx (3x2 7xy2)dy =02) (3xy3 -2y)dx (x2y2 x)

11、dy = 0解1)解法1 設(shè)有積分因子 - y :，則(51y -1 - 3x :廠 3)dx (3x ： 2 廠 - 7x ： 1 廠 2 )dy = 0為恰當(dāng)方程，于是：(5x： j 3x：y3)：(3x： 2廠一7x：2) ?訶;x5(“廠一右3)xV2=3(：2)x廠 一7(：1)x：廠2，比較系數(shù)可得3 _5P =_17 -30 =2解之得因此，積分因子為將所求積分因子乘以分組后方程5xydx 3x2dy i i3ydx 7xy2dy 二 0即有f 335117355x2y2dx +3x2y2dy3x2y2dx + 7x2y2dyJ)(3553(7337、y2dx2 +x2dy2y2

12、dx2 +x2dy2=0l丿=0，容易得出原方程的通積分是532 2 x2 y2 -37-x2y2 =C。解法2方程各項重新組合為因此可取第一個括號的積分因子通式為x3y 。x y同理第二個括號的積分因子通式為：2 2 。xy 2 lx2丿現(xiàn)設(shè)癥1 z二z，住2 Z = Z卩，我們選擇a, B使得13 a a 1_2 B-x y x y x yxy成立。比較兩邊x, y的次數(shù)，得*從而求得因此兩項的公共積分因子，即原方程的積分因子是m(x, y)將所求積分因子乘以分組后方程3223xy dx x y dy亠2 ydx xdy = 0得即有3x2ydx x3dyydx3 x3dyx22x八門-d

13、x + p dy =0 , y-dx2 +x2d yi y力=0容易得出通積分是23 x322x yC 或 x y x Cy。y評注：待定指數(shù)法提供了當(dāng)對稱形式方程的系數(shù)為多項式時求積分因子的一個一般性方法，具有一定的實用價值。如果通過比較指數(shù)法解不出:-和1 ,或者和1得表達(dá)式比較復(fù)雜，這時可以考慮利用分組法來求積分因子。例 2-7 解方程(y x3y 2x2)dx (x 4xy4 8y3)dy 二 0。解方程各項重新組合為ydx xdy 亠xydx 4xy4dy L 2x2dx 8y3dy = 0 ,d xy i亠 xy x2dx 4y3dy i亠 2dd xy xyd2d 工 y43=0

14、,3此時，可令u = y4,v二xy，上方程化為3dv vdu 2du = 0 ,解之得u l n 2 v = C ,回代變量得原方程的通積分為x3 + 3y4 + 31 n 2 + xy = 3C，另外xy = -2也是方程的解。評注：通過變量變換，降低了方程的求解難度，但是究竟采用怎樣的變換，一般而言, 沒有規(guī)律可循。從此例中我們可以看到， 有時可將方程變形， 在這個過程中觀察其特點，尋 找恰當(dāng)?shù)淖儞Q。例2-8 求解方程 y = xy In x (xy )2。解設(shè)烏汀，原方程寫為2(1)y 二 xpln x (xp)兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得到pxlnx plnx p 2xp2 2px2， dxd

15、x化簡后得到(ln x 2xp)(x p) = 0， dx由此可得P二詈或x乎二-p2x dxIn xi代入(1)，得原方程的一個特解y = (lnx)2 ；-2x4由方程x = -p，解得p=C，代入(1),得到原方程的通解 y = CI nx + c2。 dxx評注：屬于第一類能解出 y(或x)的方程，引進(jìn)參數(shù)些=p，則原方程變?yōu)閐xy = f (x, p)，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得到p的關(guān)系式。注意要全面考察這個關(guān)系式，有的已經(jīng)是p的直接表示式，對應(yīng)方程的奇解；而有的還須求解關(guān)于p的微分方程，對應(yīng)方程的通解。例2-9 求解方程 (y )2COS2y y Sin xCOSx COS y-Siny

16、 COS2 x = 0。解 這是隱式方程的求解問題。令 sin y 二 u,sin x = v，則du 二(cos y)dy, dv = (cos x)dx, y = COSx ， cosy dv代入原方程，得/2 / du、2 丄 /.2、du.2(cos x)( ) (sin xcos x)sinycosdvdv整理得方程(巴)2 v巴，dv dv(叫2 v蟲2v。2dv dv這是關(guān)于u,v的克萊洛方程，其通解為U = C2 vc，奇解為u2 QIC y 從而可得原方程的通解和奇解分別為sin y = c2 csin x,sin y =2評注：運用適當(dāng)?shù)淖儞Q將方程轉(zhuǎn)化為可積類型或一些特殊方

17、程，從而即可求解原方程,這就需要熟悉常見的可積方程，例如迫努利方程，黎卡提方程，雅可比方程等。 例2-10求滿足下列關(guān)系式的函數(shù)y(x)。2x1) y(x)= x22 0 y(t)dtXXo2)y(t)dt (x _t)2ty(t) ty2(t)dt 二 xoo解1 )給方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)得y (x)二 2x 2y(x),則求解積分方程2 xy(x) = x 2 y(t)dt就等價于求解初值問題了 = 2y+ 2x:y(0) = 0解上面微分方程得其通解為y = e2xC2 xe，xdx，即2x1y = Ce - x -211滿足初始條件的解為 y = 1 e2x - X -丄。222)給方程

18、兩端關(guān)于x求導(dǎo)得x2y(x) 02ty(t) ty2(t)dt =1，對上方程兩端關(guān)于x再求導(dǎo)得2y (x) 2xy(x) xy (x) = 0。這樣，求解原積分方程xx20 y(t)dt 0 (x -t)2ty(t) ty (t)dt = x就等價于求解初值問題y = _2xy _ xy2(0)=1方程y - -2xy - xy 2是迫努利方程，兩端同除以- y2，變形為“2x 丄 x dx yy解之得方程 y = -2xy - xy2得通解為-=eCy2xe dx x2二 ex C-Cex21x2 ,- 2 de 122即 y =2。2Cex - 1故滿足初始條件的解為評注：本題是一類積分方程的求解問題，通常是通過對方程關(guān)于 x求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的初值問題。需要熟悉變上限函數(shù)的求導(dǎo)公式(x)d 0 f (t)dtdx二 f( (x)屮dx和含參變量積分的求導(dǎo)公式B(x)dx a(x) f(x，t)dt S(x);：xf(x)cf(x,t)dt + f (x, B(x) /(X) f (x, oc(x) a(x)。例2-11設(shè)函數(shù)f(t)在0, ：)上連續(xù)，且滿足方程)dxdyf (t)二 e4. f ( , x2y2x24y2t22解顯然有f (0) =1。由于Ifx2 y4t2(丄