直線與圓中的最值問題

1、直線與圓苴線與閱的位置莫系有二種：相離、相切、相交,判定方法冇兩種I代數(shù)法川罐:Ax+BlO山甌x2+r4-Jr+EiiH-F=Ot聯(lián)立符水科級“七5步R呂匾有關(guān)的懇侍問酸可借助副蹭利用數(shù)形菇育克解，一般地；J.lv+ft+C=0!M+上斗Dr*塚* f=000相交斗壬氏方程.:嚴(yán)-厶“匚朋 f F O相離 則W=F Q相切f/CFO相交竜如尸三傍式加宦問題可券化為勒克嗾斜率封最旬可題.邢如;=+式的最(S問題，可蔣化為動宜線秋距 的最道冋臣影叩住一吩+ h-A形式的最值冋題可輕幗匕已定 的動酔輕的最值冋訓(xùn).NLB2，%),則它的弦長、弦長公式：直線與二次曲線相交所得的弦長1直線具有斜率k,直

2、線與二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為AB Vi k2 |捲 x Q(1 k2) (X| X2)2 4濟(jì)2注:實(shí)質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的,只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因?yàn)閥i % k(Xi X2)，運(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計(jì)算.2當(dāng)直線斜率不存在是，則AB yi y2 .三、過兩圓 C: x2 + y2 +Dx + Eiy + Fi = 0和C2: x2 + y2 +D2x + E2y + F2 = 0的交點(diǎn)的圓系方程，一般設(shè)為 x 2+y2 +Dx +Eiy + Fi+X (x2 + y2 +Dx + Ey+F?) = 0 ( 入為參數(shù))此方程不包括圓 C2.四、對稱問題i和最小，化異側(cè)

3、2差最大，化同側(cè)例題分析i、如果實(shí)數(shù)x, y滿足等式(x 2)2 y2 3 ,(i)求的最大值和最小值；(2)求yxx的最大值與最小值;(3)求x2 y2的最大值與最小值.2、已知兩定點(diǎn)A( 3,5) , B(2，i5)，動點(diǎn)P在直線3x 4y 40上，當(dāng)PA + PB取最小值時(shí)，這個(gè)最小值為().A. “13 B. 362C. 15、5D. 5 10 .23、已知點(diǎn)A( 38)、B(2,2)，點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，求當(dāng)APPB最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo).【解答】如圖示：，考慮代數(shù)式的幾何意義：y即圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)所在直線的斜率當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率取得最大值和最小值，即丄取得最xx大值與最小值；y x即過

4、圓上點(diǎn)，且斜率為1的直線在y軸上截距；x2 y2即圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方.當(dāng)點(diǎn)位于圓與x軸的左交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最?。划?dāng)點(diǎn) 位于圓與x軸的右交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大.解(1)設(shè)P(x,y)為圓(x 2)2 y2 3上一點(diǎn).上的幾何意義為直線0P的斜率，設(shè) k，則直線0P的xx方程為y kx.當(dāng)直線OP與圓相切時(shí)，斜率取最大值與最小值.圓心到直線y kx的距離d2k 0|2k| ，二當(dāng)2k|3，即k 時(shí)，直線0P與圓相切. y的最大值為、3，最小值為.3 .x(2) 令y x b，即y x b，求y x的最大值與最小值即過圓上點(diǎn)，且斜率為1的直線在y軸上截 距的最大值與最小值.當(dāng)直線與圓

5、相切時(shí)，截距取得最大值與最小值.圓心到直線y x b的距離d |2=b| |2 一b|Vi2 i2運(yùn)當(dāng)|2 2b|.3，即b 、.6 2時(shí)，直線OP與圓相切. y x的最大值為.6 2，最小值為.6 2 .(3) 要x2 y2的最大值與最小值，即求圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方的最大值與最小值.當(dāng)點(diǎn)位于圓與x軸的左交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最?。划?dāng)點(diǎn)位于圓與x軸的右交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大；左交點(diǎn)坐標(biāo)為(2 . 3,0)，右交點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 3,0)x2 y2的最大值與最小值分別為2，2-3 x2 y2的最大值與最小值分別為7 4.3，7 4 3.2【分析】先求出點(diǎn) A關(guān)于直線3x 4y 4 0的對稱

6、點(diǎn) A，連接A和B交直線于點(diǎn)P,根據(jù)三角形的兩邊之和大PA + lPB取值最小，最小值為1 AB I.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得最小值。于第三邊可知，此時(shí).，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線3x 4y 4的對稱點(diǎn)為A (x, y)，x 3 4x 35 y3() 4()2 2解得x3,yA(3, 3)|AB|(2 3)2(153)25.13PA + PB的最小值為5.133【分析】先求出點(diǎn) B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B，連接點(diǎn)A和點(diǎn)B交x軸于P點(diǎn)，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊可知，此時(shí)AP【解答】如圖示:A與x軸交點(diǎn)。B (2, 2) BA: 2x y 2BA與x軸交點(diǎn)為P(1,0)即為所求.直線與圓中的最值問題、直

7、線與圓的交點(diǎn)問題總是轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離和半徑之間的比較，或者是利用方程有解的問題。2 2例1、若直線4x 3y a 與圓x y 100 (1)相交相切相離分別求實(shí)數(shù)a的取值范圍、圓上一點(diǎn)到直線距離的最值問題總是轉(zhuǎn)化成求圓心到定直線的距離2例2、求圓x 24上的點(diǎn)到x y2 0的最遠(yuǎn)、最近的距離練習(xí)：求圓C: (x - 1)(y 1)2上的點(diǎn)與直線x y 40 的最大值和最小值三、有些最值問題要注意向函數(shù)問題轉(zhuǎn)化。a的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方程2 2例3、方程ax +ay - 4 (a 1) x+4y=0表示圓，求四、兩個(gè)動點(diǎn)的最值問題總是轉(zhuǎn)化成一個(gè)一定點(diǎn)到動點(diǎn)的最值問題例4、P為直線x y 4 0上一點(diǎn)，PT為圓C:(x 1)2 (y 1)2 2的切線 求切線PT的