微積分II課程第10章無窮級(jí)數(shù)

1、第10章第10章無窮級(jí)數(shù) 101無窮級(jí)數(shù)的概念102無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)主要教學(xué)內(nèi)容（1）無窮級(jí)數(shù)的概念；（2）無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì).教學(xué)目的及要求：掌握級(jí)數(shù)的基本概念及基本性質(zhì)，會(huì)利用定義判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂情況 重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施：重點(diǎn)：利用定義和性質(zhì)判別典型題型的斂散性難點(diǎn)：部分和的求解解決措施：注重啟發(fā)與分析教學(xué)方法及段設(shè)計(jì)：講授法課時(shí)：2課時(shí)一、引入課題1、在初等數(shù)學(xué)里，我們學(xué)過有限項(xiàng)的和例如 1+2+3+4+5+ .+100= 100（10 1） =5050221 (1 2)1-223以及特殊的無窮遞縮等比數(shù)列的和 例如1-1. 11-248但當(dāng)一般的121+2+3+4+5+6+ =22

2、+4+8+16+就不會(huì)了。無窮級(jí)數(shù)。從今天開始我們就系統(tǒng)的介紹一些無窮項(xiàng)之和的理論。這就是第七章的內(nèi)容 什么是無窮級(jí)數(shù)呢?.、新課設(shè)計(jì)1 .定義：設(shè)給定數(shù)列：Un ：5, U2,Un,式子 u1u un -(1)叫做無窮級(jí)數(shù)，簡稱為級(jí)數(shù)（1）式簡記為un即：7 un-unn丄n 4其中第n項(xiàng)un叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或者通項(xiàng)。7是求和號(hào)例如:Q01+2+3+4+5+6+ +n+二- nn =1oO2 22 23 24 2n =、2nnm 1 彳 1 1 1 1?=1十一+ +- 2 2 2 2 2n T n2223242n2- n23nv x =x x x xn AQO若一般項(xiàng)un是常數(shù)，則v un

3、是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。n =1若一般項(xiàng)un是（與n有關(guān)的）函數(shù)，則 V un是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，前 心4節(jié)里我們討論的一般都是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。2 說明我們把一個(gè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和Sn稱為第n次部分和，所有部分和構(gòu)成數(shù)列&：環(huán)22,53,116,111，若數(shù)列極限存在，即lim Sn = s，則稱無窮級(jí)數(shù)n .：CO7 un收斂，且收O0斂于S，亦即無窮級(jí)數(shù)的和為 S，記為S un ;否則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散，此時(shí)無窮級(jí)數(shù)的和不 n -1存在。要判斷一個(gè)級(jí)數(shù)有無和，亦即級(jí)數(shù)是收斂還是發(fā)散，其步驟為：1 ）先求出級(jí)數(shù)7 un的前n項(xiàng)和Sn =5 u2亠un =7 uk nlk#2）取極限lim SncO若極限存在且極限值為S,

4、則級(jí)數(shù)X un收斂，S為級(jí)數(shù)的和；n =若極限不存在，則級(jí)數(shù)vun發(fā)散。n=13 .舉例例1討論幾何級(jí)數(shù)（等比級(jí)數(shù)）0、a qn -1 = a aq aq2 aq3 aqn n =1（其中0, q稱為級(jí)數(shù)的公比。并規(guī)定 q=0時(shí)，級(jí)數(shù)等于a.）的斂散性。 解：當(dāng)|q|工1時(shí)，由于23n J.1 - q 1 - q 1_q當(dāng)|q|1時(shí),1 qnmsn:，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng) q=1 時(shí)，Sn =a aq aq2 aq3 aqn=a a a a -. a=na則 lim Sin：當(dāng)q=-1時(shí),sn=a aq 亠aq2 亠aq3 亠aqn=a a 亠a a 亠a .n為偶數(shù)n為奇數(shù)則 nim：Sn =綜上所

5、述，當(dāng)|q| 1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。今后我們可以直接使用結(jié)論。比如n J-2 - 3二 1，5/都是收斂級(jí)數(shù)都是發(fā)散級(jí)數(shù)Sn =a aq aq aq .aq.二 1這章中，除了等比級(jí)數(shù)之外，還有調(diào)和級(jí)數(shù)71是發(fā)散的n=1 n嘗1P A1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂p 級(jí)數(shù) l P級(jí)數(shù)n=nPD0)n =1 r4)n 1 - . nn=1是等比級(jí)數(shù)且公比q=1/2,則是收斂的由性質(zhì)3知，原級(jí)數(shù)是收斂的。2) lim un = lim n pnTnTo3)CO由于7n d3)n 與5n16n都是收斂的等比級(jí)數(shù)，由性質(zhì)14)sn 二.2 -LL.3 - .2 L L. 4 - .3 L.；/n1 - . n二、n 1-1

6、lim snn:-=lim、n 1 -1 = lim nn:-即原級(jí)數(shù)發(fā)散。三、小結(jié)1、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散定義。2、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 3、等比級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，p-級(jí)數(shù)在不同情況下的收斂與發(fā)散情況。四、作業(yè)：P199 1 103數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別（正項(xiàng)級(jí)數(shù)）主要教學(xué)內(nèi)容（1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念；（2）比較判別法；（3）比值判別法教學(xué)目的及要求：掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，會(huì)用比較判別法和比值判別法判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施：重點(diǎn)：兩個(gè)判別法的應(yīng)用難點(diǎn)：比較判別法解決措施：注重啟發(fā)與分析教學(xué)方法及段設(shè)計(jì)：講授法課時(shí)：2課時(shí)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1、定義：如果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) Z Un =Ur +口2 +. +

7、un +滿足條件UnO二1,2，），則此n總級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。二、收斂性的判別對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)來說，其 S,S2,S3ilSnl為單調(diào)增加的，如果它是有界的，則必有極限。為此我們有判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)特別的方法。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法1）比較判別法：O02）如果兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) V uu1 U2 . Un .（ 1）n =1(2)滿足關(guān)系式Unkvn （n=1,2k0的常數(shù)）貝y,當(dāng)級(jí)數(shù)（2）收斂時(shí)，級(jí)數(shù)（1）也收斂當(dāng)級(jí)數(shù)（1）發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)（2）也發(fā)散（俗話稱大收小收，小發(fā)大發(fā)）證利用此判別法可證明調(diào)和級(jí)數(shù)、P-級(jí)數(shù)的斂散性。注意：上面定理中，關(guān)系式中n從1開始，其實(shí)n從任意項(xiàng)m開始都可以。例1判別下列級(jí)數(shù)的

8、斂散性1 丫 n=0 n!2 、n 生(n +1 (n +4 )3、nl n( n +1)1=2 丄(n =2,3,)2n1解：1 n! 1 2 3n1 2 2 22n1U A而v是q=1/2的等比級(jí)數(shù)，收斂故原級(jí)數(shù)收斂。12 2 n 1 n 4 n21而v r 是p=2的p-級(jí)數(shù)，收斂故原級(jí)數(shù)收斂3令 y = ln(x 1) -xX當(dāng) x 1 時(shí)，y ： 0函數(shù)y是減函數(shù)故當(dāng) n0 時(shí)，ln(n+1)-n1 n(0+1)-0ln(n+1):小結(jié)2n“52 1 2n 1 Jimn：2 n 12nd級(jí)數(shù)收斂3 5 2n -11、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法3、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法4、正

9、項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值審斂法四、作業(yè) p2151、2 103數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別(任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂)主要教學(xué)內(nèi)容(1)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念；(2)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理；(3)絕對(duì)收斂，條件收斂教學(xué)目的及要求：掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理以及絕對(duì)收斂，條件收斂的概念重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施：重點(diǎn):萊布尼茲定理難點(diǎn)：絕對(duì)收斂、條件收斂解決措施：注重啟發(fā)與分析教學(xué)方法及段設(shè)計(jì)：講授法課時(shí)：2課時(shí)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)1 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式：n -1-1Un=U1_U2 U3_U4 U2k一 U2kn 4關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性有如下判別法2 萊布尼茲定理：如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1 )滿足條件1 Un 亠Un 1 (n

10、=1,2,)2 lim Un =onTo則級(jí)數(shù)收斂，且和U1 ,余項(xiàng)Rn的絕對(duì)值24 1n3(-1 $(Jn 十1 - J n )例1、判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性彳11-1n n=1n解：in nimunTm：n二原級(jí)數(shù)收斂0且 Un2 lim Unn-?二 limn- n由萊布尼茲定理知原級(jí)數(shù)收斂。1 F_1 ;3亠lim un = lim (J n+1Un=lim ， = lim = 01、n n 心1J + +1、n而11n 亠1 _ n 亠2而比=n 1 _ nn 2 一 n 1 二葉 1看n 4141 +（n +2 （n +1+2 ）故原級(jí)數(shù)收斂注意：利用萊布尼茲收斂法不能解決所有交錯(cuò)

11、級(jí)數(shù)的審斂法問題，萊布尼茲判別法只是充分條件，如果條件不滿足，不能說級(jí)數(shù)發(fā)散，只能說不能判定其斂散性。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂1、絕對(duì)收斂和條件收斂的定義：如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)的絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)收斂，則稱此級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，如果級(jí)數(shù)收斂，而由它的各項(xiàng)的絕對(duì)值組成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱此級(jí)數(shù)條件收斂2、由P287的定理知，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂。3、 即不管是條件收斂還是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)都是收斂的。（為什么要引進(jìn)絕對(duì)值，出現(xiàn)絕對(duì)收斂, 條件收斂的問題呢？）為此我們有定理、如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù) ；uu1 u2. un .滿足條件lim lun 1 =1 n Un In 二1則當(dāng)l : 1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)l1時(shí)

12、，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)l =1時(shí),級(jí)數(shù)的斂散性不能確定。證明見P289例2、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性（如果收斂，是絕對(duì)收斂，還是條件收斂）11)解：2n 二1npQ0、-1nn =1_1 n!n n3nn =1n4 V 一1 n -1n =11In n 1，而p 1的p-級(jí)數(shù)，收斂因此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。2，nW n=n n/ lim泌u n二 lim ?。憾?limn)二n_n j nn所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。300“ 5n 5n故原級(jí)數(shù)發(fā)散4 n】越+11但丄丄Inn1noO且7 -發(fā)散1一發(fā)散n# n ndn n 1小結(jié)滿足萊布尼茲定理收斂，因此原級(jí)數(shù)條件收斂。1、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布

13、尼茲判別法3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的條件收斂與絕對(duì)收斂四、作業(yè)：P215 3 10.4冪級(jí)數(shù)主要教學(xué)內(nèi)容（1）幕級(jí)數(shù)的相關(guān)概念；（2）幕級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)；（3）幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的及要求：掌握幕級(jí)數(shù)的相關(guān)概念，會(huì)求收斂半徑及收斂區(qū)間重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施：重點(diǎn)：求收斂半徑和收斂區(qū)間難點(diǎn)：收斂區(qū)間的求解解決措施：注重啟發(fā)與分析教學(xué)方法及段設(shè)計(jì)：講授法課時(shí)：2課時(shí)一、幕級(jí)數(shù)1、幕級(jí)數(shù)的相關(guān)概念2n門、定義：形如ao+aX。）十a(chǎn)2（x xo）十+ ax xo）+（1）的級(jí)數(shù)稱為 X-X。的幕級(jí)數(shù)，其中a。，印,叫做幕級(jí)數(shù)的系數(shù)我們規(guī)定當(dāng)x=x。時(shí)，（1）總收斂于a0（1）式可簡記為antxrofn =1q

14、o2） 當(dāng) x0 = 0 時(shí) （1）式變?yōu)?二 anxn =ao a1x a2x2 . an xn （2）n H稱為x的幕級(jí)數(shù)3） 由于做變換 X = x - Xo（ 1）式可以轉(zhuǎn)化為（2）式的形式，所以今后我們主要研究的是形如（2）時(shí)的級(jí)數(shù)4）分析幕級(jí)數(shù)收斂與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系對(duì)于幕級(jí)數(shù)來說，我們?nèi)匀魂P(guān)注的是它的斂散性問題。即變量x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取哪些值時(shí),級(jí)數(shù)（2）是收斂的當(dāng)x=o時(shí)，任何一個(gè)幕級(jí)數(shù)都收斂于ao。當(dāng)x = o時(shí)，給定一個(gè)x的值，幕級(jí)數(shù)成為一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。隨著x取不同的值，幕級(jí)數(shù)就成為一族數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。為此，我們可以用前面介紹的判別定理來探討幕級(jí)數(shù)的斂散性。由定理6知，當(dāng)lim lu

15、n 時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,I蚪Unlim業(yè)：1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散n嚴(yán)UnI 則 limUn岀limn岀 an+l xnuninan xn如果 lim an1 n* an=1 x當(dāng)I式0時(shí)，I x 1即1x ； = R時(shí),（2）絕對(duì)收斂，1R, x = _R時(shí)，（2）可能收斂可能發(fā)散1X .R時(shí)，（2）發(fā)散當(dāng)1=0時(shí)，I x = 0 :： 1，則級(jí)數(shù)（2）對(duì)任何x都收斂從上面的討論知，幕級(jí)數(shù)收斂的范圍是實(shí)數(shù)軸上一個(gè)以原點(diǎn)為中心，從-R到R的區(qū)間，這個(gè)區(qū)間叫做幕級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，其中R= 1/I叫做幕級(jí)數(shù)的收斂半徑。在收斂區(qū)間以外，幕級(jí)數(shù)（2）發(fā)散。在收斂區(qū)間上，對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)，級(jí)數(shù)都收斂于一個(gè)確定的和s，對(duì)于不

16、同的x值，其和s也不同，因而和s是x的函數(shù)，稱為和函數(shù)，記為s（x） o2、求收斂半徑、收斂區(qū)間的步驟1）定理7如果級(jí)數(shù)（2）的系數(shù)滿足條件Iim lan1 I i比I an I則當(dāng) 0：1 :時(shí)，R=1/l，當(dāng) I 二：時(shí)，R = 0 ;當(dāng) 1=0 時(shí)，R 二 2）求收斂區(qū)間的步驟 首先求出收斂半徑 出收斂區(qū)間。例1、求下列級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間如果 0 :： R -： n 1當(dāng)X=1時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)檎{(diào)和級(jí)數(shù) 1，發(fā)散。 n經(jīng)n當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)、C丄，收斂n 二 n故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為-1,1例2、1求級(jí)數(shù)-2n2!x2n的收斂半徑n=0 （n! 22求級(jí)數(shù)上工的收斂區(qū)間n =0 4n解；

17、1分析:limnr 二Un 1Unlimn:2 n 1 !x2n1111當(dāng)4乂21時(shí)小2 即x 訓(xùn)x時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散422故級(jí)數(shù)的收斂半徑 R=1/22分析令x=x+i則廠口xnn nn=0 4nn=0 4n1-.Tim 空= lim 空1 n心；an | n心丄4n:n所以R=4,當(dāng)x=4時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)関 1發(fā)散；當(dāng)x=-4時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)? 1發(fā)散n 4nJn故送 的收斂區(qū)間為（-4, 4）,即-4X4,于是-4x+1 anxn * bnxnan bn xnn =0n =0n =0QO性質(zhì)2、如果幕級(jí)數(shù)f（x） =1 anxn的收斂半徑為 R 0，則在收斂區(qū)間（-R, R）內(nèi)，它的和n =0函數(shù)為s

18、（x）是連續(xù)函數(shù)。性質(zhì)03、在幕級(jí)數(shù)f (x) - 7 anxn =0的收斂區(qū)間（-R,R）內(nèi)任意一點(diǎn)x，有x :x0 f(x)dx 二 Cant)dt 八n =0n =0xn； a n n 10ant=即幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，并且積分后級(jí)數(shù)的收斂半徑也是性質(zhì)4、在幕級(jí)數(shù)QOf (x) =、anxnn=0的收斂區(qū)間（-R,R）內(nèi)任意一點(diǎn)x，有f (x)二/ QO鳥anx/nloa/悶匚 anxnnanx即幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)微分，并且微分后級(jí)數(shù)的收斂半徑也是n例3求冪級(jí)數(shù)xn 1的收斂區(qū)間和和函數(shù)，并求級(jí)數(shù) 暑的和。n例4、求幕級(jí)數(shù)、 乞的和函數(shù)并利用所得結(jié)果求級(jí)數(shù)n T

19、nnnoCoCoO值的n2-31 - noo送心11 -x（兇1時(shí)）,因此 s(x) =s(x)-s(O)oS(t)dt0x 1dt = _|n 1 - x1 -t22二s()=-1 n(1)=1 n33 3例5求幕級(jí)數(shù)3f(x)* 號(hào)n -1(1)2n公 .的和函數(shù)2n -124解：因 f (x) = 1 - x x _. (n -11)2n 2x，而xx0 f (t)dt 二f(x) - f(0)，所以 f (x)二它的收斂半徑R = 1。可以驗(yàn)證，當(dāng)x=1時(shí),dt級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂，因此，所給級(jí)Xf().0二 0 arctanx 二 arctanx解：令 s(x) x 則

20、 s(x) = (v x) x nd n門二 nn二數(shù)的收斂域?yàn)槿?、小結(jié)1、幕級(jí)數(shù)的相關(guān)概念2、幕級(jí)數(shù)收斂區(qū)間、和函數(shù)的求法四、作業(yè)：P227123第10章29 10.5函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開主要教學(xué)內(nèi)容(1)泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)；(2)函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開 教學(xué)目的及要求：理解泰勒、麥克勞林級(jí)數(shù)的概念，掌握函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開的直接與間接法 重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施：重點(diǎn)：麥克勞林級(jí)數(shù)難點(diǎn)：函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開解決措施：注重啟發(fā)與分析教學(xué)方法及段設(shè)計(jì)：講授法課時(shí)：2課時(shí)一、泰勒級(jí)數(shù)1、問題提出:n已知 In(1 x)八(1)n0( 1：x 叮).n 二nQ0問題：(1)對(duì)于一般的函數(shù) f (x)是否也有f(x)= a

21、n(x-x0)n ？n=0(2)如果能展開，an是什么?(3)展開式是否唯一 ？(4)在什么條件下才能展開成幕級(jí)數(shù)?2、定理：設(shè)f(x)在U(X0,J內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)oOf (x)八n =0f(n)(xo)nim Rn(x) =0 -其中Rn(x)為拉格朗日型余項(xiàng) Rn(x)f(n T)(n 1)!(x -Xo)n 1 -n證明：由于f(x)=7n =05x-x)nn!Rn(X)二 Pn(x) Rn(x).旳 f(n) (x )所以 f (x)f(x丿(X-x)n =lim Pn(x)7 n!+nmRg 鞏呷心)- Pn(x)x U (x0 ).oa3、唯一性定理：設(shè)f (x)在U(Xo_)可

22、以展開成冪級(jí)數(shù)f (x)八 an(x - Xo)n ,n=0則 an 凹，n =1,2,.n!QO證明：由于在 U(x0,-J 內(nèi) f(x)=v an(x-x0)n,n=0于是f (x)在U(X0)有任意階導(dǎo)數(shù)，且在U(X0)內(nèi)f(n)(x)f ak(xx)k= an(xx)n i t二 ak(xx0)kpk =0k t 卅i =k -a=n!anbk(x-x)kJ1n!a那么f(X。)= n!an,所以af(n)(X0)4、泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)f(n)(X0)設(shè)f (X)在X = X0點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(1)、(X-X)n為f(x)在點(diǎn)x。的泰勒級(jí)數(shù),記作n=0n!f(n)(0)f(n

23、)(X0)n！ EX0八Xn稱為f (X)的麥克勞林級(jí)數(shù)，記作二 f (n)(0)f(x)八-雪xn.(x=0)n衛(wèi)n!注意問題：f (X)在X二X。點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么5)/f (X。)n!(X - X0)n在收斂區(qū)間是否收斂于f (X) ?eXT例 1： f(x) = e ，i o,x =0,在x =0點(diǎn)任意可導(dǎo)，且f (n)(0) =0, n =0,1，,于是x = 0. f (n)(0)f(x)八丄凹xn 八 0 Xn =0，八:x : n =Qn!n =0oO顯然f(X)= 7n=0(n)n!=0,x = 0.二、函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)1、直接法(麥克勞林級(jí)數(shù)法)步驟：(1)求 f (n

24、)(x) ； (2)求 f(n)(0)；oO f(n)(0) 寫出f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)f(x)v丄xnn=Sn!并求出級(jí)數(shù)的收斂半徑 R ； 討論 limRn(x)=0或 f (n)(x)蘭 M , |x|cR，近 f(n)(0)在收斂區(qū)間|上有 f(x) = 7 ()xn, XI 0n!例2將f(x)二ex展開成x的幕級(jí)數(shù).解: (1) f(n)(x) =ex；(2) f(n)(0) =1, n =1,2,第10章(n 1)!31(n)f(x)八n z0也” J,而n!n!R = limX R,所以ex近似計(jì)算：an= lim=lim(n 1)=-；n匚 門！n)：|Rn(X)|二-(n

25、1) /C) X (n 1)!e x (n 1)!n： ：1n 1蘭ex|-. 0.(n +1)!2八仝1 X n z0 n!2!nx_n!2 xT x223彳丄丄X ,x1 x2 6例3將f (x)二sin x展開成x的幕級(jí)數(shù).解：(n)(x) =si n(x nji-),n= 0,1,2，；2f (n)(0)依次循環(huán)取0,1,0,-1 (n =0,1,2,)；f(n)(0)COf (x)X& n!=x -一3!2nJ2 ，而(2n _ 1)!anR = limn Sn 1= lim3 i(2 n -1)!X R, |Rn(x)b= lim.(2n 1)2n =-；n 1豈回 0. (n 1

26、)!第10章41(5)所以Q0sin x 八(-1)nn 42n 二X(2n -1)!35XX=X(-1)3!5!2n 1nl_X(2n -1)!-：:：x ：:：.2、間接法根據(jù)唯一性，利用常見展開式，通過變量代換，四則運(yùn)算，恒等變形，逐項(xiàng)求導(dǎo), 法,求展開式逐項(xiàng)積分等方例4將f (x) = COSX展開成X的幕級(jí)數(shù)odxn解：已知 sinx = v (-1)2(-1)n 二(2n1)!n 出x2nX2n1(2n1)!，X R那么2n 1 n X00 一 X2n4F 1cosx =(sinx)r = |(1)nJ (2n +1)!_1例5將f (X)2展開成X的幕級(jí)數(shù)1 +xoO八(-1)n

27、=02nn X,一二 x (2n)!解：已知1 -xoOn 八Xn =0-1 ：: X ：:1 那么QOQO2、nn 2n(X )(-1) Xn n ,-1 ： X ： 1 例6將f (x) =1 n(1 x)展開成x的幕級(jí)數(shù)1 00解：已知ln( 1 x)(-x)nn =QoOn n八(T) xn =0,I x| ： 1 那么ln(1 x) 000ln(1t) dt 八(-1)nn =0 00tndt 八(-1)0n=0oO又已知V (-1)nn=0n 1收斂，于是QOln(1 x)八 (-1)nn蘭n +1例7將f(x)二sin x展開成n 123n 1XX X，八n Xx(-1)n-23

28、n 1n：(x )的幕級(jí)數(shù).4J解：由于 f(X)-in_-JTJT(x ) =sin cos(x ) coss in(x)444442n 1 Xad又已知 sin x = ( -1)n心(2n +1)!-:X w ,2nn Xcosx (T)心(2n)!1 -那么 sin x ： cos( -) sin(x-玄)QO(-1)n 4(2n)!2n 1(XV(2n 1)!2x 4x 3展開成(X -1)的幕級(jí)數(shù).解：由于f (X)又已知2(1 x)2(3 x)1aC + x-14 1 + I 2丿1x -1i4od n =0(x-n乂1八(T)n* x-1 n, n =02O0 n =0比1八(T)nj x-1n,n=04那么 f(x)(1)n(f 4n)x-1nn 衛(wèi)22 o 400 1 1=送(- 1 1即要計(jì)算1 ( -1)9999共10000項(xiàng)！顯然此法不可取! 310000)(RTT - 2nd3)(X-1 )，-1 VX3.n=022三、應(yīng)用1、近似計(jì)算思路欲計(jì)算函數(shù)值f(x),可將f (x)展開成幕級(jí)數(shù)oof(X)anXn =Sn(X) rn(x),n占f (X)可用近似值f ( X) :- Sn (X)計(jì)算，誤差為| rn (X) | 2、近似值的精度(1)給出精度:.,通過|rn(x)|：、；確定項(xiàng)數(shù)n,繼而可得對(duì)應(yīng)的近似值