第一章習題解答集合_第1頁
第一章習題解答集合_第2頁
第一章習題解答集合_第3頁
第一章習題解答集合_第4頁
第一章習題解答集合_第5頁
已閱讀5頁,還剩6頁未讀, 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

1、第一章習題解答1、證明: AU(BI C) (AU B)I (AUC)11證明:一方面x AU(BI C), x A或x BI C, x A 或x B 且x C, x AUB 且 x AUC, x (AUB)I (AUC) 從而 AU(BI C) (AUB)I (AUC)另一方面(AU B)I (AUC)x AU B且x AU Cx A或x B且x A或x Cx A 或 x B I Cx AU(BI C) 從而 (AUB)I (AUC) AU(BI C)(AUB)I (AU C) AU(BI C)(1)ABA (AIB)(AUB) B證明:一方面:xABxA,xBxAI BxA(AI B)AB

2、A(AIB);對于 xA (AIB)xA, x AI BxA, xBx(AUB)BA(AIB)(AUB) B.2、證明:AU B且x BBxxxA且 x另一方面:x (AUB) Bx AI B x Ax A (AI B)A (AI B)(AI B) (AU B) x A,x (AI B)BA (AIA且 x BB);A且又對于AB從而有A B A (AI B) (AUB) B。另證:先證: A B A (AI B)左邊A(AI B)AI 痧Al B)AI ( AU?B)右邊(AISA)U(AI B) A B右邊再證:AB(AUB)BAB(AUB)B右邊(AUB)B (AUB)IeB(AI痧)U

3、(BI B)(AUB)UAB左邊2) AI (B C) (AI B) (AI C)證明:ABA) U ABCABCAl (B C)(3)(AB)CA (B UC)證明:A(BUC) A(BUC)ABC (AB)CABC(4)A(BC)(A B)U(Al C)證明:A(BC)A(B C) ABCA(BUC)(Al B) (Al C) Al Bl (AC)Al B(AUC)A(BUC) AB U AC (A B)U(Al3、證明:(1):(AU B) C(A C)U(B C)證明:(AUB) C(AU B)C (AC)U(BC)(A C)U(BC)(2):A (BUC)(A B) I (A C)證

4、明:A (BUC)A(BUC) ABC AABC(AB)(AC)(A B)l (A C)(5) (A B)l (CD)(Al C)(BU D)證明:(A B)l (CD)ABCDACBD AC(BUD) (Al C) (BUD)(6) A (A B)Al B證明:A (A B)A(AB) AAB A(AUB) (AA) U (AB) ABC)4、證明:痧:UXJ l (sX)i 1x證明:es(U Xi)x S,xi 1UXii 1x S,i,i1,2,3,LXii,i 1,2,3,L x SXi xl (Si 1Xi)esXi痧:UXJl (sXi)i 1上述每一步都可逆有喙u Xi)i 1

5、l (sXi),從而得喙UXi)i 1i 1l ( sXi)i 1(1) (U A)B U (A B);5、證明:(2) ( I A ) B I (A B).證明:(1) (U A ) B U (A B);(U A ) B (UA)B U(AB)U(AB),所以(U A ) B U (AB);(2)(I A ) B I(AB).I (AB) I (A B)(IA )B(IA ) B.所以(I A ) BI (A B).。6、設An是一列集合,作BiA , BnAnn 1(U A),k 11,證明Bn是列互不相交的集,n而且UAkk 1nUBk, 1k 1nBmIBnAm證明:設1(UAk) I

6、 Ank 1m 1 n 1n 1(U Ak)k 1m 1Am(U Ak)Ik 1)n 1An(UAk)k 1Am(I Ak)I An(人) k 1Am A1 A2 Lk 1Am 1An AA2LAm Am 1 L Ai 1nX UBkk 1nX U(Akk 1k 1UAj)jk 1k,x Ak UAj, xjk 1Ak,x U Ajxj 1nUAk 1nUBkk 1nUAk, 1k 1n 。反之nXUAkk 1min k, xAkxk 1Ak,x UAj, xj 1Ark 1nUAjx U(ARj 1k 1k 1UAj)j 1nXUBkk 1nUAkk 1nUBk, 1k 1nn ;從而U A

7、rk 1nUBk,k 11 n ;7、設 A2n 11(0, -), An (0, n), n 1,2,L,求出集列An的上限集和下限集 n解:佃代(0,),nlim An(0,0)8 證明:lim An UI Amnn 1m n證明:令 A lim A,, B UI An,證明:A Bnm 1 n mxx Alim A由下限集的定義n,存在m,對 n m有xAnIAnn mUI Anxm 1n mBAB所以UIm 1n mAnk, xI Annn kk, x Anx lim AnA B An9、作出一個(-1,1)和(lim AnnUIn 1 m n)的1 1對應,并寫出這一對應的解析表達式

8、解:函數(shù)y叫幻在(-1,1)上嚴格嗇增加且值域為(,),人而y叫x)實現(xiàn)了(-1,1)到(,)的1 1對應。10、證明:將球面上去掉一點以后,余下的點所成的集合和整個平面上的點所成的集合是對 等的。證明:將球放在平面上,球面與平面相切,切點 O處球面上的點與平面上的點對應,對于平 面上其它任意點Q,設球的極點為N,連接QN與平面交于R,令Q R,則該對應實現(xiàn)了 除極點外球面上的所有點與平面上的所有點的 1 1對應。證畢。11、證明:由直線上某些互不面相交的開區(qū)間作為集 A的無素,則A至多為可數(shù)集。證明:設l,J A,有I I J ,由有理數(shù)的稠密性知,在每一 I中至少含有一個有理數(shù),故 從A中

9、每一個開區(qū)間中取定一個有理數(shù) r組成集合S,因為A中開區(qū)間互不相交,所以S中 的有理數(shù)彼此不同,令 A 中的開區(qū)間 I 與 I 中取定的有理數(shù)對應,顯然這種對應是一一的, 由開S是有理數(shù)集Q的子集,而 Q為可列集,所以S為至多可列集,即A也為至多可列集。12、證明:所有系數(shù)為有理數(shù)的多項式組成一可列集。證明:對于給定的n,個有理系數(shù)的n次多項式對應n 1維有序有理數(shù)組a。, aazL an | an 0, a Q,0 i n,該數(shù)組全體S是n 1個可數(shù)集的卡氏積,從而可數(shù)。而對于給定的n有理系數(shù)的n次多項式全體An與S對等。而所有系數(shù)為有理數(shù)的多項式全體A UA,根據(jù)可數(shù)集的運算性質(zhì):可數(shù)個可

10、數(shù)集之并仍然可數(shù)知A可數(shù)。i113、 設A是平面上以有理點為中心、以有理數(shù)為半徑的圓的全體,則A是可數(shù)集。證明:A中的任一元素與三維有序有理數(shù)組(x,y,r)對應,以以有理點為中心、有理數(shù)為半徑的圓的全體A與集( x,y,r)|x, y,r Q對等。而集( x,y,r) |x, y,r Q可數(shù),所以A可數(shù)。14、增函數(shù)的不連續(xù)點至多有不可數(shù)個。證:由增函數(shù)的不連續(xù)點為第一類,且有躍度的不連續(xù)點,故f (x)在Xo的左右極限存在,且當X。為f (x)的不連續(xù)點時有f(Xo 0) supf(x), f (xo 0) inf f (x),且:f (x。0) f(x。0)由于 f (x)為增函數(shù),x

11、x0x x0所以f(X0 0)f(X0 0),于是f(x)的每一個不連續(xù)點對應y軸上的一個開區(qū)間,下證若x x為增函數(shù)f (x)的兩個不連續(xù)點,則有f (x 0) f (x 0)事實上任取一點X1,使x X1 x,于是:f(x 0) inf f(x) f(x1)sup f(x) f(x 0)x xx xx從而x對應于y軸上的開區(qū)間(f (x 0), f (x 0)與x對應于y軸上的開區(qū)間( f(x 0), f(x 0) 是互不相交的, 由于直線上互不相交的開區(qū)間所成之集為至多可列, 所以遞增函數(shù)的不連續(xù)點也為至多可列集。15、試找出使 (0,1)和0,1之間1 1對應的方法。證明:將 (0,1

12、)中的全部有理數(shù)排列為 r1,r2,L rnL ,而0,1 中全體有理數(shù)可排列為xr1,f(x)是(0,1)和0,1之間 1 1OltD丄rnL,作其間的對應f如下f(x)x r2x rnxx為無理數(shù)對應16、設A是一可數(shù)集,則A的所有有限子集作成的集合亦必可數(shù)。設A為可數(shù)集,其元素為2丄anL,以代表示由A中n個元素組成的子集的全體,F(xiàn)為A中所有限子集全體,則F UA,其中Ao 為單元素集,另設B (K,k2丄kn)|K N, n 0則B中的任意元素由n個獨立的記號確定,且每個記獨立的跑遍一個可數(shù)集 N,故B可數(shù)。 現(xiàn)對A的每個元素2罔2丄akn令其對應B中的元素(dk?丄心),則人與B的一

13、個子集對等,由于B為可數(shù)集所以An為至多可數(shù),但An為無限集所以An為可數(shù)集,從而F U乓為n 0 可數(shù)個可數(shù)集的并集,所以F是可數(shù)集。17、證明:0,1上的全體無理數(shù)所成的集合其基數(shù)為 c。證明:反證法。如果無理數(shù)全體是可數(shù)的,那么它和有理數(shù)全體的并集將是可數(shù)集。但是它 們的并是區(qū)間0,1,而區(qū)間0,1不可數(shù)矛盾。18、 若集A中每個元素由互相獨立的可數(shù)個指標所決定,即A ax,而每個人取自一個 基數(shù)為c的集,則A的基數(shù)也是c。證明:因為x取自一個基數(shù)為c的集,記之為Xi,從而存在Xi到實數(shù)集R的對應i,i 1,2,3 L,現(xiàn)在令A中的元與實數(shù)數(shù)列( O 2(X2), 3化兒)對應,那么這個

14、對應是 A到E上的對應,由Ec得A c。19若A U An的基數(shù)為c,證明:存在n0,使An0的基數(shù)也是c。n 1證明:若不然An c,(n 1,2,3L ),由于A c,存在A到E上的1 1對應,即對任意的a A,存在實數(shù)列X /MX,L E與之對應,記 (An) Bn, n 1,2,3,L,則有(A) U (An) UBn E1記 yn (0, L O,XnOL ),XnR , n 1,2,3L設Pn為E中點到y(tǒng)n的投影映射,即對XX1,x2丄 XnL E , Pn(x) (0,L 0, Xn,0L ) y.n 1,2,3, L o又記Pn(Bn)Un ,顯然有,且Un B,入 C,而yn

15、 C,所以Un是Yn的真子集,存在實數(shù)Xn使(0丄 0,Xn ,0L )Un ,從而對任何Xi(in)有(Xi,L Xn i,Xn ,Xn iL ) Bn(n 1,2,3,L ) o 因此* * * 、 (x1 ,x2 ,L Xn ,L ) U Bn E,這與 是是A到期E上的1 1映射矛盾。n 1注:此題的證明易犯這樣的錯誤因為a UAn,且A C,則至少存在一個An0,使A0 C,若不然,對一切n An C,則n 1An的勢最多只有可數(shù)集的勢a,故A UAn為至多可數(shù)集,即 入 a C矛盾。n 120、證明二進位無限小數(shù)全體與區(qū)間(0,1對等。證明:任意x (0,1,先將(0,1分成兩部分(0,丄,(!,1(規(guī)定分點屬于左邊一個區(qū)間)則x2 2必屬于且只屬于其中一部分,取出這一部分區(qū)間,若取出的是左邊區(qū)間,取t1 0,否則取t1 1 , 第二步再將取出的含x的這個部分區(qū)間等分為兩個部分區(qū)間(仍規(guī)定分點屬于左邊一個區(qū)間),同上法得t2 ;這個過程可一直進行下去,從而得到t1,t2丄tkL ,0.t1,t2,L tkL為x的二進位小數(shù)表示,令:x0.t1,t2,L tk L,則對x (0,1 ,(x)必是二進位無限小數(shù)(因為規(guī)定了分點屬于左邊

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論