初中幾何常見輔助線作法口訣

1、初中幾何常見輔助線作法口訣初中幾何常見輔助線作法口訣 人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線, 如何添？把握定理和概念。 還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線口也可將圖 對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。 加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 有中線，延長(zhǎng)中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。 比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。角平分線要證線段三角形中梯形里面證相似，直接證明

2、有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。4半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來中間站。一切線，切點(diǎn)圓心半徑連口切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。 是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。心連，垂徑定理要記全口圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓如果遇到相交不要忘作公共弦。的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。添個(gè)圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。圓上若有 要

3、想證明 弧有中點(diǎn) 弦切角邊 還要作個(gè) 內(nèi)外相切 要作等角 假如圖形 解題還要 分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化 為三角形、平行四 邊形。Af直 0bZSZWxB E C 甘/fi c平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。fiCB -cEA。已延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn) 化為三角形。Ea/d / B C作咼，轉(zhuǎn)化為 直角三角形和矩 形。ADbZU EF中位線與腰中點(diǎn)連線。耳B二fB C作輔助線的常用方法在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)， 如 直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論 中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三角形三邊的不

4、等關(guān)系證明，如: 例1、已知如圖1-1: D、 ABC內(nèi)兩點(diǎn), 求證:AB+AOBD+DE+CE. 證明：（法一） 將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AC于M N在AMN中, AM+AN MD+DE+NE1） 在 BDM中, MB+MDBD（2）在 CEN 中，CN+NEC;E（3）由（1）+（ 2）+（ 3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+ +CE AB+ACBD+DE+EC（法二：圖 1-2）延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng)CE交BF于G在人8尸和厶GFCH GDE中有：AB+AF BD+DG+GF （三角形兩邊之和大于第 三邊）（1）GF+FOGE+CE（同上） . （2）DG+GEDE（同

5、上） .（3）由（1） + （2） + （3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE二 AB+ACBD+DE+EC一、在利用三角形的外角大于任何和它不相 鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn) 或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在 某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用 外角定理：例如：如圖2-1:已知D為厶ABC 內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/ BDC Z BAC。分析：因?yàn)? BDC與/ BAC不在 同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形， 使/ BDC 處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD

6、交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/ BDC是 EDCF外角，/ BDC2 DEC 同理/ DEC2 BAC :丄BDC2 BAC證法二：連接AD并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)/BDF ABD的外角，/ BDFN BAD 同理，/ CDF2 CAD / BDF+/ CDF2 BAD# CAD 即：/ BDC2 BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)， 通常將大角放在某三角形的外角位置上,小角 放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置 上，再利用不等式性質(zhì)證明。分析：要證BE+CFEF，可利用三角形三邊 關(guān)系定理證明，須把BE, CF , EF移到同一個(gè) 三角形中，而由已知/ 1 = 2 2,2 3=2 4,可在角的兩邊截取相等

7、的線段，利 用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN , FN , EF二、有角平分線時(shí)，通常在角 的兩邊截取相等的線段，構(gòu) 造全等三角形，如： 例如：如圖3-1 :已知AD ABC 的中線，且/ 1 = 2 2,/3= Z 4,求證:BE+CFEF 。移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB連接NE NF,則 DN=DC在厶 DBE NDE中:fDN=DB （輔助線作法）:/仁/2（已知）【ED=ED（公共邊） DBEA NDE （SASBE=NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在厶EFN中EN+FNE（三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CFEF注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，常可考慮在

8、角 的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然 后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加C圖4 -1 M倍此線段，構(gòu)造全等三角形 例如：如圖4-1: AD ABC 的中線，且2 1 = 2 2,/3= Z 4,求證：BE+CFEF 證明：廷長(zhǎng)ED至M使DM=DE 連接CM MF在厶BDE和厶 CDM中,BD=CD（中點(diǎn)定義）；2仁2 5（對(duì)頂角相等）ED=MD（輔助線作法）亠 BDEA CDM （SAS 又/仁2 2,2 3=2 4 （已知2 1+2 2+2 3+2 4=180（平角的定義） 2 3+2 2=90即：2 EDF=90/ FDMh EDF =9

9、0在厶 EDFH MDF中I ED= MD（輔助線作法） / EDF玄 FDM （已證）DF=DF（公共邊） EDFA MDF （ SASEF=MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等在ACMF中，CF+CMM（F三角形兩邊之和大 于第三邊 BE+CFEF上題也可加倍FD，證法同上。I注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段 時(shí)，可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形， 使題中分散的條件集中。四、在三角形中線時(shí)，常廷長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造 全等三角形。例如：如圖5-1: AD為 ABC的中線，求證:AB+AO2AD。分析1:要證AB+AO2AD ,由圖想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有 AB+AC+ B

10、D+CD AD +AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多 BD+CD，故不能直接證出此題，而由 2AD想 到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段 轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去E圖5-1證明：延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD 連接BE CE AD為 ABC的中線 （已知BD=CD （中線定義）在厶 ACD EBD中BD=CD（已證）“/仁/2 （對(duì)頂角相等.AD=ED （輔助線作法）11 ACDA EBD （SASBE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等在 ABE中有：AB+BEA（三角形兩邊之 和大于第三邊 AB+AC2AJDB D CF圖5 - 2（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等 三角形） 練習(xí)：已知 ABC AD是 B

11、C邊上的中 線，分別以AB邊、AC邊為直 角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2 , 求證EF=2AD五、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1 :在 ABC中, ABAC/ 仁/ 2, P為AD上任一點(diǎn) 求證：AB-AOPB-PC分析要證:AB-AOPB-PC想到利用三角形 三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差， 故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三 邊AB-AC,故可在 AB上截取AN等于AC得 AB-AC=BN 再連接 PN 貝V PC=PN 又在 PNB 中, PB-PNvBN即：AB-AOPB-PC證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC連接PN , 在厶APN 和厶APC中A

12、N=AC （輔助線作法）“ /仁/2 （已知）AP=AP（公共邊） APNAAPC （SAS , PC=PN （全等 三角形對(duì)應(yīng)邊相等 在 BPN中,有PB-PNvBN （三角形兩邊之 差小于第三邊二 BP-PCvAB-ACCM證明：（補(bǔ)短法） 延長(zhǎng)AC至M,使AM=AB 連接 PM在厶 ABP AMP中AB=AM （輔助線作法）/仁/ 2 （已知）AP=AP（公共邊） ABPAAMP （SASPB=PM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 又在 PCM中有：CMPM-PC三角形兩邊 之差小于第三邊）六、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形:例如：如圖7-1 :已知AC=BDADLAC于 A , AB-AOPB-PCB

13、C BD于 B,求證：AD=BC分析：欲證AD=BC先證分別含有 AD BC的 三角形全等，有幾種方案： ADC與 BCD AOD與 BOC ABD與 BAC但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等， 因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三 角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA CB它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)， ADL AC BC 丄 BD（已知） / CAE=/ DBE =90 E（垂直的定義）在厶 DBE CAE中/ DBE/ CAE （已證） BD=AC（已知）/ E=/ E （公共角） DBEA CAE（AASED=EC EB=EA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ED- EA= EC- EB即：AD

14、=BC（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的 條件，為證題創(chuàng)造條件。） 八、連接四邊形的對(duì)角線， 轉(zhuǎn)化成為三角形來解決 例如：如圖8-1 : AB/ CDAB=CD分析蓉為四邊形，我們只 學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必 須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解把四邊形的問題AD/ BC求證:決。D證明：連接AC （或BD（已知） AB/ CD AD/ BC/仁/2，/ 3=Z 4 （兩直線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等）在厶 ABC與 CDA中,/ 仁/ 2OD=OD（已證） i公共邊）（已證）14BAC=90，/ 仁/ 2, CE!BD的延長(zhǎng)于 E圖9 -1 ABCA CDA （ASAAB=CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有

15、和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條 線段延長(zhǎng)例如：如圖 9-1 :在 Rt ABC中, AB=ACZ求證：BD=2CE分析：要證BD=2CE想到要構(gòu) 造線段2CE同時(shí)CE與/ ABC的平分線垂 直，想到要將其延長(zhǎng)。 BE! CF （已知）證明：分別延長(zhǎng)BA, CE交于F。/ BEF玄BEC=90 （垂直的定義） 在 BEF與 BEC中,/仁/ 2 （已知）BE=BE（公共邊）/ BEFW BEC （已證） BEFA BEC （ASACE=FE=2 CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）25/ BAC=90 BE 丄 CF （已知）/ BAC=/ CAF=90/ 1 + / BDA=90/ 1+Z BF

16、C=90/ BDAM BFC在厶ABD與 ACF中/ BAC=/ CAF（已證）/ BDA=/ BFC （已證）AB=AC（已知） ABDA ACF（AASBD=CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BD=2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1 ; AC BD相交于0點(diǎn)， 且 AB=DC AC=BD 求證：/ A=Z D。分析：要證/ A=Z D可證它們所在的三角形 ABDHA DCO全等，而只有 AB二D（和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只 有另尋其它的三角形全等，由 AB=DC AC=BD 如連接BC則厶ABDHA DCO全等，所以，證得在厶ABC和（已知）A

17、/ A=Z Do證明：連接BC DCB中AB=DC/. ABCA DCB (sss)# A=# D (全等本角形對(duì)應(yīng)邊相等十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。AC=DB BC=CB（已知） i公共邊）例如：如圖11-1 : AB=DCZ A=Z D求證:/ ABCy DCB圖 ii -1點(diǎn)M連接MN則由SSS公理有 NBMPA NCM所以/ NBCMNCB冋題得證。分析：由AB=DCZ A=Z D想到 如取AD的中點(diǎn)N連接NB NC 再由SAS公理有 ABNA DCN 故 BN=CN / ABN=/ DCN 下面只 需證/ NBCy NCB再取BC的中證明：取AD BC的中點(diǎn)N、M連接NB NM

18、NC 貝V AN=DN BM=CM在厶 ABNHA DCN中AN=DN（輔助線作法）/ A=Z D （已知）AB=DC（已知） ABNm DCN （SAS/ ABN=/ DCN NB=NC（全等三角形對(duì) 應(yīng)邊、角相等在厶 NBMA NCM中NB=NC （已證 M=CM （輔助線作法） NM=NM （公共邊） NMB2A NCM (sss)/ NBCM NCB (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)/ NBC# ABN =/ NCB# DCN即/ ABC# DCB1 圓中作輔助線的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間 的關(guān)系與垂徑定理。（2）若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時(shí)，一般連接

19、中點(diǎn)和圓心，利用垂徑定理的 推論得出結(jié)果。（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當(dāng)選 取圓周上的點(diǎn)，連結(jié)此點(diǎn)與直徑端點(diǎn)得到 90度 的角或直角三角形。（4）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得 到等角。（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段， 如圖1，圓0中，BDL0A于D經(jīng)常是：如圖1 （上）延長(zhǎng)BD交圓于C利用垂徑定理E，如圖1 （下）延長(zhǎng)A0交圓于 連結(jié) BE BA 得 Rt ABE圖 1（上）圖1 （下）（6）若題目中有“切線”條件時(shí)，一般是：對(duì) 切線引過切點(diǎn)的半徑，（7）若題目中有“兩圓相切”（內(nèi)切或外切）， 往往過切點(diǎn)作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過切點(diǎn)）以溝通兩圓中有關(guān)

20、的角的相等 關(guān)系。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作 兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成 圓內(nèi)接四邊形解決，有時(shí)還引兩連心線以得到結(jié) 果。（9）有些問題可以先證明四點(diǎn)共圓，借助于輔 助圓中角之間的等量關(guān)系去證明。（10）對(duì)于圓的內(nèi)接正多邊形的問題， 往往添作 邊心距，抓住一個(gè)直角三角形去解決。例題1:如圖2,在圓0中，B為“的中點(diǎn)，BD 為AB的延長(zhǎng)線，/ OAB=50求/ CBD的度數(shù)。解：如圖，連結(jié)OB 0C的圓0 的半徑，已知/ OAB=50 B是弧AC的中點(diǎn)弧 AB= BCAB=BC又 OA=OB=OC AOB 也 BOC ( S.S.S ):丄 OBCh ABO=50

21、/ ABOk OBC+ CBD=180/ CBD=180- 50 0- 50 0/ CBD=80答:/ CBD的度數(shù)是800.D例題2:如圖3,在圓O中,弦AB CD相交于點(diǎn)P,求證：Z APD勺度數(shù)=（弧 AD-弧 BC）的度數(shù)。證明：連接AC則Z DPAZ C+Z AZ C的度數(shù)=!弧AD的度數(shù)Z A的度數(shù)=1弧BC的度數(shù)Z APD=2 (弧AD+弧 BC)的度數(shù)一、造直角三角形法1. 構(gòu)成Rt ,常連接半徑例1.過O O內(nèi)一點(diǎn)M ,最長(zhǎng)弦AB =廠26cm,最短弦 CD = 10cm ,求 AM長(zhǎng);；2. 遇有直徑，常作直徑上的圓周角例2. AB是O 0的直徑,AC切O 0于A,CB交O

22、 O 于D,過D作O O的切線,交AC于 E.求證:CE = AE;3. 遇有切線，常作過切點(diǎn)的半徑例 3 .割線 AB 交O O于 C D,且 AC=BD,AEHO O 于E,BF切O O于F.求證:/ OAE = / OBF;4. 遇有公切線,常構(gòu)造Rt (斜邊長(zhǎng)為圓心距, 一直角邊為兩半徑的差,另一直角邊為公切線 長(zhǎng))例4 .小O O與大O O外切于點(diǎn)A,外公切線BC DE分別和O O、O O切于點(diǎn)B、C和D E,并相 交于 P,Z P = 60 。求證：O O與O O的半徑之比為1: 3;5 正多邊形相關(guān)計(jì)算常構(gòu)造 Rt 例5. OO的半徑為6,求其內(nèi)接正方形ABCD與內(nèi) 接正六邊形AEFCGI的公共部分的面積.二、欲用垂徑定理常作弦的垂線段例6. AB是O O的直徑,CD是弦,AE丄CD于 E,BF 丄 CD于 F.(1)求證:EC = DF;(2)若 AE = 2,CD=BF=6,求O O 的面 積；三、轉(zhuǎn)換割線與弦相交的