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文檔簡介
1、7-4-1. 簡單的排列問題教學目標1. 使學生正確理解排列的意義;2. 了解排列、排列數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列;3. 掌握排列的計算公式;4. 會分析與數(shù)字有關的計數(shù)問題,以及與其他專題的綜合運用,培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力; 通過本講的學習,對排列的一些計數(shù)問題進行歸納總結,并掌握一些排列技巧,如捆綁法等知識要點一、排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題,就是要把一些事物排在一起,構成一列,計算有多少種排法,就 是排列問題在排的過程中,不僅與參與排列的事物有關,而且與各事物所在的先后順序有關一般地,從 n 個不同的元素中取出 m ( m n )個元素,按照一定
2、的順序排成一列,叫做從 n 個不同元素中 取出 m 個元素的一個排列根據(jù)排列的定義,兩個排列相同,指的是兩個排列的元素完全相同,并且元素的排列順序也相同如果 兩個排列中,元素不完全相同,它們是不同的排列;如果兩個排列中,雖然元素完全相同,但元素的排列順 序不同,它們也是不同的排列排列的基本問題是計算排列的總個數(shù)從 n 個不同的元素中取出 m ( m n )個元素的所有排列的個數(shù),叫做從 n 個不同的元素的排列中取出 m 個 元素的排列數(shù),我們把它記做 p m n根據(jù)排列的定義,做一個 m 元素的排列由 m 個步驟完成:步驟 1 :從 n 個不同的元素中任取一個元素排在第一位,有 n 種方法;步
3、驟 2 :從剩下的( n -1)個元素中任取一個元素排在第二位,有( n -1)種方法;步驟 m :從剩下的 n -( m -1) 個元素中任取一個元素排在第 m 個位置,有 n -(m-1)=n-m +1 (種)方法; 由乘法原理,從 n 個不同元素中取出 m 個元素的排列數(shù)是 n(n-1)(n-2)l(n-m+1),即p m =(nn -1)(.n-2)l(n -m +1),這里, m n ,且等號右邊從 n 開始,后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1 ,共 n有 m 個因數(shù)相乘二、排列數(shù)一般地,對于 m =n 的情況,排列數(shù)公式變?yōu)?p n =n(n-1)(n-2)l321n表示從 n 個不同元
4、素中取 n 個元素排成一列所構成排列的排列數(shù)這種n 個排列全部取出的排列,叫做n 個不同元素的全排列式子右邊是從 n 開始,后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小1 ,一直乘到 1 的乘積,記為 n ! ,讀做 n 的階乘,則 p n 還可以寫為: p nn n例題精講=n !,其中 n! =n(n-1)(n-2)ll321模塊一、排列之計算【例 1】 計算: p 2 ; p 4 -p 3 5 7 7【考點】簡單排列問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 由排列數(shù)公式 p m =(nn -1)(.n-2)l(n -m +1)知:n p 2 =5 4 =205 p 4 =7 6 5 4 =840 ,
5、p 3 =7 6 5 =210 ,所以 p 4 -p 37 7 7 7【答案】 20 6301=840 -210 =630 【鞏固】 計算: p 2 ; p 3 -p 2 3 6 10【考點】簡單排列問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 p 23【答案】 6=3 2 =6 30 p 3 -p 2 6 10=6 5 4 -10 9 =120 -90 =30 【鞏固】 計算: p 3 -p 2 ; 3p 5 -p 3 14 14 6 3【考點】簡單排列問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 p 314-p 214=14 13 12 -14 13 =2002 ; 3p 5 -p 3 =3
6、(6 5 4 3 2) -3 2 1 =2154 6 3【答案】 2002 2154模塊二、排列之排隊問題【例 2】 有 4 個同學一起去郊游,照相時,必須有一名同學給其他 3 人拍照,共可能有多少種拍照情況? (照 相時 3 人站成一排)【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 由于 4 人中必須有一個人拍照,所以,每張照片只能有 3 人,可以看成有 3 個位置由這 3 人來站由 于要選一人拍照,也就是要從四個人中選3 人照相,所以,問題就轉化成從四個人中選3 人,排在 3 個位置中的排列問題要計算的是有多少種排法由排列數(shù)公式,共可能有: p 3 =4 3 2 =24 (種
7、)不同的拍照情況4也可以把照相的人看成一個位置,那么共可能有: p 44【答案】 24=4 3 2 1 =24 (種)不同的拍照情況【鞏固】 4 名同學到照相館照相他們要排成一排,問:共有多少種不同的排法?【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 4 個人到照相館照相,那么 4 個人要分坐在四個不同的位置上所以這是一個從 4 個元素中選 4 個, 排成一列的問題這時 n =4 , m =4 由排列數(shù)公式知,共有 p 4 =4 3 2 1 =24 (種)不同的排法4【答案】 24【鞏固】 9 名同學站成兩排照相,前排 4 人,后排 5 人,共有多少種站法?【考點】簡單排列問題
8、【難度】3 星 【題型】解答【解析】 如果問題是 9 名同學站成一排照相,則是 9 個元素的全排列的問題,有 p 9 種不同站法而問題中,99個人要站成兩排,這時可以這么想,把9 個人排成一排后,左邊4 個人站在前排,右邊5 個人站在后 排,所以實質上,還是 9 個人站 9 個位置的全排列問題方法一:由全排列公式,共有 p 9 =9 8 7 6 5 4 3 2 1 =3628809方法二:根據(jù)乘法原理,先排四前個,再排后五個(種)不同的排法p 4 p5 9 5【答案】 362880=9 8 7 6 5 4 3 2 1 =362880【鞏固】 5 個人并排站成一排,其中甲必須站在中間有多少種不同
9、的站法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 由于甲必須站在中間,那么問題實質上就是剩下的四個人去站其余四個位置的問題,是一個全排列問題,且 n =4 由全排列公式,共有 p 44【答案】 24=4 3 2 1 =24 (種)不同的站法【鞏固】 丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照“全家福”, 5 人并排站成一排,奶奶要站在正中間,有多少 種不同的站法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 由于奶奶必須站在中間,那么問題實質上就是剩下的四個人去站其余四個位置的問題,是一個全排 列問題,且 n=42由全排列公式,共有 p 44【答案】 24=4 3 2
10、1 =24 (種)不同的站法【例 3】 5 個同學排成一行照相,其中甲在乙右側的排法共有_種?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯,4 年級,第 8 題【解析】 5 個人全排列有 5! =120 種,其中甲在乙右側應該正好占一半,也就是60 種【答案】60 種【例 4】 一列往返于北京和上海方向的列車全程???4 個車站(包括北京和上海),這條鐵路線共需要多少種 不同的車票【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 p 2 14【答案】 182=14 13 =182 (種)【例 5】 班集體中選出了 5 名班委,他們要分別擔任班長,學習委員、生活
11、委員、宣傳委員和體育委員問: 有多少種不同的分工方式?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 p 5 =120 (種)5【答案】 120【例 6】 有五面顏色不同的小旗,任意取出三面排成一行表示一種信號,問:共可以表示多少種不同的信 號?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 這里五面不同顏色的小旗就是五個不同的元素,三面小旗表示一種信號,就是有三個位置我們的 問題就是要從五個不同的元素中取三個,排在三個位置的問題由于信號不僅與旗子的顏色有關, 而且與不同旗子所在的位置有關,所以是排列問題,且其中 n =5 , m =3 由排列數(shù)公式知,共可組成 p 3
12、5【答案】 60=5 4 3 =60 (種)不同的信號【鞏固】 有紅、黃、藍三種信號旗,把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號,問共可以組成多少 種不同的信號?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 p 2 =3 2 =6 3【答案】 6【鞏固】 在航海中,船艦常以“旗語”相互聯(lián)系,即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號如有紅、黃、 綠三面不同顏色的旗子,按一定順序同時升起表示一定的信號,問這樣總共可以表示出多少種不同 的信號?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 方法一:這里三面不同顏色的旗子就是三個不同的元素,紅、黃、綠三面旗子按一定順序的
13、一個排 法表示一種信號,也就是從三個元素中選三個的全排列的問題由排列數(shù)公式,共可以組成 p 3 =3 2 1 =6 (種)不同的信號3方法二:首先,先確定最高位置的旗子,在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個,有3 種方法; 其次,確定中間位置的旗子,當最高位置確定之后,中間位置的旗子只能從余下的兩面旗 中去取,有 2 種方法剩下那面旗子,放在最低位置根據(jù)乘法原理,用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數(shù)是:3 2 1 =6 (種) 【補充說明】這個問題也可以用乘法原理來做,一般,乘法原理中與順序有關的問題常常可以用排列數(shù)公式做,用排列數(shù)公式解決問題時,可避免一步步地分析考慮,使問題簡化【答
14、案】 6模塊三、排列之數(shù)字問題3【例 7】 用 1、2、3、4、5、6、7、8 可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 這是一個從 8 個元素中取 4 個元素的排列問題,已知 n =8 , m =4 ,根據(jù)排列數(shù)公式,一共可以組成 p 4 =8 7 6 5 =1680 (個)不同的四位數(shù)8【答案】 1680【鞏固】 由數(shù)字1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 可以組成多少沒有重復數(shù)字的三位數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 p 3 =120 6【答案】 120【例 8】 用 0 、1 、 2 、 3 、
15、4 可以組成多少個沒重復數(shù)字的三位數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 (法1 )本題中要注意的是 0 不能為首位數(shù)字,因此,百位上的數(shù)字只能從1 、2 、 3 、 4 這四個數(shù)字 中選擇一個,有 4 種方法;十位和個位上的數(shù)字可以從余下的 4 個數(shù)字中任選兩個進行排列,有 p 2 種4方法由乘法原理得,此種三位數(shù)的個數(shù)是: 4 p 2 =48 (個)4(法 2 ):從 0 、1 、2 、3 、 4 中任選三個數(shù)字進行排列,再減去其中不合要求的,即首位是 0 的從 0 、1 、 2 、3 、 4 這五個數(shù)字中任選三個數(shù)字的排列數(shù)為 p 3 ,其中首位是 0 的三位數(shù)有
16、 p 2 個三位5 4數(shù)的個數(shù)是:p 3 -p 2 =5 4 3 -4 3 =48 (個)5 4本題不是簡單的全排列,有一些其它的限制,這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況,要么直接 在排列的時候考慮這些限制因素【答案】 48【例 9】 用 1、2、3、4、5、6 可以組成多少個沒有重復數(shù)字的個位是 5 的三位數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 個位數(shù)字已知,問題變成從從5 個元素中取 2 個元素的排列問題,已知n =5 , m =2 ,根據(jù)排列數(shù)公 式,一共可以組成 p 2 =5 4 =20 (個)符合題意的三位數(shù)5【答案】 20【鞏固】 用 1、2、3、4、5、
17、6 六張數(shù)字卡片,每次取三張卡片組成三位數(shù),一共可以組成多少個不同的偶 數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 由于組成偶數(shù),個位上的數(shù)應從 2 , 4 , 6 中選一張,有 3 種選法;十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5 張中選二張,有 p 25【答案】 60=5 4 =20 (種)選法由乘法原理,一共可以組成 3 20 =60 (個)不同的偶數(shù)【例 10】 由 0 , 2 , 5 , 6 , 7 , 8 組成無重復數(shù)字的數(shù),四位數(shù)有多少個? 【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 方法一:先考慮從六個數(shù)字中任取四個數(shù)字的排列數(shù)為 p 46=6 5 4
18、 3 =360 ,由于 0 不能在千位上,而以 0 為千位數(shù)的四位數(shù)有 p 3 =5 4 3 =60 ,它們的差就是由 0 , 2 , 5 , 6 , 7 , 85組成無重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù),即為: 360 -60 =300 個方法二:完成這件事組成一個四位數(shù),可分為 4 個步驟進行,第一步:確定千位數(shù);第二步:確定百位數(shù);第三步:確定十位數(shù);第四步:確定個位數(shù);這四個步驟依次完成了,“組成一個四位數(shù) ”這件事也就完成了,從而這個四位數(shù)也完全確 定了,思維過程如下:4根據(jù)乘法原理,所求的四位數(shù)的個數(shù)是: 5 5 4 3 =300 (個)【答案】 300【例 11】 用1 、 2 、 3 、
19、4 、 5 這五個數(shù)字,不許重復,位數(shù)不限,能寫出多少個 3 的倍數(shù)? 【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 按位數(shù)來分類考慮: 一位數(shù)只有1 個 3 ; 兩位數(shù):由1 與 2 , 1 與 5 , 2 與 4 , 4 與 5 四組數(shù)字組成,每一組可以組成 p 22的兩位數(shù),共可組成 2 4 =8 (個)不同的兩位數(shù);=2 1 =2 (個)不同 三位數(shù):由 1 , 2 與 3 ; 1 , 3 與 5 ; 2 , 3 與 4 ; 3 , 4 與 5 四組數(shù)字組成,每一組可以組成 p 3 =3 2 1 =6 (個)不同的三位數(shù),共可組成 6 4 =24 (個)不同的三位數(shù);3
20、四位數(shù):可由 1 , 2 , 4 , 5 這四個數(shù)字組成,有 p 44=4 3 2 1 =24 (個)不同的四位數(shù); 五位數(shù):可由 1 , 2 , 3 , 4 , 5 組成,共有 p 5 =5 4 3 2 1 =120 (個)不同的五位數(shù)5由加法原理,一共有1 +8 +24 +24 +120 =177 (個)能被 3 整除的數(shù),即 3 的倍數(shù)【答案】 177【例 12】 用 1、2、3、4、5 這五個數(shù)字可組成多少個比 20000 大且百位數(shù)字不是 3 的無重復數(shù)字的五位數(shù)? 【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 可以分兩類來看: 把 3 排在最高位上,其余 4 個數(shù)可以
21、任意放到其余 4 個數(shù)位上,是 4 個元素全排列的問題,有 p 4 =4 3 2 1 =24 (種)放法,對應 24 個不同的五位數(shù);4 把 2,4,5 放在最高位上,有 3 種選擇,百位上有除已確定的最高位數(shù)字和 3 之外的 3 個數(shù)字可 以選擇,有 3 種選擇,其余的 3 個數(shù)字可以任意放到其余 3 個數(shù)位上,有 p 3 =6 種選擇由乘法原3理,可以組成 3 3 6 =54 (個)不同的五位數(shù)由加法原理,可以組成 24 +54 =78 (個)不同的五位數(shù)【答案】 78【鞏固】 用 0 到 9 十個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù);若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列,則 5687 是第幾個數(shù)?
22、【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 從高位到低位逐層分類: 千位上排 1 , 2 , 3 或 4 時,千位有 4 種選擇,而百、十、個位可以從 0 9 中除千位已確定的數(shù) 字之外的 9 個數(shù)字中選擇,因為數(shù)字不重復,也就是從 9 個元素中取 3 個的排列問題,所以百、十、 個位可有 p 3 =9 8 7 =504 (種)排列方式由乘法原理,有 4 504 =2016 (個)9 千位上排 5 ,百位上排 0 4 時,千位有 1 種選擇,百位有 5 種選擇,十、個位可以從剩下的八個5數(shù)字中選擇也就是從 8 個元素中取 2 個的排列問題,即 p 281 5 56 =280 (
23、個)=8 7 =56 ,由乘法原理,有3 千位上排 5 ,百位上排 6 ,十位上排 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 7 時,個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇, 有 116 7 =42 (個)4 千位上排 5 ,百位上排 6 ,十位上排 8 時,比 5687 小的數(shù)的個位可以選擇 0 ,1 ,2 ,3 ,4 共 5 個 綜上所述,比 5687 小的四位數(shù)有 2016 +280 +42 +5 =2343 (個),故 5687 是第 2344 個四位數(shù)【答案】 2344【例 13】 用數(shù)字 l8 各一個組成 8 位數(shù),使得任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是 3 的倍數(shù)共有_ 種組成方法【考點】簡單排
24、列問題 【難度】4 星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯,六年級,初賽,第 7 題【解析】 l8 中被三除余 1 和余 2 的數(shù)各有 3 個,被 3 整除的數(shù)有兩個,根據(jù)題目條件可以推導,符合條件 的排列,一定符合“被三除所得余數(shù)以 3 位周期”,所以 8 個數(shù)字,第 1、4、7 位上的數(shù)被 3 除同余, 第 2、5、8 位上的數(shù)被 3 除同余,第 3、6 位上的數(shù)被 3 除同余,顯然第 3、6 位上的數(shù)被 3 整除, 第 1、4、7 位上的數(shù)被 3 除可以余 1 也可以余 2,第 2、5、8 位上的數(shù)被 3 除可以余 2 可以余 1,余 數(shù)的安排上共有 2 種方法,余數(shù)安排定后,還有同余數(shù)之間的
25、排列,一共有 3!3!2!=144 種方 法.【答案】 144 種【例 14】 由數(shù)字 0、2、8(既可全用也可不全用)組成的非零自然數(shù),按照從小到大排列2008 排在 個 【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 比 2008 小的 4 位數(shù)有 2000 和 2002 ,比 2008 小的 3 位數(shù)有 2 3 3 =18 (種),比 2008 小的 2 位數(shù)有2 3 =6 (種),比 2008 小的 1 位數(shù)有 2 (種),所以 2008 排在第 2 +18 +6 +2 +1 =29 (個)【答案】 29【例 15】 千位數(shù)字與十位數(shù)字之差為 2(大減小),且不含重復數(shù)字的
26、四位數(shù)有多少個?【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 千位數(shù)字大于十位數(shù)字,千位數(shù)字的取值范圍為 2 : 9 ,對應的十位數(shù)字取 0 : 7 ,每確定一個千位數(shù)字,十位數(shù)字就相應確定了,只要從剩下的 8 個數(shù)字中選出 2 個作百位和個位就 行了,因此總共有 8 p 2 個這樣的四位數(shù)千位數(shù)字小于十位數(shù)字,千位數(shù)字取1 : 7 ,十位數(shù)字8取 3 : 9 ,共有 7 p 28【答案】 840個這樣的四位數(shù)所以總共有8 p 28+7 p 2 8=840 個這樣的四位數(shù)模塊四、排列之策略問題【例 16】 某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字,只記得是由四個非 0 數(shù)碼組成,且四
27、個數(shù)碼之和是 9 , 那么確保打開保險柜至少要試幾次?【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 四個非 0 數(shù)碼之和等于 9 的組合有 1,1,1,6;1,1,2,5;1,1,3,4;1,2,2,4;1,2,3, 3;2,2,2,3 六種第一種中,可以組成多少個密碼呢?只要考慮 6 的位置就可以了,6 可以任意選擇 4 個位置中的一個, 其余位置放1 ,共有 4 種選擇;第二種中,先考慮放 2 ,有 4 種選擇,再考慮 5 的位置,可以有 3 種選擇,剩下的位置放 1 ,共有 4 3 =12 (種)選擇同樣的方法,可以得出第三、四、五種都各有 12 種選擇最后一種,與第一種的
28、 情形相似, 3 的位置有 4 種選擇,其余位置放 2 ,共有 4 種選擇綜上所述,由加法原理,一共可以組成4 +12 +12 +12 +12 +4 =56 (個)不同的四位數(shù),即確保能打開 保險柜至少要試 56 次【答案】 56【例 17】 幼兒園里的 6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子,有多少種坐法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 在這個問題中,只要把 3 把椅子看成是 3 個位置,而 6 名小朋友作為 6 個不同元素,則問題就可以轉 化成從 6 個元素中取 3 個,排在 3 個不同位置的排列問題6由排列數(shù)公式,共有: p 36【答案】 120=6 5 4 =120 (種)不同的坐法【鞏固】 幼兒園里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子(每人只能坐一把),有多少種不同的坐法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 與例 5 不同,這次是椅子多而人少,可以考慮把 6 把椅子看成是 6 個元素,而把 3 名小朋友作為 3 個 位置,則問題轉化為從 6 把椅子中選出 3 把,排在 3 名小朋友面前的排列問題由排列公式,共有: p 36【答案】 12
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