小學數(shù)學 簡單的排列問題.教師版

1、7-4-1. 簡單的排列問題教學目標1. 使學生正確理解排列的意義；2. 了解排列、排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；3. 掌握排列的計算公式；4. 會分析與數(shù)字有關的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力； 通過本講的學習，對排列的一些計數(shù)問題進行歸納總結，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等知識要點一、排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構成一列，計算有多少種排法，就 是排列問題在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關一般地，從 n 個不同的元素中取出 m ( m n )個元素，按照一定

2、的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中 取出 m 個元素的一個排列根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同如果 兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順 序不同，它們也是不同的排列排列的基本問題是計算排列的總個數(shù)從 n 個不同的元素中取出 m ( m n )個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 n 個不同的元素的排列中取出 m 個 元素的排列數(shù)，我們把它記做 p m n根據(jù)排列的定義，做一個 m 元素的排列由 m 個步驟完成：步驟 1 ：從 n 個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有 n 種方法；步

3、驟 2 ：從剩下的( n -1)個元素中任取一個元素排在第二位，有( n -1)種方法；步驟 m ：從剩下的 n -( m -1) 個元素中任取一個元素排在第 m 個位置，有 n -（m-1）=n-m +1 (種)方法； 由乘法原理，從 n 個不同元素中取出 m 個元素的排列數(shù)是 n（n-1）（n-2）l（n-m+1），即p m =（nn -1）（.n-2）l（n -m +1），這里， m n ，且等號右邊從 n 開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1 ，共 n有 m 個因數(shù)相乘二、排列數(shù)一般地，對于 m =n 的情況，排列數(shù)公式變?yōu)?p n =n（n-1）（n-2）l321n表示從 n 個不同元

4、素中取 n 個元素排成一列所構成排列的排列數(shù)這種n 個排列全部取出的排列，叫做n 個不同元素的全排列式子右邊是從 n 開始，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小1 ，一直乘到 1 的乘積，記為 n ! ，讀做 n 的階乘，則 p n 還可以寫為： p nn n例題精講=n !，其中 n! =n（n-1）（n-2）ll321模塊一、排列之計算【例 1】 計算： p 2 ； p 4 -p 3 5 7 7【考點】簡單排列問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 由排列數(shù)公式 p m =（nn -1）（.n-2）l（n -m +1）知：n p 2 =5 4 =205 p 4 =7 6 5 4 =840 ,

5、p 3 =7 6 5 =210 ，所以 p 4 -p 37 7 7 7【答案】 20 6301=840 -210 =630 【鞏固】 計算： p 2 ； p 3 -p 2 3 6 10【考點】簡單排列問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 p 23【答案】 6=3 2 =6 30 p 3 -p 2 6 10=6 5 4 -10 9 =120 -90 =30 【鞏固】 計算： p 3 -p 2 ； 3p 5 -p 3 14 14 6 3【考點】簡單排列問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 p 314-p 214=14 13 12 -14 13 =2002 ； 3p 5 -p 3 =3

6、(6 5 4 3 2) -3 2 1 =2154 6 3【答案】 2002 2154模塊二、排列之排隊問題【例 2】 有 4 個同學一起去郊游，照相時，必須有一名同學給其他 3 人拍照，共可能有多少種拍照情況？ (照 相時 3 人站成一排)【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 由于 4 人中必須有一個人拍照，所以，每張照片只能有 3 人，可以看成有 3 個位置由這 3 人來站由 于要選一人拍照，也就是要從四個人中選3 人照相，所以，問題就轉化成從四個人中選3 人，排在 3 個位置中的排列問題要計算的是有多少種排法由排列數(shù)公式，共可能有： p 3 =4 3 2 =24 (種

7、)不同的拍照情況4也可以把照相的人看成一個位置，那么共可能有： p 44【答案】 24=4 3 2 1 =24 (種)不同的拍照情況【鞏固】 4 名同學到照相館照相他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法？【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 4 個人到照相館照相，那么 4 個人要分坐在四個不同的位置上所以這是一個從 4 個元素中選 4 個， 排成一列的問題這時 n =4 ， m =4 由排列數(shù)公式知，共有 p 4 =4 3 2 1 =24 (種)不同的排法4【答案】 24【鞏固】 9 名同學站成兩排照相，前排 4 人，后排 5 人，共有多少種站法？【考點】簡單排列問題

8、【難度】3 星 【題型】解答【解析】 如果問題是 9 名同學站成一排照相，則是 9 個元素的全排列的問題，有 p 9 種不同站法而問題中，99個人要站成兩排，這時可以這么想，把9 個人排成一排后，左邊4 個人站在前排，右邊5 個人站在后 排，所以實質上，還是 9 個人站 9 個位置的全排列問題方法一：由全排列公式，共有 p 9 =9 8 7 6 5 4 3 2 1 =3628809方法二：根據(jù)乘法原理,先排四前個，再排后五個(種)不同的排法p 4 p5 9 5【答案】 362880=9 8 7 6 5 4 3 2 1 =362880【鞏固】 5 個人并排站成一排，其中甲必須站在中間有多少種不同

9、的站法？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 由于甲必須站在中間，那么問題實質上就是剩下的四個人去站其余四個位置的問題，是一個全排列問題，且 n =4 由全排列公式，共有 p 44【答案】 24=4 3 2 1 =24 (種)不同的站法【鞏固】 丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照“全家福”， 5 人并排站成一排，奶奶要站在正中間，有多少 種不同的站法？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 由于奶奶必須站在中間，那么問題實質上就是剩下的四個人去站其余四個位置的問題，是一個全排 列問題，且 n=42由全排列公式，共有 p 44【答案】 24=4 3 2

10、1 =24 (種)不同的站法【例 3】 5 個同學排成一行照相，其中甲在乙右側的排法共有_種？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，4 年級，第 8 題【解析】 5 個人全排列有 5! =120 種，其中甲在乙右側應該正好占一半，也就是60 種【答案】60 種【例 4】 一列往返于北京和上海方向的列車全程?？?4 個車站(包括北京和上海)，這條鐵路線共需要多少種 不同的車票【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 p 2 14【答案】 182=14 13 =182 (種)【例 5】 班集體中選出了 5 名班委，他們要分別擔任班長，學習委員、生活

11、委員、宣傳委員和體育委員問： 有多少種不同的分工方式？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 p 5 =120 (種)5【答案】 120【例 6】 有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信 號？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 這里五面不同顏色的小旗就是五個不同的元素，三面小旗表示一種信號，就是有三個位置我們的 問題就是要從五個不同的元素中取三個，排在三個位置的問題由于信號不僅與旗子的顏色有關， 而且與不同旗子所在的位置有關，所以是排列問題，且其中 n =5 ， m =3 由排列數(shù)公式知，共可組成 p 3

12、5【答案】 60=5 4 3 =60 (種)不同的信號【鞏固】 有紅、黃、藍三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號，問共可以組成多少 種不同的信號？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 p 2 =3 2 =6 3【答案】 6【鞏固】 在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號如有紅、黃、 綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同 的信號？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 方法一：這里三面不同顏色的旗子就是三個不同的元素，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的

13、一個排 法表示一種信號，也就是從三個元素中選三個的全排列的問題由排列數(shù)公式，共可以組成 p 3 =3 2 1 =6 (種)不同的信號3方法二：首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個，有3 種方法； 其次，確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗 中去取，有 2 種方法剩下那面旗子，放在最低位置根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數(shù)是：3 2 1 =6 (種) 【補充說明】這個問題也可以用乘法原理來做，一般，乘法原理中與順序有關的問題常常可以用排列數(shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問題時，可避免一步步地分析考慮，使問題簡化【答

14、案】 6模塊三、排列之數(shù)字問題3【例 7】 用 1、2、3、4、5、6、7、8 可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 這是一個從 8 個元素中取 4 個元素的排列問題，已知 n =8 ， m =4 ，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成 p 4 =8 7 6 5 =1680 (個)不同的四位數(shù)8【答案】 1680【鞏固】 由數(shù)字1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 可以組成多少沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 p 3 =120 6【答案】 120【例 8】 用 0 、1 、 2 、 3 、

15、4 可以組成多少個沒重復數(shù)字的三位數(shù)？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 （法1 ）本題中要注意的是 0 不能為首位數(shù)字，因此，百位上的數(shù)字只能從1 、2 、 3 、 4 這四個數(shù)字 中選擇一個，有 4 種方法；十位和個位上的數(shù)字可以從余下的 4 個數(shù)字中任選兩個進行排列，有 p 2 種4方法由乘法原理得，此種三位數(shù)的個數(shù)是： 4 p 2 =48 (個)4（法 2 ）：從 0 、1 、2 、3 、 4 中任選三個數(shù)字進行排列，再減去其中不合要求的，即首位是 0 的從 0 、1 、 2 、3 、 4 這五個數(shù)字中任選三個數(shù)字的排列數(shù)為 p 3 ，其中首位是 0 的三位數(shù)有

16、 p 2 個三位5 4數(shù)的個數(shù)是：p 3 -p 2 =5 4 3 -4 3 =48 (個)5 4本題不是簡單的全排列，有一些其它的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要么直接 在排列的時候考慮這些限制因素【答案】 48【例 9】 用 1、2、3、4、5、6 可以組成多少個沒有重復數(shù)字的個位是 5 的三位數(shù)？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 個位數(shù)字已知，問題變成從從5 個元素中取 2 個元素的排列問題，已知n =5 ， m =2 ，根據(jù)排列數(shù)公 式，一共可以組成 p 2 =5 4 =20 (個)符合題意的三位數(shù)5【答案】 20【鞏固】 用 1、2、3、4、5、

17、6 六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶 數(shù)？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 由于組成偶數(shù)，個位上的數(shù)應從 2 ， 4 ， 6 中選一張，有 3 種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5 張中選二張，有 p 25【答案】 60=5 4 =20 (種)選法由乘法原理，一共可以組成 3 20 =60 (個)不同的偶數(shù)【例 10】 由 0 ， 2 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 組成無重復數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 方法一：先考慮從六個數(shù)字中任取四個數(shù)字的排列數(shù)為 p 46=6 5 4

18、 3 =360 ，由于 0 不能在千位上，而以 0 為千位數(shù)的四位數(shù)有 p 3 =5 4 3 =60 ，它們的差就是由 0 ， 2 ， 5 ， 6 ， 7 ， 85組成無重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)，即為： 360 -60 =300 個方法二：完成這件事組成一個四位數(shù)，可分為 4 個步驟進行，第一步：確定千位數(shù)；第二步：確定百位數(shù)；第三步：確定十位數(shù)；第四步：確定個位數(shù)；這四個步驟依次完成了，“組成一個四位數(shù) ”這件事也就完成了，從而這個四位數(shù)也完全確 定了，思維過程如下：4根據(jù)乘法原理，所求的四位數(shù)的個數(shù)是： 5 5 4 3 =300 (個)【答案】 300【例 11】 用1 、 2 、 3 、

19、4 、 5 這五個數(shù)字，不許重復，位數(shù)不限，能寫出多少個 3 的倍數(shù)？ 【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 按位數(shù)來分類考慮： 一位數(shù)只有1 個 3 ； 兩位數(shù)：由1 與 2 ， 1 與 5 ， 2 與 4 ， 4 與 5 四組數(shù)字組成，每一組可以組成 p 22的兩位數(shù)，共可組成 2 4 =8 (個)不同的兩位數(shù)；=2 1 =2 (個)不同 三位數(shù)：由 1 ， 2 與 3 ； 1 ， 3 與 5 ； 2 ， 3 與 4 ； 3 ， 4 與 5 四組數(shù)字組成，每一組可以組成 p 3 =3 2 1 =6 (個)不同的三位數(shù)，共可組成 6 4 =24 (個)不同的三位數(shù)；3

20、四位數(shù)：可由 1 ， 2 ， 4 ， 5 這四個數(shù)字組成，有 p 44=4 3 2 1 =24 (個)不同的四位數(shù)； 五位數(shù)：可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 組成，共有 p 5 =5 4 3 2 1 =120 (個)不同的五位數(shù)5由加法原理，一共有1 +8 +24 +24 +120 =177 (個)能被 3 整除的數(shù)，即 3 的倍數(shù)【答案】 177【例 12】 用 1、2、3、4、5 這五個數(shù)字可組成多少個比 20000 大且百位數(shù)字不是 3 的無重復數(shù)字的五位數(shù)？ 【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 可以分兩類來看： 把 3 排在最高位上，其余 4 個數(shù)可以

21、任意放到其余 4 個數(shù)位上，是 4 個元素全排列的問題，有 p 4 =4 3 2 1 =24 (種)放法，對應 24 個不同的五位數(shù)；4 把 2，4，5 放在最高位上，有 3 種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和 3 之外的 3 個數(shù)字可 以選擇，有 3 種選擇，其余的 3 個數(shù)字可以任意放到其余 3 個數(shù)位上，有 p 3 =6 種選擇由乘法原3理，可以組成 3 3 6 =54 (個)不同的五位數(shù)由加法原理，可以組成 24 +54 =78 (個)不同的五位數(shù)【答案】 78【鞏固】 用 0 到 9 十個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則 5687 是第幾個數(shù)？

22、【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 從高位到低位逐層分類： 千位上排 1 ， 2 ， 3 或 4 時，千位有 4 種選擇，而百、十、個位可以從 0 9 中除千位已確定的數(shù) 字之外的 9 個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復，也就是從 9 個元素中取 3 個的排列問題，所以百、十、 個位可有 p 3 =9 8 7 =504 (種)排列方式由乘法原理，有 4 504 =2016 (個)9 千位上排 5 ，百位上排 0 4 時，千位有 1 種選擇，百位有 5 種選擇，十、個位可以從剩下的八個5數(shù)字中選擇也就是從 8 個元素中取 2 個的排列問題，即 p 281 5 56 =280 (

23、個)=8 7 =56 ，由乘法原理，有3 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 0 ，1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 7 時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇， 有 116 7 =42 (個)4 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 8 時，比 5687 小的數(shù)的個位可以選擇 0 ，1 ，2 ，3 ，4 共 5 個 綜上所述，比 5687 小的四位數(shù)有 2016 +280 +42 +5 =2343 (個)，故 5687 是第 2344 個四位數(shù)【答案】 2344【例 13】 用數(shù)字 l8 各一個組成 8 位數(shù)，使得任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是 3 的倍數(shù)共有_ 種組成方法【考點】簡單排

24、列問題 【難度】4 星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，六年級，初賽，第 7 題【解析】 l8 中被三除余 1 和余 2 的數(shù)各有 3 個，被 3 整除的數(shù)有兩個，根據(jù)題目條件可以推導，符合條件 的排列，一定符合“被三除所得余數(shù)以 3 位周期”，所以 8 個數(shù)字，第 1、4、7 位上的數(shù)被 3 除同余， 第 2、5、8 位上的數(shù)被 3 除同余，第 3、6 位上的數(shù)被 3 除同余，顯然第 3、6 位上的數(shù)被 3 整除， 第 1、4、7 位上的數(shù)被 3 除可以余 1 也可以余 2，第 2、5、8 位上的數(shù)被 3 除可以余 2 可以余 1，余 數(shù)的安排上共有 2 種方法，余數(shù)安排定后，還有同余數(shù)之間的

25、排列，一共有 3！3！2！=144 種方 法.【答案】 144 種【例 14】 由數(shù)字 0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列2008 排在 個 【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 比 2008 小的 4 位數(shù)有 2000 和 2002 ，比 2008 小的 3 位數(shù)有 2 3 3 =18 （種），比 2008 小的 2 位數(shù)有2 3 =6 （種），比 2008 小的 1 位數(shù)有 2 （種），所以 2008 排在第 2 +18 +6 +2 +1 =29 （個）【答案】 29【例 15】 千位數(shù)字與十位數(shù)字之差為 2（大減小)，且不含重復數(shù)字的

26、四位數(shù)有多少個?【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 千位數(shù)字大于十位數(shù)字，千位數(shù)字的取值范圍為 2 : 9 ，對應的十位數(shù)字取 0 : 7 ，每確定一個千位數(shù)字，十位數(shù)字就相應確定了，只要從剩下的 8 個數(shù)字中選出 2 個作百位和個位就 行了，因此總共有 8 p 2 個這樣的四位數(shù)千位數(shù)字小于十位數(shù)字，千位數(shù)字取1 : 7 ，十位數(shù)字8取 3 : 9 ，共有 7 p 28【答案】 840個這樣的四位數(shù)所以總共有8 p 28+7 p 2 8=840 個這樣的四位數(shù)模塊四、排列之策略問題【例 16】 某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非 0 數(shù)碼組成，且四

27、個數(shù)碼之和是 9 ， 那么確保打開保險柜至少要試幾次？【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 四個非 0 數(shù)碼之和等于 9 的組合有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3， 3；2，2，2，3 六種第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮 6 的位置就可以了，6 可以任意選擇 4 個位置中的一個， 其余位置放1 ，共有 4 種選擇；第二種中，先考慮放 2 ，有 4 種選擇，再考慮 5 的位置，可以有 3 種選擇，剩下的位置放 1 ，共有 4 3 =12 (種)選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有 12 種選擇最后一種，與第一種的

28、 情形相似， 3 的位置有 4 種選擇，其余位置放 2 ，共有 4 種選擇綜上所述，由加法原理，一共可以組成4 +12 +12 +12 +12 +4 =56 (個)不同的四位數(shù)，即確保能打開 保險柜至少要試 56 次【答案】 56【例 17】 幼兒園里的 6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子，有多少種坐法？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 在這個問題中，只要把 3 把椅子看成是 3 個位置，而 6 名小朋友作為 6 個不同元素，則問題就可以轉 化成從 6 個元素中取 3 個，排在 3 個不同位置的排列問題6由排列數(shù)公式，共有： p 36【答案】 120=6 5 4 =120 (種)不同的坐法【鞏固】 幼兒園里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少種不同的坐法？【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 與例 5 不同，這次是椅子多而人少，可以考慮把 6 把椅子看成是 6 個元素，而把 3 名小朋友作為 3 個 位置，則問題轉化為從 6 把椅子中選出 3 把，排在 3 名小朋友面前的排列問題由排列公式，共有： p 36【答案】 12