概率論基礎(chǔ)復(fù)習(xí)題及問題詳解

1、標(biāo)準(zhǔn)概率論基礎(chǔ)本科填空題(含答案)1設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為 p(x), 則 p(x) 0; p(x)dx = 1 ； E= xp(x)dx 。考查第三章2設(shè) A,B,C 為三個事件， 則 A,B,C 至少有一個發(fā)生可表示為： A B C ；A,C 發(fā)生而 B 不發(fā)生可表示ABC ；A,B,C 恰有一個發(fā)生可表示為： ABC ABC ABC ?？疾榈谝徽?設(shè)隨機變量 N(0,1) ，其概率密度函數(shù)為0 (x) ，分布函數(shù)為 0 (x) ，則 0(0) 等于 1 ， 20(0)等于 0.5 。考查第三章4設(shè)隨機變量具有分布 P=k= 15， k=1,2,3,4,5 ，則 E=3，D=56考查第五章

2、已知隨機變量 X，Y 的相關(guān)系數(shù)為 rXY ,若 U=aX+b,V=cY+d,其中 ac0. 則 U ，V 的相關(guān)系數(shù)等于考查第五章設(shè) X N( , 2 ) ，用車貝曉夫不等式估計： P(| X | k ) 1 12 k文案標(biāo)準(zhǔn)考查第五章7 設(shè)隨機變量的概率函數(shù)為P= xi = pii1,2,.,則pi0 ；pi= 1； E=xi pi 。i 1 i 1考查第一章8 設(shè) A,B,C 為三個事件，則 A,B,C 都發(fā)生可表示為： ABC ；A 發(fā)生而 B,C 不發(fā)生可表示為： ABC ； A,B,C 恰有一個發(fā)生可表示為： ABC ABC ABC ?？疾榈谝徽? X N(5,4)，P(X c)

3、P(X c)，則 c5 ?？疾榈谌?410 設(shè)隨機變量 在1 ， 6上服從均勻分布，則方程 x2 x 1 0 有實根的概率為 。5考查第三章 較難11 若隨機變量 X，Y的相關(guān)系數(shù)為 rXY ,U=2X+1,V=5Y+10則 U，V 的相關(guān)系數(shù) = rXY。考查第三章112 若 服從 , 的均勻分布， 2 ，則 的密度函數(shù) g(y) g(y) y 。2 2 2考查第五章文案標(biāo)準(zhǔn)13設(shè) P(A) 0.4，P(A B) 0.7，若 A與B互不相容，則 P(B) 0.3 ；若 A與 B相互獨立， 則 P(B) 0.5 。14將數(shù)字 1，2，3，4，5 寫在 5 卡片上， 任意取出三排列成三位數(shù)，這

4、個數(shù)是奇數(shù)的概率 P( A )=考查第一章考查第一章15若 B(10,0.8) ， E8 ， D1.6 ，最可能值 k016考查第二、五章設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 f (x) xe0000，則 E(3X)=E(e3X ) = 116考查第四、五章17任取三線段分別長為 x,y,z 且均小于等于 a，x,y,z 可構(gòu)成一三角形的概率考查第一章(較難)18設(shè)隨機變量 X，Y的相關(guān)系數(shù)為 1，若 Z=X-0.4, 則 Y與 Z的相關(guān)系數(shù)為 1 考查第五章文案19 若 N(3,0.16) ， E0.16標(biāo)準(zhǔn)考查第五章20. 若 B(10,0.7) ， E( 9) 16 ， D(2 3) 8.4考查

5、第五章21. 某公司有 A、B、C三個生產(chǎn)基地生產(chǎn)同一種產(chǎn)品， 產(chǎn)量分別占 20% ，45%和 35% 三個基地的產(chǎn)品各有 30%，20% ，25% 在市場銷售則該公司任取此產(chǎn)品一件，它可能在銷往市場的概率為0.2475 考查第二章22. f (x)為一維連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度函數(shù)，則有f (x)dx 1 ；若離散型隨機變量 Y 具有分布列 P(Y yk ) pk, 則pk1kn1,p及 n2,p，則 X Y 服從參數(shù)為 參數(shù)為考查第三章23. 若 X ,Y 是相互獨立的隨機變量，均服從二項分布，參數(shù)為n1 n2, p 的二項分布分布考查第四章24. 設(shè)隨機變量 X服從參數(shù)為 0和2的

6、正態(tài)分布 N (0,2) ,則 EX =0; DX =2考查第五章25 設(shè) A,B,C 為任意三個事件，則其中至少有兩個事件發(fā)生應(yīng)表示為ABC ABC ABC ABC 。考查第一章27 若二維隨機向量( , )的聯(lián)合密度函數(shù)文案標(biāo)準(zhǔn)P(x,y)=2r2 exp 2(1 r1 (x a1)22 2)12r(x a1)(y a2)12(y a22)2 2則 E = a1, D21 , E = a2 , D22 Cov(, )= r 1 2 .考查第五章28 兩人相約 7 點到8 點在某地會面，先到者等另一個人 20分鐘，過時就可離開，則兩人能會面的概率為5/9 ?？疾榈谝蝗逻x擇題（含答案）1.

7、一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（取名“甲罐” ）的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為 2：1 ，另一罐（取 名“乙罐”）的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為2： 1，今任取一罐并從中依次取出50 只球，查得其中有 30 只紅球和 20 只黑球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的 （ D ）（A）2 倍 （ B） 254 倍（C）798 倍（D）1024 倍2. 在 0,1 線段上隨機投擲兩點，兩點間距離大于 0.5 的概率為 （ A ）（A）0.25（B）0.5（C） 0.75（ D ） 13. 設(shè)獨立隨機變量 X，Y 分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 X + Y 服從（ C ）2（A）N（2,0）

8、（B）自由度為 2 的 2 分布（ C）N（0,2）（D ）不能確定4. 設(shè) P（X=n ）=a n （n 1,2,.）且 EX=1 ，則 a 為（ B ）3 5 1 5 1（A）1 （B）（ C）（ D）2 3 25下列論述不正確的是 （ B ）文案標(biāo)準(zhǔn)（A）若事件 A 與 B 獨立則 A 與 B 獨立（B）事件 A B 不相容則 A 與 B 獨立（C） n 個事件兩兩獨立不一定相互獨立（ D）隨機變量 和 獨立則二者不相關(guān)6甲乙兩人各投擲 n 枚硬幣，理想狀態(tài)下甲乙兩人擲得正面數(shù)相同的概率為（ C ）n11（A）0 （B）Cnk（C） （ ）2 n C2nn （D） （ ）2nk 0 2

9、27.設(shè)獨立隨機變量 X，Y 分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 X + Y 服從 （ C ）2（A）二項分布（B） 2 分布（ C）N（0,2）（D）不能確定）。8.對于任意事件 A與 B ，有 P（A B） （ CA) P(A) P(B)B) P(A)P(B) P(AB)C) P(A) P(AB)D) P(A)P(AB)9.在0, a 線段上隨機投擲兩點，兩點間距離大于a的概率為 （ D ）2A）1(B) 0.75C)0.5D ) 0.2510.設(shè)P( X=n )=a n (n1,2,.) ，其中a 為 3 5 ，則 EX= ( B )2A）5 ( B) 1C)0.5D）11 下列論述不正確的是A

10、） n 個事件兩兩獨立不一定相互獨立B）若事件 A 與 B 獨立則 A與 B 獨立C）事件 A B 不相容則 A 與 B 獨立D）隨機變量 和 獨立則二者不相關(guān)12 擲 n 枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p ，至少出現(xiàn)一次正面的概率為 （ A ）A) 1 (1 p)n(B) Cn1p(1 p)n 1(C) 1(D)1 p文案標(biāo)準(zhǔn)13.設(shè) A， B為兩個互斥事件，且 P（A）0，P（B）0 ，則下列結(jié)論正確的是（ C ）。14. 事件 A，B 相互獨立，1P(AB)911（A）（B）3215.隨機變量X 服從（ D）分布時，（A）正態(tài)（B）指數(shù),P(AB)P（AB） ，P（A）=（ D ）。（C）20

11、(D )3DXEX 。( A ) P(B|A)0,( B) P(A|B)=P(A)(C ) P(A|B)=0（D）P(AB)=P(A)P(B)考查 第二章（C）二項（D ）泊松（ Poisson ）16.設(shè) X N(,42),Y N( ,52) ，記 p1 P(X4), p2 P(Y5），則（A )A ）對任何實數(shù) ，都有 p1 p2B）對任何實數(shù)，都有 p1 p2C）只對 的個別值，才有 p1 p2D ）對任何實數(shù) ，都有 p1 p217 若有十道選擇題，每題有 A、B、C、D 四個答案，只有一個正確答案，求隨機作答恰好答對六道的概率為（B ）A）18 某課程考試成績 XB) C10 (1)

12、 (3)446D ) e 6!2N（72, 2）, 已知 96分以上占 2.3% ，則 6084 分所占比例為（ A）已知 2 0.977 )（A） 2 （1） 1（B）1（2）（C） 2 （2） 1（D） 0.519. 設(shè)獨立隨機變量 X，Y 分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 X Y 服從（ C ）2（A）泊松分布（B） 2 分布（ C）N（0,2）（D）不能確定 20.對于任意事件 A B，有 P（A B） （ A ）。文案標(biāo)準(zhǔn)A) P(A) P(B)B)0C)1D)P(B)21. 設(shè)隨機變量 的密度函數(shù)為p(x)acosx2其它則常數(shù) a 為（ B ）1 A)31B)2C）D)122 下列述不正

13、確的是（ D）A）兩兩獨立不一定相互獨立B）若事件 A 與 B 獨立則 A 與 B 獨立C）事件 A B 獨立則 P（A|B）P(A)D ）隨機變量二者不相關(guān)則和 獨立23. 下列數(shù)列可以構(gòu)成分布列的是（C）A) (1)n n 1,2,. (B)31,2,. (C)(1)n n 1,2,. 02D)1n 1,2,.24 下列述不正確的是B）A ） 和 不相關(guān)則D(D(D（ ） （B）隨機變量二者不相關(guān)則獨立C） 和 不相關(guān)則cov( ,D）隨機變量二者不相關(guān)則E(25事件 A,B,C 中，A發(fā)生且 B與C 不發(fā)生的事件為： （ C ）A) A B C ；B) ABC ABC ABC ；(C)

14、A BC；D ) A B C.26設(shè) A,B 為相互獨立的兩事件，則下列式子中不正確的是：(A) P(A B) P(A)P(B) ；B) P( AB) P(A)P(B) ；C) P(B|A) P(B)；D) P(AB) P(A)P(B).27 工廠每天從產(chǎn)品中隨機地抽查50 件產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的次品率為0.1% ，則在這一年平均每天抽查到的次品數(shù)為：（ A ） （A）0.05; （B）5.01 ; （C）5; （D）0.5 . 文案標(biāo)準(zhǔn)28 X U(0,1),Y 3X 2,則Y服從分布：( C )A) U ( 2,3); (B)U( 1,1);(C)U ( 2,1);D)U ( 1,0).2

15、9 設(shè)隨機變量 X,Y 的聯(lián)合概率密度為 f (x,y)(2x y)2e , (0 x, y). 則：( B )A) X,Y 不相關(guān)； (B)X,Y 相互獨立；C) X,Y 相關(guān)；D) X,Y 不相互獨立30事件 A，B 互不相容，是指(A) P (AB)= P (A) P (B)(B) A B=(C) AB=(D) A B=計算題(含答案)設(shè)隨機變量只取非負(fù)整數(shù)值，其概率為Pkk (1 a)k 1， a0 是常數(shù)，試求 E 及 D解：記 t= a 11akE = k 1k(1 aa)k1(1 aa)2 k 1k (1k1ak1a)k 1(1a)2ktk1(1aa)2(tk)k1a t a(

16、t )=(1 a)2 1 t (1 a)2 (1 t) = aE22 akk 1 k (1 a)k 1k(kk1k1)(1 aa)k1kkakk k 11 (1 a)k 12a(1 a)3 k(t k) a12a2(1 a)3 (11t)3a= 2a 2D E 2 (E )2= a2a二炮戰(zhàn)中，在距離目標(biāo) 250 米，200 米， 150米處射擊的概率分別為 0.1, 0.7, 0.2, 而在各處射擊時命中目標(biāo)的概率分別為 0.05, 0.1, 0.2 。任射一發(fā)炮彈，求目標(biāo)被擊中的概率。若已知目標(biāo)被擊毀，求擊毀目標(biāo)的炮彈是由距目標(biāo)250 米處射出的概率。解：1) 設(shè)A1, A2 , A3分別

17、表示炮彈從 250 米，200 米，150 米處射擊的事件文案標(biāo)準(zhǔn)B 表示目標(biāo)被擊中。則由全概率公式P(B) P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B |A3)= 0.1 0.05 0.7 0.1 0.2 0.2 0.1152) 由 Bayes 公式P(A1|B)P(A1)P(B | A1)P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B|A3)0.1 0.050.11510.04323X 服從分22 ) 已知 90 分以上有 359 人，60 分以下有 1151 人，問被錄用者中最低分為多少？X 的分布函數(shù)為 f (x)(x2)22某單位招

18、聘 2 500 人，按考試成績從高分到低分依次錄用，共有 10 000 人報名，假設(shè)報名者的成績2XX N( , 2), N(0,1)XPX 90 P901(90359100090 359( ) 11000(60 ) 1151 ( ) 100000.96410.1151標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得到=72 和 2 =100 的值，然后令錄取的最低分為 x0 ，則XP X x0 Px0x0250010000從而得到 x0 79, 即錄取的最低分為 79 分。四從 1 到 2000 這 2000 個數(shù)字中任取一數(shù)，求1 )該數(shù)能被 6 整除的概率；2 )該數(shù)能被 8 整除的概率；3 )該數(shù)能被 6 和 8

19、整除的概率；文案標(biāo)準(zhǔn)4 )該數(shù)能被 6 或 8 整除的概率。解：利用古典概型的公式P(A) m A所含樣本點數(shù)P(A) n 樣本點總數(shù) 有利于 A的場合數(shù)樣本點總數(shù)1)333250；2)200020001 838 ； 3) 2000 ；4)P(能被8整除)P(能被6整除)P(既能被6整除又能被 8整除) 333 2000141 838 2000五空戰(zhàn)中，從 A1 ， A2 ， A3處射擊的概率分別為 0.2, 0.7, 0.1, 而在各處射擊時命中敵機的概率分別為0.2, 0.1, 0.05 。任射一發(fā)炮彈，求敵機被擊中的概率。若已知敵機被擊中，求擊中敵機的炮彈是由A3 處射出的概率。解：1)

20、 設(shè) B 表示目標(biāo)被擊中。則由全概率公式P(B) P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B |A3)= 0.2 0.2 0.7 0.1 0.1 0.05 0.1152) 由 Bayes 公式P(A3)P(B| A3)P(A3 |B) P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B| A3)0.1 0.05 1 0.0430.115 23六一地區(qū)農(nóng)民年均收入服從500 元，20元的正態(tài)分布，求：該地區(qū)農(nóng)民年均收入在 500元 520 元間的人數(shù)的百分比；如果要使農(nóng)民的年均收入在( a, a) 的概率不小于 0.95 ，則 a至少為多大？3 個

21、農(nóng)民中至少有一個年均收入在 500 元 520 元間的概率。2 N 500,202文案標(biāo)準(zhǔn)解：（1）P 500520520 500500 5000 1 0 0 0.84130.5 0.3413 ( 2 )0 200 20Paa 0.95 ，Pa0.95， 2 01 0.9520200 20可得a1.96，a 39.220（3）考慮反面沒有一個年收入在圍中的情形，其概率為：C30 ( p1)0 (1p1)3，1 C30 (0.3413)0 (10.3413)31 0 1七設(shè)隨機變量X i : 1 1 1（ i=1,2 ） ,且滿足P X1X2 01，則求概率P X1 X2 。424解：由 PX1

22、X2 0 1，得 PX1X20 0 ，即PX11,X2 1PX1 1,X21 PX1 1,X21 PX11,X 2 10再根據(jù)聯(lián)合分布與邊際分布的關(guān)系可以求得X1和 X2 的聯(lián)合分布。X2X1101PX1 xi pi1014014010114421014014PX2yi p j111424所以 P X1 X2 0.文案標(biāo)準(zhǔn)八、有一袋麥種，其中一等的占 80% ，二等的占 18% ，三等的占 2% ，已知一、二、三等麥種的發(fā)芽率分別為0.8，0.2，0.1 ，現(xiàn)從袋中任取一粒麥種： 試求它發(fā)芽的概率； 若已知取出的麥種未發(fā)芽，問它是一等麥種的概率是多少？解：設(shè)事件 A1 “取出來的種子是一等種子

23、”A2 “取出來的種子是二等種子A3 “取出來的種子是三等種子”B “取出的種子發(fā)芽”B “取出的種子未發(fā)芽”由題：P(A1) 80% P(A2) 18% P(A3) 2%P(B| A1)0.8 P(B|A2) 0.2 P(B| A3) 0.1P(B | A1)0.2 P(B |A2) 0.8 P(B |A3) 0.91 ）全概率公式P(B) P(A1)P(B |A1) P(A2)P(B|A2) P(A3)P(B|A3)=67.8%2 ）貝葉斯公式P(A1|B)P(A1)P(B | A1)P(A1)P(B|A1) P( A2)P(B | A2) P( A3 )P(B |A3)=0.497202

24、P0.20.30.30.2求22 1 的分布列。解：九、 設(shè)隨機變量的分布列為文案標(biāo)準(zhǔn)1 ( 2)2 1 02 1(2)20.20.30.30.2整理得的分布列十、某師院的畢業(yè)生，其中優(yōu)等生，中等生，下等生各占20% ， 65% ， 15%. 畢業(yè)后十年，這三類學(xué)生能成為優(yōu)秀教師的概率各為 80% ，70% ，55%. 求該學(xué)院畢業(yè)的學(xué)生十年后成為優(yōu)秀教師的概率。解：記 B= 成為優(yōu)秀教師 P(B) P(A1)P(B| A1) P(A2)P(B|A2) P(A3)P(B|A3)80 20 70 65 55 15 6975100 100 100 100 100 100 10000一、將一顆均勻的

25、骰子連擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和。求1)的分布列； 2)E。解：1)23456789101112pi123456543213636363636363636363636122) E kP kk21212 3 . 12363636252736十二、設(shè)二維離散型隨P機向量(，)的聯(lián)合分布列為：文案0.3 0.5 0.2標(biāo)準(zhǔn)0121CCC1010102C2C2010102CC3100101 ) 求常數(shù) C;2) 求，的邊緣分布列；3)求2 的條件下，的條件分布列；4 ) 判斷與是否相互獨立。解： 1 ) C=1;2)012pig10.10.10.10.3200.20.20.430.200.10.3

26、pgj0.30.30.4和 的邊沿分布列為：123P0.30.40.3012文案十三、一個籃球運動員的投籃命中率為0.6，以 X 表示他首次命中時累計的投籃次數(shù)。寫出X 的分布律解：分布律為 P X k (0.4)k 1(0.6)1,2,十四、已知連續(xù)型隨機變量有密度函數(shù)p(x)kx0x2其他求系數(shù) k 及分布函數(shù)，并計算P1.5 2.5解：由密度函數(shù)的性質(zhì)2 k 2 p( x) dx(kx 1)dx ( xx)2k 2當(dāng)x0時，p(t)當(dāng)0文案xF(x)0, F(x)x 2時， F(x)x(10p(t)dt1t)dt2(t14t2)12x4標(biāo)準(zhǔn)P0.30.30.43)|2012P00.50.

27、5整理得：|212P0.50.54）因為 P 2,00 0.4 0.3 P2P 0所以 與 不相互獨立標(biāo)準(zhǔn)當(dāng) x 2 時， F(x) 10 x 0 12F(x) x x2 0 x 241 x 212P1.5 2.5 F(2.5) F(1.5) 1 1.5 (1.5)2 0.06254五、設(shè)隨機變量 X,Y 的聯(lián)合分布為YXY123400.000.030.050.0210.120.050.070.0120.080.030.080.1130.050.04x0.06求 x, 及 X,Y 的邊際分布(直接填寫在表中) ，給出 X 在Y 2的條件下的條件分布解：x = 0.2X 在 Y 2 的條件下的條

28、件分布為X|Y 212344141115101530六、設(shè)二元連續(xù)型隨機向量( X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為求 X,Y 的數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)系數(shù)x解：當(dāng) 0x1 時， P (x)x1dy 2x文案f (x, y)而x1當(dāng) -1y0 時， P (y) 1y1dx 1 y1,0,0 x 1,| y| x,其它.0,或 x 1時， P (x) 0標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)0y 1,P (y)1y1dxy而1,P (y)10x2xdx23x3101y(1y)dy001y(1y)dy 0 ，(E)210x2xdx22(23)22(23)118(E)2Cov()E10(xx xy 1dy)dx) DDCov( r綜合應(yīng)用題

29、(含答案)1.設(shè)二維連續(xù)型隨機向量, )的聯(lián)合密度函數(shù)為Axy30p(x,y)x20 x 1,0 y 2其它其中 A 為常數(shù)，求：常數(shù) A;, 的邊沿密度函數(shù) , 的條件密度函數(shù)1)2)3)p1(x), p2(y); p(x y), p(y x)所以文案4)解：判斷 與 是否相互獨立；1)由密度函數(shù)的性質(zhì)：1dx0p(x, y)dxdyx2x22x2y101 2xA3xy dxdyAxy3Axy26dy20 dy23x32Ax3Ax3dx2A3331標(biāo)準(zhǔn)2)由邊沿密度的計算公式，及p(x, y)0 的直觀圖形：p1(x)p(x, y)dy當(dāng)x當(dāng)00或 x 1時 p(x, y) 0,所以 p1(

30、x) x 1 時，所以p1(x)2x2p1( x)x2xy32x2dy2xy0x其它p2(y)p(x, y)dx2xy6當(dāng)y當(dāng)00；0或 y 2時， p(x,y) 0，此時 p2 (y) y 2 時所以：1p2( y) 0x2p1(x)xy3dx13x32x6yy 其它3 )由條件密度的計算公式：當(dāng) 0 y 2 時 p2 (y) 0 ，此時條件密度存在，且p(x, y)p(x y) p2(y)x2xy31y600x其它20x其它6x 2 2xy 2y 0當(dāng) 0 x 1時， p1(x) 0 ，此時條件密度存在，且文案標(biāo)準(zhǔn)4)顯然： p(x,y)所以 與 不獨立。文案p(yx) pp(1x(,yy

31、)p1(x)p2(y)2. 設(shè) (X,Y) 服從單位圓上的均勻分布，1, f(x,y) ,0,y2 1其它2x2xy30y2其它23x xy6x2 2x00y2其它3x y6x 200y2其它概率密度為：試求 fY|X ( y | x) ，并討論 X，Y 的獨立性。解： (X,Y)fX (x)當(dāng) | x | 1關(guān)于 X 的邊際密度為：f (x,y)dy 10,時,有fY|X(y|x) f (x,y)fX (x)1(2 ) 112 1 x2當(dāng) | x| 1 時 , 有fY|X(y| x)2x,|x|x|x21 x212 1 x20,1 x2y 1 x2y 取其它值標(biāo)準(zhǔn)fY|X (y |x)f (x,y)fX (x)fY(y) ，X，Y 不獨立。3.設(shè)二維隨機變量 （X,Y） 的概率密度為22f(x, y)A(x2 y) x2 y 10 其它1 ） 求常數(shù) A ；fX (x)32(1 2x2 3x4)1x1其它fY (