等差數(shù)列學(xué)案

1、等差數(shù)列學(xué)案2第 1 課時(shí) 等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式 知能目標(biāo)解讀 通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，并會(huì)用等差數(shù)列的概 念判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列 .探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法 . 體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，能用函數(shù)的觀點(diǎn)解決 等差數(shù)列問(wèn)題 .掌握等差中項(xiàng)的定義，并能運(yùn)用它們解決問(wèn)題 . 能用等差數(shù)列的知識(shí)解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 . 重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念 . 難點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其運(yùn)用 . 學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) 等差數(shù)列的定義 關(guān)于等差數(shù)列定義的理解，關(guān)鍵注意以下幾個(gè)方面： 如果一個(gè)數(shù)列，不是從第 2 項(xiàng)起，而是從第 3 項(xiàng)起或 第 4 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)

2、常數(shù)，那么這 個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列 .一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差盡管等 于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因?yàn)檫@些常數(shù)不一 定相同，當(dāng)這些常數(shù)不同時(shí)，此數(shù)列不是等差數(shù)列 .求公差時(shí)， 要注意相鄰兩項(xiàng)相減的順序 .d=an+1-an 或 者 d=an-an-1.如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 ? 要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義，只 需證明對(duì)任意正整數(shù) n,an+1-an 是同一個(gè)常數(shù)是同一個(gè)常數(shù) ). 這里所說(shuō)的常數(shù)是指一個(gè)與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù) .注意 : 判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的定義式： an+1-an=d. 若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，可舉一個(gè)特例進(jìn)行否定，也 可以

3、證明 an+1-an 或 an-an-1 不是常數(shù)，而是一個(gè)與 n 有關(guān) 的變數(shù)即可 .等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 通項(xiàng)公式的推導(dǎo)常用方法： 方法一： an 是等差數(shù)列， an-an-1=d,an-1-an-2=d, an-2-an-3=d, , a3-a2=d,a2-a1=d.將以上各式相加得： an-a1=d, an=a1+d.方法二： an 是等差數(shù)列，an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d= =a1+d.即 an=a1+d.方法三： an 是等差數(shù)列，則有an=+ +a1=a1+d.注意：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法是以后解決數(shù)列題 的常用方法，應(yīng)注意體會(huì)并應(yīng)用 .

4、通項(xiàng)公式的變形公式在等差數(shù)列 an 中，若， n N+，則 an=a+d. 推導(dǎo)如下： 對(duì)任意的 ,n N+，在等差數(shù)列中，有a=a1+dan=a1+d由 - 得 an-a=d,an=a+d.注意：將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+d 變形整理可得 an=dn+a1-d ，從函數(shù)角度來(lái)看， an=dn+是關(guān)于 n 的一次函數(shù) 或常數(shù)函數(shù)，其圖像是一條射線(xiàn)上一些間距相等的點(diǎn)，其中 公差 d 是該射線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率，從上面的變形公式可以知 道， d=.通項(xiàng)公式的應(yīng)用利用通項(xiàng)公式可以求出首項(xiàng)與公差 ;可以由首項(xiàng)與公差求出等差數(shù)列中的任意一項(xiàng) ; 若某數(shù)為等差數(shù)列中的一項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出 項(xiàng)數(shù).

5、從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的性質(zhì)與圖像由 an=f=a1+d=dn+ ，可知其圖像是直線(xiàn) y=dx+ 上的一些 等間隔的點(diǎn)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是些正整數(shù)，其中公差 d 是該 直線(xiàn)的斜率，即自變量每增加 1，函數(shù)值增加 d.當(dāng) d0 時(shí)， an 為遞增數(shù)列，如圖所示 .當(dāng) d0 時(shí)，an 是數(shù)列；當(dāng) d=0 時(shí)，an 是數(shù)列； 當(dāng) d11, 即從第 12 年起，該公司經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品將虧損 .說(shuō)明 關(guān)于數(shù)列的應(yīng)用題，首先要建立數(shù)列模型將 實(shí)際問(wèn)題數(shù)列化 .變式應(yīng)用 4 XX年將在倫敦舉辦奧運(yùn)會(huì)，倫敦將會(huì)有很 多的體育場(chǎng)， 為了實(shí)際效果， 體育場(chǎng)的看臺(tái)一般呈 “輻射狀” . 例如，某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)座位是這樣

6、排列的：排有 150 個(gè) 座位，從第二排起每一排都比前一排多 20 個(gè)座位，你能用 an 表示第 n 排的座位數(shù)嗎？第 10 排可坐多少人？分析 分析題意知，看臺(tái)上的每一排的座位數(shù)組成 了一個(gè)等差數(shù)列 .解析 由題意知，每排的座位數(shù)組成了一個(gè)首項(xiàng)為 a1=150, 公差為 d=20 的等差數(shù)列， an=a1+d=150+ 20=20n+130, 則 a10=330, 即第 10 排可坐 330 人 .名師辨誤做答例 5 已知數(shù)列 an ,a1=a2=1,an=an-1+2. 判斷數(shù)列 an是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由； 求 an的通項(xiàng)公式 .誤解 an=an-1+2, an-an-1=2 ， an

7、是等差數(shù)列 .由上述可知， an=1+2=2n-1.辨析 忽視首項(xiàng)與所有項(xiàng)之間的整體關(guān)系，而判斷 特殊數(shù)列的類(lèi)型是初學(xué)者易犯的錯(cuò)誤 . 事實(shí)上，數(shù)列 an 從第 2 項(xiàng)起，以后各項(xiàng)組成等差數(shù)列，而 an不是等差數(shù) 列， an=f 應(yīng)該表示為“分段函數(shù)”型 .正解 當(dāng) n3 時(shí)， an=an-1+2,即 an-an-1=2.當(dāng) n=2 時(shí)， a2-a1=0 不滿(mǎn)足上式 . an不是等差數(shù)列 . a2=1,an=an-1+2 ， a3=a2+2=3. a3-a2=2.當(dāng) n 3 時(shí)， an-an-1=2. an=a2+d=1+2=2n-3,又 a1=1 不滿(mǎn)足此式 . an=.n-3 課堂鞏固訓(xùn)練

8、一、選擇題在等差數(shù)列 an 中 ,a2=2,a3=4, 則 a10=A.12B.14c.16D.18答案 D解析 該題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由其兩項(xiàng)求 公差 d.由 a2=2,a3=4 知 d=2. a10=a2+8d=2+82=18.已知等差數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an=3-2n, 則它的公差為 A.2B.3c. 2D.3答案 c解析 an=a1+d=dn+, 公差為 2，故選 c.方程 x2-6x+1=0 的兩根的等差中項(xiàng)為A.1B.2c.3D.4答案 c解析 設(shè)方程 x2-6x+1=0 的兩根為 x1 、x2, 則 x1+x2=6.其等差中項(xiàng)為 =3.二、填空題在等差數(shù)列 an 中，

9、a2=3,a4=a2+8, 則 a6=.答案 19解析 a2=3,a4=a2+8,a1+d=3a1=-1, 解得.a1+3d=a1+d+8d=4a6=a1+5d=-1+20=19.已知 a、b、 c 成等差數(shù)列，那么二次函數(shù) y=ax2+2bx+c 的圖像與 x 軸的交點(diǎn)有個(gè). 答案 1或 2解析 a、 b、c 成等差數(shù)列， 2b=a+c,又 =4b2-4ac=2-4ac=2 0.三、解答題an.在等差數(shù)列 an中，已知 a5=10,a12=31, 求通項(xiàng)公式a1+4d=10a1= 2 解析 由題意得 , 解得 .a1+11d=31d=3 an=-2+ 3 3n-5. 課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題等

10、差數(shù)列 1，-1，-3，-5， -89 ，它的項(xiàng)數(shù)為A.92B.47c.46D.45答案 c解析 a1=1， d=-1-1=-2, an=1+?=-2n+3,由 -89=-2n+3 ，得 n=46. 如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列，則A.a1+a8a4+a5D.a1a8=a4a5 答案 B解析設(shè) 公 差 為 d, 則a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0, a1+a8=a4+a5.已知數(shù)列 3,9,15, ,3, , 那么 81A.12 項(xiàng)B.13 項(xiàng)c.14 項(xiàng)D.15 項(xiàng)答案 c解析 由 3=81, 解得 n=14.在等差數(shù)列 an 中， a2=-5,a6=a4+

11、6, 則 a1 等于 A.-9B.-8c.-7D.-4 答案 B a1+d=-5解析 由題意，得， a1+5d=a1+3d+6 解得 a1=-8.數(shù)列 an 中， a1=2,2an+1=2an+1, 則 a101 的值是 A.49B.50c.51D.52答案 D解析 由 2an+1=2an+1 得 an+1-an= ， an 是等差數(shù)列 , 首項(xiàng) a1=2, 公差 d=, an=2+=,a101=52.已知 a=,b=, 則 a,b 的等差中項(xiàng)為A.B.c.D.答案 A解析 =.設(shè)數(shù)列 an 是遞增等差數(shù)列， 前三項(xiàng)和為 12，前三項(xiàng)積 為 48A.1B.2c.4D.3答案 B a1+a2+a

12、3=12a1+a3=8解析 由題設(shè)， , a2=4, a1a2a3=48a1a3=12 a1,a3 是一元二次方程 x2-8x+12=0 的兩根， 又 a3 a1, a1=2.an 是首項(xiàng)為 a1=4, 公差 d=2 的等差數(shù)列，如果 an=XX, 則序號(hào) n 等于A.1003B.1004c.1005D.1006答案 c 解析 a1=4,d=2, an=a1+d=4+2=2n+2,2n+2=XX, n=1005.二、填空題三個(gè)數(shù) lg,x,lg 成等差數(shù)列，則 x=.答案 0解析 由等差中項(xiàng)的運(yùn)算式得 x= 0.0. 一個(gè)等差數(shù)列的第 5 項(xiàng) a2=10, 且 a1+a2+a3=3, 則a1=

13、,d=.答案 -2,3a5=a1+4d=10a1+4d=10a1=-2解析 由題意得 , 即， . a1+a1+d+a1+2d=3a1+d=1d=31. 等差數(shù)列 an 的前三項(xiàng)依次為 x， 2x+1， 4x+2，則它 的第 5 項(xiàng)為 .答案 4解析 2=x+, x=0, 則 a1=0,a2=1,d=a2-a1=1, a5=a1+4d=4.在數(shù)列 an 中， a1=3，且對(duì)于任意大于 1 的正整數(shù) n， 點(diǎn)在直線(xiàn) x-y-=0 上，則 an=.答案 3n2解析 由題意得 -=,數(shù)列 是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， =n, an=3n2.三、解答題3. 在等差數(shù)列 an 中： 已知 a5=-1,a

14、8=2, 求 a1 與 d; 已知 a1+a6=12,a4=7, 求 a9. a1+d=-1a1=-5解析 由題意知，解得 . a1+d=2d=1a1+a1+d=12a1=1由題意知，解得， a1+d=7， d=2 a9=a1+d=1+8 2=17.已知函數(shù) f= ，數(shù)列 xn 的通項(xiàng)由 xn=f 確定 . 求證：是等差數(shù)列； 當(dāng) x1= 時(shí)，求 x100.解析 xn=f= ，所以 =+，所以是等差數(shù)列； 由知 的公差為 . 又因?yàn)?x1=, 即 2. 所以 =2+， =2+ =35. 所以 x100=.已知等差數(shù)列 an中， a5+a6+a7=15,a5 ?a6?a7=45, 求 數(shù)列 an

15、的通項(xiàng)公式 .分析 顯然 a6 是 a5 和 a7 的等差中項(xiàng)，可利用等 差中項(xiàng)的定義求解 a5 和 a7，進(jìn)而求 an. 解析 設(shè) a5=a6-d,a7=a6+d,則由 a5+a6+a7=15, 得 3a6=15, a6=5.a5+a7=10a5=1a5 9由已知可得，解得或a5?a7=9a7=9a7=1當(dāng) a5=1 時(shí)， d=4,從而 a1=-15, an=-15+ 4=4n-19.當(dāng) a5=9 時(shí)， d=-4, 從而 a1=25. an=25+ 4n+29.所以數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 an=4n 19 或 an=-4n+29. 屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于 1896 年在希臘雅典舉行，此后每 4 年

16、舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算 .試寫(xiě)出由舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式； XX年北京奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？ 2050 年舉行奧運(yùn)會(huì)嗎？ 解析 由題意知，舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列是 一個(gè)以 1896 為首項(xiàng)， 4 為公差的等差數(shù)列， 這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng) 公式為an=1896+4=1892+4n.假設(shè) an=XX，由 XX=1892+4n, 得 n=29.假設(shè) an=2050,2050=1892+4n 無(wú)正整數(shù)解 .所以 XX年北京奧運(yùn)會(huì)是第 29屆，2050 年不舉行奧運(yùn)會(huì) . 第 2 課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì)知能目標(biāo)解讀掌握等差數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的性質(zhì) . 理解等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱(chēng)性 . 能夠

17、熟練應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題 . 重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥 重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì) . 難點(diǎn)：應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題 . 學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) 等差數(shù)列的公差與斜率的關(guān)系 一次函數(shù) f=x+b 的圖像是一條直線(xiàn)，斜率 =. 當(dāng) =0 時(shí)，對(duì)于常數(shù)函數(shù) f=b, 上式仍然成立 . 等差數(shù)列 an的公差本質(zhì)上是相應(yīng)直線(xiàn)的斜率 . 特別地，如果已知等差數(shù)列 an的任意兩項(xiàng) an,a, 由 an=a+d, 類(lèi)比直線(xiàn)方程的斜率公式得 d=.等差數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì)若數(shù)列 an是公差為 d 的等差數(shù)列，則 an去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公差為d 的等差數(shù)列；奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列 a2n-1 是公差為 2d 的等差

18、數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng) 數(shù)列 a2n是公差為 2d 的等差數(shù)列；若 n是等差數(shù)列，則 an也是等差數(shù)列 . 知能自主梳理 等差數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的性質(zhì)兩項(xiàng)關(guān)系通項(xiàng)公式的推廣： an=a+.多項(xiàng)關(guān)系項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)：若+n=p+q，則 =ap+aq.特別地，若 +n=2p，則 a+an=.等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱(chēng)性 有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等 于首末兩項(xiàng)的和，即 a1+an=a2+=a+=2a.等差數(shù)列的性質(zhì)若 an是公差為 d 的等差數(shù)列，則下列數(shù)列： c+an 是公差為的等差數(shù)列； c?an是公差為 的等差數(shù)列； an是公差為 的等差數(shù)列 .若 an、 bn分別是公差為 d1、 d2 的等差數(shù)

19、列， 則數(shù)列 pan+qbn是公差為的等差數(shù)列 .答案 1.d a+an 2apan-1 an-+1 d cd d pd1+qd2思路方法技巧命題方向 運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì) an=a+d 解題例 1 若數(shù)列 an 為等差數(shù)列， ap=q,aq=p ，則 ap+q 為A.p+q B.0c.-D.分析 本題可用通項(xiàng)公式求解 . 利用關(guān)系式 an=a+d 求解 . 利用一次函數(shù)圖像求解 .答案 B解析 解法一： ap=a1+d, aq=a1+d, a1+d=qa1+d=p-，得 d=q-p. pq, d=-1. 代入，有 a1+=q, a1=p+q-1. 故 ap+q=a1+d=p+q-1+=0. 應(yīng)選

20、 B. 解法二： ap=aq+d, q=p+d, 即 q-p=d. p q, d=-1.故 ap+q=ap+ d=q+q=0. 應(yīng)選 B.解法三：不妨設(shè) p0,d=1, 故所求的四個(gè)數(shù)為 -2 ，0，2，4.解法二：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為 a,a+d,a+2d,a+3d ， 依題意， 2a+3d=2, 且 a=-8,把 a=1-d 代入 a=-8,得 =-8, 即 1-d2=-8,化簡(jiǎn)得 d2=4, d=2 或-2.又知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列， d0, d=2,a=-2. 故所求的四個(gè)數(shù)為 -2 ，0，2，4.說(shuō)明 此題設(shè)法很重要，一般地有如下規(guī)律：若所 給 等 差 數(shù) 列 為 2n 項(xiàng) ， 則 可 設(shè)

21、 為 ： a-d, ,a-3d,a-d,a+d,a+3d, ,a+d, 此數(shù)列的公差為 2d. 若 所給等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 2n-1 項(xiàng), 則這個(gè)數(shù)列可設(shè)為： a-d, ,a-d,a,a+d, ,a+d, 這個(gè)數(shù)列的公差為 d.變式應(yīng)用 3 已知 5 個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為 5， 平方和為，求這 5 個(gè)數(shù).解析 設(shè)這五個(gè)數(shù)依次為 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 由題意，得a=5+2+a2+2+2=a=1解得d2=a=1d=故這五個(gè)數(shù)為 - ， 1，或， 1， -. 名師辨誤做答例 4 在等差數(shù)列 an 中，已知 a1=2,a2+a3=13, 則 a4+a5+a6=.誤解 39 a2

22、+a3=13, a5=a2+a3=13, a4+a5+a6=3a5=39.辨析 誤解過(guò)程中， a2+a3=a5 是錯(cuò)誤的，在運(yùn)用等 數(shù)列的性質(zhì)“若 +n=p+q，則 a+an=ap+aq”的過(guò)程中，一定要 明確條件“ +n=p+q”的內(nèi)在含義 .正解 42 設(shè)公差為 d, a2+a3=13, 2a1+3d=13, 又 a1=2, d=3. a4+a5+a6=3a5=3=42. 課堂鞏固訓(xùn)練 一、選擇題 已知an 為等差數(shù)列， a2+a8=12，則 a5 等于A.4B.5c.6D.7答案 c解析 an 為等差數(shù)列， a2+a8=2a5, 2a5=12, a5=6.如果等差數(shù)列 an 中，a3+a

23、4+a5=12, 那么 a1+a2+ +a7= A.14B.21c.28D.35答案 c解析 a3+a4+a5=12， 3a4=12, a4=4. a1+a2+ +a7=+a4=7a4=28. 等差數(shù)列 an中， a4+a5=15,a7=12, 則 a2=A.3B.-3c.D.-答案 A解析 a4+a5=15, a2+a7=a4+a5=15,又 a7=12. a2=3.二、填空題在等差數(shù)列 an 中， a3=7,a5=a2+6 ，則 a6=.答案 13解析 設(shè)公差為 d, a5=a2+6, a5-a2=3d=6, a6=a3+3d=7+6=13.等差數(shù)列 an中，若 a2+a4022=4, 則

24、 aXX .答案 2解析 an 為等差數(shù)列，2aXX=a2+a4022,aXX=2.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題已知等差數(shù)列 an 中， a3=5,a5=9, 則 a7=A.11B.12c.13D.14答案 c 解 析 設(shè) 公 差 為 d, a5-a3=2d, 2d=4, 又 a7=a5+2d=9+4=13.在等差數(shù)列 an 中， a3+a4+a5+a6+a7=450，則 a2+a8=A.45B.75c.180D.300答案 c解析 由 a3+a7=a4+a6=2a5，得 a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450, a5=90. a2+a8=2a5=180.列命題中正確的是數(shù)列A. 若 a,b,

25、cB. 若 a,b,cc. 若 a,b,cD. 若 a,b,c成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，a2,b2,c2 成等差數(shù)列l(wèi)og2a,log2b,log2c 成等差a+2， b+2,c+2 成等差數(shù)列2a， 2b,2c答案解析a,b,c2b=a+c, 2b+4=a+c+4,即 2=+, a+2,b+2,c+2 成等差數(shù)列 .已知等差數(shù)列 an中， a7+a916,a4=1 ，則 a12 等于A.15B.30c.31D.64答案 A解析 a7+a9=2a8=16, 故 a8=8. 在等差數(shù)列 an 中， a4,a8,a12 成等差數(shù)列， 所以 a12=2a8-a4=16-1=15

26、.已知等差數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a1+a2+a3+a101=0, A.a1+a1010B.a2+a1000, a3=-6,a7=2. a1+2d=-6 a1+6d=2故 a1=-10,d=2, an=2n-12. 已知數(shù)列 an ,an=2n-1,bn=a2n-1. 求 bn的通項(xiàng)公式；數(shù)列 bn是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由 解析 an=2n-1,bn=a2n-1, b1=a1=1,b2=a3=5,b3 a5=9， bn=a2n-1=2-1=4n-3.由 bn=4n-3 知 bn-1=4-3=4n-7.bn-bn-1=-=4, bn 是首項(xiàng) b1=1, 公差為 4 的等差數(shù)列 .有一批影碟機(jī)原銷(xiāo)售價(jià)為

27、每臺(tái) 800 元，在甲、乙兩家家 電商場(chǎng)均有銷(xiāo)售 . 甲商場(chǎng)用如下的方法促銷(xiāo)；買(mǎi)一臺(tái)單價(jià)為 780 元，買(mǎi)兩臺(tái)單價(jià)都為 760 元，依次類(lèi)推，每多買(mǎi)一臺(tái)則 所買(mǎi)各臺(tái)單價(jià)均再減少 20 元，但每臺(tái)最低價(jià)不能低于 440 元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的 75%銷(xiāo)售 . 某單位購(gòu)買(mǎi)一批此類(lèi)影 碟機(jī)，問(wèn)去哪家商場(chǎng)買(mǎi)花費(fèi)較少 .解析 設(shè)單位需購(gòu)買(mǎi)影碟機(jī) n 臺(tái)，在甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)每 臺(tái)售價(jià)不低于 440 元，售價(jià)依臺(tái)數(shù) n 成等差數(shù)列 . 設(shè)該數(shù)列 為an.an=780+=800-20n,解不等式 an 440 即 800-20n 440，得 n18. 當(dāng)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)小于 18 臺(tái)時(shí)， 每臺(tái)售價(jià)為 800-20n ，在

28、臺(tái)數(shù) 大于等于 18 臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為 440 元.到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)，每臺(tái)售價(jià)為 800 75%=600元 .作差： n-600n=20n當(dāng) n18 時(shí)， 440n0,由知 a840,a85S85S86 .所以當(dāng) n=84 時(shí)，Sn 有最大值，即 S84=50 84+ =2108.4. 解法二： Sn=50n+=-0.3n2+50.3n=-0.32+. 當(dāng) n 取接近 于的自然數(shù)，即 n=84 時(shí)， Sn 達(dá)到最大值 S84=2108.4.說(shuō)明 求等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn 的最值有兩種方法：方法一：根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來(lái)定 .若 a10,d0 ，則數(shù)列的所有負(fù)數(shù)項(xiàng)之和最小 .方法二： Sn=na1+d

29、=n2+n=2-=n-2-2.由二次函數(shù)的最大、最小值知識(shí)及n N+知，當(dāng) n 取最接近的正整數(shù)時(shí)， Sn 取到最大值， 值得注意的是最接近的正 整數(shù)有時(shí)有 1 個(gè)，有時(shí)有 2 個(gè) .變式應(yīng)用 3 在等差數(shù)列 an 中， a1=25,S17=S9, 求 Sn 的最大值 .解析 解法一： 利用前 n 項(xiàng)和公式和二次函數(shù)性質(zhì)， 由 S17=S9 得 17+d=259+d, 解得 d=-2, Sn=25n+=-2+169,由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng) n=13 時(shí)， Sn有最大值 169.解法二：同解法一先求出 d=-2. 因?yàn)?a1=250,an=25-2 0n 13由，得，an+1=25-2n 0n 12

30、所以當(dāng) n=13 時(shí)， Sn有最大值 169.解法三：同解法一先求出 d=-2. 由 S17=S9，得 a10+a11+a17=0，而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14, 故 a13+a14=0. 因 為 d=-20, 所 以 a130,a140,S130 ，3a+d0將 a=12-2d 代入兩個(gè)不等式，消去 a 得 -012a+d0 解法一：由S130a+d0a+6da+d0 ， 可 知 a1a2 a60a7 ， 所 以 S1,S2, ,S12 中最大的是 S6.另法： S12=60，S13=13a70，a7-a70. 所以 S6最大 . 解法二： Sn=na+

31、d=n+nd=n2+n，二次函數(shù) y=x2+x 的對(duì)稱(chēng) 軸方程為 x=-=- ，由于 -0,d0 ，則 Sn 存在最值 .等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)若項(xiàng)數(shù)為 2n，則S 偶 -S 奇， .若項(xiàng)數(shù)為 2n-1, 則S 奇 -S 偶， .答案 1. 二次 二次大小ndan思路方法技巧命題方向 已知 Sn 求 an例 1 已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn=-n2+n, 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an.S1分析 利用 an 與 Sn 的關(guān)系 an=，求解 .Sn-Sn-1解析 當(dāng) n2 時(shí)， an=Sn-Sn-1=- -2+ =-3n+104.當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1=-+=101 滿(mǎn)足上式

32、，an=-3n+104.說(shuō)明 由 Sn 求通項(xiàng)公式 an 時(shí)，要分 n=1 和 n 2 兩種情況，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不 能，則用分段函數(shù)的形式表示 .變式應(yīng)用 1 Sn 是數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，根據(jù)條件求 an.Sn=2n2+3n2；Sn=3n-1.解析 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1=7,當(dāng) n2 時(shí)， an=Sn-Sn-1=- 22+32=4n+1，又 a1=7 不適合上式，an=.n+1 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1=2,當(dāng) n 2 時(shí)， an=Sn-Sn-1=-=23n-1 ，顯然 a1 適合上式， an=2 3n-1 .命題方向 求數(shù)列 |an| 的前 n

33、項(xiàng)和例 2 已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn=12n-n2, 求數(shù)列 |an| 的前 n 項(xiàng)和 Tn.分析 由 Sn 12n-n2 知 Sn是關(guān)于 n 的無(wú)常數(shù)項(xiàng)的 二次函數(shù)且 n N+，可知 an 是等差數(shù)列，可求出 an，然后 再判斷哪些項(xiàng)為正，哪些項(xiàng)為負(fù)，最后求出 Tn.解析 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1=12-12=11.當(dāng) n2 時(shí)， an=Sn-Sn-1=- 12-2=13-2n.又 n=1 時(shí)適合上式， an 的通項(xiàng)公式為 an=13-2n.由 an=13-2n 0 得 n ，即當(dāng) 1n6 時(shí)， an0, 當(dāng) n7 時(shí)，an0 或 an0 或 an2 時(shí)， |an|=-an,

34、 Sn=|a1|+|a2|+ +|an|=a1+a2-a3-a4- -an=-+2=-Sn+2S2=5n2-20n+40.-5n2+20nSn=.n2-20n+40命題方向 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和性質(zhì) 例 3 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為 33，求這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù) .分析 設(shè)項(xiàng)數(shù)為 2n 1，則奇數(shù)項(xiàng)有 n 項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng) 為 n-1 項(xiàng)，由奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的關(guān)系，列式求解 .解析 設(shè)等差數(shù)列共 2n-1 項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有 n 項(xiàng)， 偶數(shù)項(xiàng)有 n-1 項(xiàng)，中間項(xiàng)是第 n 項(xiàng)，記為 an, 設(shè)公差為 d,S 奇 a1+a3+a5+ +a2n-1=44 則S 偶 a2+

35、a4+a6+ +a2n-2=33 S 奇 S 偶 nan-an=an=11 即中間項(xiàng) an=11.又 S2n-1=S 奇 S 偶 77. =77 1177， 2n-1=7. 即數(shù)列的中間項(xiàng)為 11，這個(gè)數(shù)列共 7 項(xiàng).說(shuō)明 等差數(shù)列 an中，公差為 d: 若共有 2n 項(xiàng)，則 S2n=n;S 偶 S 奇 nd;S 偶： S 奇 an+1： an. 若共有 2n-1 項(xiàng)，則 S2n-1=an;S 奇 S 偶 an;S 偶： S 奇： n. 變式應(yīng)用 3 在等差數(shù)列 an中，前 12 項(xiàng)和為 354， 前 12 項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為 27： 32, 求公差 d.解析 解法一：設(shè)這個(gè)數(shù)列

36、的首項(xiàng)為 a1, 公差為 d, 則 12a1+d=354.=d=5.S奇 S偶 354，S偶 192，解法二： S 奇 162.又 S偶 S奇 6d, d=5.探索延拓創(chuàng)新命題方向 等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例 4 從 5 月 1 日開(kāi)始，有一新款服裝投入某商場(chǎng) 銷(xiāo)售，5 月 1日該款服裝銷(xiāo)售出 10 件，第二天銷(xiāo)售出 25 件， 第三天銷(xiāo)售出 40 件，以后，每天售出的件數(shù)分別遞增 15 件， 直到 5 月 13 日銷(xiāo)售量達(dá)到最大，然后，每天銷(xiāo)售的件數(shù)分 別遞減 10 件 .記該款服裝五月份日銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售天數(shù)n 的關(guān)系為 an，求 an ；求五月份的總銷(xiāo)售量；按規(guī)律，當(dāng)該商場(chǎng)銷(xiāo)售此服裝超過(guò) 1300

37、 件時(shí)，社會(huì)上就流行，而日銷(xiāo)售量連續(xù)下降，且日銷(xiāo)售量低于 100 件時(shí)， 則流行消失，問(wèn)：該款服裝在社會(huì)上流行是否超過(guò) 10 天？ 說(shuō)明理由 .分析 由題意可知：從 5 月 1 日到 5 月 13 日，服 裝日銷(xiāo)售量成遞增的等差數(shù)列；從 5 月 14 日到 5 月 31 日， 服裝日銷(xiāo)售量成遞減的等差數(shù)列 . 解答本題可先確定 an 與 n 的關(guān)系，然后用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式解決問(wèn)題 .解析 依題意，數(shù)列 a1,a2, ,a13 是首項(xiàng)為 10， 公差為 15 的等差數(shù)列 . an=15n-5 ，a14,a15,a16, ,a31 是首項(xiàng)為 a14=a13-10=180, 公差為 -10

38、 的等差數(shù)列 . an=180+=-10n+320 ，n-5an=.-10n+320五月份的總銷(xiāo)售量為 +17 180+ 3000.月 1 日至 5 月 13 日銷(xiāo)售總數(shù)為 =120022,第 22 天流行結(jié)束，故該服裝在社會(huì)流行沒(méi)有超過(guò) 10 天.說(shuō)明 數(shù)列應(yīng)用題的解法一般是根據(jù)題設(shè)條件，建 立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系，然后確定公差、首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)是什么，分清 an 與 Sn, 然后選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，最后回歸實(shí)際 .變式應(yīng)用 4 某單位用分期付款的方式為職工購(gòu)買(mǎi)40 套住房，共需 1150 萬(wàn)元，購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天先付 150 萬(wàn)元，以后每月 這一天都交付 50 萬(wàn)元，并加付欠款利息，月利率為 1%，若 交付 15

39、0 萬(wàn)元后的個(gè)月開(kāi)始算分期付款的個(gè)月，問(wèn)分期付款 的第 10 個(gè)月應(yīng)付多少錢(qián)？全部付清后，買(mǎi)這 40 套住房實(shí)際 花了多少錢(qián)？解析 因購(gòu)房時(shí)付 150 萬(wàn)元，則欠款 1000 萬(wàn)元， 依題意分 20 次付款，則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列 an.則 a1=50+1000 1%=60,a2=50+ 1%=59.5,a3=50+ 1%=59,a4=50+ 1%=58.5,an=50+1000-50 1%=60- . an 是以 60 為首項(xiàng)， - 為公差的等差數(shù)列， a10=60-9 =55.5 ，a20=60-19 =50.5. S20= 20=10 =1105.實(shí)際共付 1105+150=125

40、5 萬(wàn)元 .名師辨誤做答例 5 已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 Sn滿(mǎn)足關(guān)系式 lg=n+1,試求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 .誤解 由 lg=n+1 得 Sn=10n+1-1. an=Sn-Sn-1=-=9 ?10n.數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an=9?10n.S1,n=1辨析 上面解法在運(yùn)用公式 an=時(shí)漏掉了 n=1 時(shí)的 情況，實(shí)際上當(dāng) n=1 時(shí)，Sn-Sn-1,n 2a1=S1=102-1=99, 不適合通項(xiàng)公式 an=9?10n, 故應(yīng)分情 況討論.正解 由 lg=n+1 得 Sn=10n+1-1,當(dāng) n 2 時(shí)， an=Sn-Sn-1=-=9 ?10n,當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1=

41、102-1=99 不滿(mǎn)足上式，9an=.?10n課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題已知等差數(shù)列 an 中, 前 15 項(xiàng)之和為 S15=90,則 a8 等于 A.6B.c.12D.答案 A解析 S15=a1+a2+ a15=15a8=90, a8=6.若數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn=n2, A.an=2n-1B.an=2n+1c.an=-2n-1 D.an=-2n+1 答案 A 解析 當(dāng) n 2 時(shí)， an=Sn-Sn-1=n2-2 =n2-n2+2n-1=2n-1, 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1=1an=2n-1.290，偶已知等差數(shù)列共有 2n+1 項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為 數(shù)項(xiàng)之和為 261 ，則

42、an+1 等于A.30B.29c.28D.27答案 B解析 S奇-S 偶=an+1,an+1=29.二、填空題在等差數(shù)列 an 中， a5+a10=58,a4+a9=50, 則它的前 10 項(xiàng)和為 .答案 210解析 解法一： a5+a10=2a1+13d=58, a4+a9=2a1+11d=50, a1=3,d=4 ， S10=10 3+ 4=210. 解法二： a5+a10=+4d=58, a4+a9=+2d=50, a1+a10=42, S10=210.Sn為等差數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和,S2=S6,a4=1, 則 a5. 答案 -1解析本題考查了對(duì)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的理解和應(yīng)用， 同

43、時(shí)還考查了等差數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)及考生靈活處理問(wèn)題的 能力. S2=S6, S6-S2=a3+a4+a5+a6=0又 a3+a6=a4+a5S6-S2=2=0 a4+a5=0 又 a4=1, a5=-1.課后強(qiáng)化作業(yè)、選擇題四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列， S4=32,a2 ： a3=1：3, 則公差 d 等于A.8B.16c.4D.0答案 A解析 a2： a3=1： 3， =， d=-2a1 ， 又 S4=4a1+d=-8a1=32， a1=-4 ，d=8.在等差數(shù)列 an 中，若 S12=8S4，且 d 0，則等于A.B.c.2D.答案 A解析 由題意，得 12a1+ 1211 d=8,10a1=9d, =

44、.設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S3=9，S6=36，則 a7+a8+a9A.63B.45c.36D.27答案 B解析 解法一： an 是等差數(shù)列， S3、 S6-S3、 S9-S6 為等差數(shù)列 .2=S3+,S9-S6=2S6-3S3=45.解法二： Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，令 bn=, 則 bn 成等差數(shù)列 .由題設(shè) b3=3,b6=6, b9=2b6-b3=9. a7+a8+a9=S9-S6=9b9-36=45.設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a10,S4=S8, 則當(dāng) Sn取得最大值時(shí)， n 的值為A.5B.6c.7D.8答案 B解析 解法

45、一： a10,S4=S8, d0,S4=S8,d0,a7S8 ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.dS5D.S6 與 S7 均為 Sn的最大值 .答案 c解析 由 S50,由 S6=S7知 a7=0,由 S7S8知 a8S5 即 a6+a7+a8+a90, a7+a80, 顯然錯(cuò) 誤.已知等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 =a1+a200, 且 A、 B、 c 三點(diǎn)共線(xiàn)，則 S200=A.100B.101c.200D.201答案 A解析 =a1+a200，且 A、 B、c 三點(diǎn)共線(xiàn)， a1+a200=1， S200=100.已知兩個(gè)等差數(shù)列 an 和bn 的前 n 項(xiàng)和分別為 An 和 Bn，且

46、 =，則使得為整數(shù)的正整數(shù) n 的個(gè)數(shù)是A.2B.3c.4D.5答案 D解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得=7+.當(dāng) n取 1、2、3、5、11時(shí)，符合條件 . 二、填空題XX是等差數(shù)列 4， 6，8，中的第項(xiàng) . 答案 1005解析 等差數(shù)列 4,6,8, 的第 n an=4+2=2n+2, 令 XX=2n+2, n=1005.0. 已知兩個(gè)等差數(shù)列 an 、bn ，它們的前 n 項(xiàng)和的比 為=, 則 =.答案 解析 =.1. 設(shè)數(shù)列 an 的通項(xiàng)為 an=3n-10 ，則 |a1|+|a2|+ +|a10|=.答案 89解析 |a1|+|a2|+ +|a10|=-+ =+=89.設(shè)等差數(shù)列 an的

47、前 n 項(xiàng)和為 Sn, 若 S9=72, 則a2+a4+a9=.答案 24解析 an由 S9=72得， S9 9a5, a5=8a2+a4+a9=+a4=+a4=3a5=24.三、解答題3. 已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn=5n-3, 求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解析 數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn=5n-3, 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1=5-3=2,當(dāng) n 2 時(shí)， an=Sn-Sn-1=- =4?5n-1,a1=S1=2 不滿(mǎn)足上式 . 數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=.4?5n-1數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn=n2-7n-8. 求 an 的通項(xiàng)公式； 求 |an| 的前 n 項(xiàng)和 Tn.解析 當(dāng)

48、n1 時(shí)， a1=S1=-14; 當(dāng) n 2 時(shí)， an=Sn-Sn-1=2n-8, -14故 an=.n-8由 an=2n-8 可知：當(dāng) n 4 時(shí)， an 0,當(dāng) n 5 時(shí)， an0.當(dāng) n 4 時(shí)， Tn=-Sn=-n2+7n+8,當(dāng) n5 時(shí)， Tn=-S4+ Sn-2S4=n2-7n-8-2 =n2-7n+32, -n2+7n+8Tn=n2-7n+32 等差數(shù)列 an 中， a10, Sn=na1+nd=dn2-dn=2-2d.d0, Sn 有最小值 .又 nN*, n=10 或 n=11 時(shí)， Sn取最小值 . 解法二：同解法一，由 S9=S12，得 =-.an=a1+d 01-

49、 0由得 an+1=a1+nd01-n 0 解得 10n 11.n 取 10 或 11 時(shí)， Sn取最小值 .解法三： S9=S12， a10+a11+a12=0, 3a11=0,a11=0. a10, a30，且 q 1 時(shí)，y=qx 是一個(gè)指數(shù)函 數(shù)，而 y=?qx 是一個(gè)不為 0 的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等 比數(shù)列 an 的圖像是函數(shù) y=?qx 的圖像上的一群孤立的點(diǎn) .例如，當(dāng) a1=1， q=2 時(shí)， an=?2n，表示這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的 點(diǎn)就都在函數(shù) y=?2x 的圖像上，如下圖所示：等比中項(xiàng)在 a,b 同號(hào)時(shí)， a,b 的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反 數(shù)；在 a,b 異號(hào)時(shí)，沒(méi)有

50、等比中項(xiàng) .在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng) 與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng) .若 a,b,c 成等比數(shù)列，則 b2=ac; 反過(guò)來(lái)，若 b2=ac ，則 a,b,c 不一定成等比數(shù)列，如 a=b=0.特別地，若 a,b,c 均不為零時(shí)，則 a,b,c 成等比數(shù)列 b2=ac.注意 a,b,c 成等比數(shù)列與 b=是不等價(jià)的 . 知能自主梳理等比數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于， 那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的，公 比通常用字母表示 .等比數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式已知等比數(shù)列 an的首項(xiàng)為 a1, 公比為 q,填表： 遞推公式通項(xiàng)公式=qan= 等

51、比中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù) x,G,y 組成，則 G 叫做 x 和 y 的等比中項(xiàng) . 如果 G是 x 和 y 的等比中項(xiàng)，那么 , 即.答案 1. 第 2 項(xiàng) 同一個(gè)常數(shù) 公比 q a1qn-1等比數(shù)列 G2=xy G= 思路方法技巧命題方向 等比數(shù)列的判斷例 1 已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn=2an+1,求證： an是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式 .分析 要證數(shù)列是等比數(shù)列，關(guān)鍵是看 an 與 an-1之比是否為一個(gè)常數(shù)， 由題設(shè)還須利用 an=Sn-Sn-1, 求得 an.證明 Sn=2an+1, Sn+1=2an+1+1. Sn+1-Sn=an+1=-=2an+1-2an.an+1=2an.

52、又 S1=a1=2a1+1, a1=-1 0. 由式可知， an 0,由 =2 知 an是等比數(shù)列， an=-2n-1.說(shuō)明 本題證明，關(guān)鍵是用等比數(shù)列的定義，其中 說(shuō)明 an 0是非常重要的 . 證明中，也可以寫(xiě)出 Sn-1=2an-1+1, 從而得到 an=2an-1, 只能得到 n 2 時(shí)， an是等比數(shù)列， 得到 n 2 時(shí)， an=-2n-1, 再將 n=1 代入，驗(yàn)證 a1=-1 也滿(mǎn)足 通項(xiàng)公式的要求 .判斷一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列的常用方法是：定義法=qan 為等比數(shù)列 . 等比中項(xiàng)法 an+12=anan+2an 為等比數(shù)列 . 通項(xiàng)公式法 an=a1qn-1an 為等比數(shù)列 .變式應(yīng)用 1 判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列 .,3,32, ,3n-1, ;-1,1,2,4,8, ;a1,a2,a3,