導數(shù)和微分理解練習試題目解析解析

1、高等數(shù)學練習題第二章導數(shù)與微分第一節(jié)導數(shù)概念一填空題1.若 f (xo)存在，則 lim -x 0X2xf (xo)2.若 f (xo)存在，lim f(xo h) f(xo h)h o_2f (X。).lim f(xo 3 x)f(xo)x o=3f (xo).3.設 f (xo)2,則 limx (0 f(xo 2x)f(Xo)4.已知物體的運動規(guī)律為2t （米），則物體在2秒時的瞬時速度為 5 （米/秒）5.曲線y cosx上點-）處的切線方程為 3x 2y 123法線方程為(A)f (X)(B) f:(0)(C) f(0)(D)-f（o）2.設f (x)在X處可導，a , b為常數(shù)，則

2、lim f(xa x)f (x b x)limx 0XB(A)f (X)(B) (ab)f (x)(C) (ab)f (x)(D)a b2 f (x)3.函數(shù)在點Xo處連續(xù)是在該點Xo處可導的條件2x 3y -236.用箭頭？或？表示在一點處函數(shù)極限存在、連續(xù)、可導、可微之間的關(guān)系,可微可導 _ |連續(xù) _極限存在。二、選擇題1設f（0）0,且f （0）存在，則1計旦幻=B X 0 x14 設曲線yx22在點M處的切線斜率為 3，則點M的坐標為(A) (0,1)(B)(1,0)(C) ( 0,0)(D)5.設函數(shù)f(x)| sin x |，則f (x)在 xB ,1)B (A )不連續(xù)。(B)

3、連續(xù)，但不可導。(C)可導，但不連續(xù)。(D)可導，且導數(shù)也連續(xù)。三、設函數(shù)f(x)2xax b1為了使函數(shù)1f (x)在x 1處連續(xù)且可導,b應取什么值。解：由于f (x)在x1處連續(xù)，所以f(1)1f(1 ) a b f (1)又f(x)在x1處可導，所以f (1)f (1)ax b limx 1故求得四、如果f(x)為偶函數(shù)，且f (0)存在,證明f(0)=0 。解：由于f(X)是偶函數(shù)，所以有f (x)f ( x)f(0)f (0) lim f(xx 0 x 0limf(x) f(0)x 0 x 0、竺Vf（o）五、即 2f (0)0，故 f (0) o證明：雙曲線xya2上任一點處的切

4、線與兩坐標軸構(gòu)成三角形的面積為定值。2a,yx2解：y在任意（x0, y0）處的切線方程為x2ayo2 (x xo)Xo則該切線與兩坐標軸的交點為：2a2(0,乞)和(2x,0)X所以切線與兩坐標軸構(gòu)成的三角形的面積為2a2X。2x 2a2，（ a是已知常數(shù)）故其值為定值.第二節(jié)求導法則、填空題(2 secx) s inx,y = tan2x 2cosx 1 ; y esin xsin xcos xecos(2ex), y =xx、2e sin(2e );sin 2x y =x2xcos2x sin2xy =In tan- ,= csc2 一r xlog 2 xIn 2, r = log2 x

5、 log2e4.ln(sect tant) , w = secty arccos(x2 x),2x x1 (x2 x)25,C)啟lx2x6. lntan2=；(ln(x、選擇題xxx(A) e sece tanexx(B) sece tanex(C) ta n e(D) ex cotex1 .已知 y= Sinx，則 y = B x(A)xsin x2xcosx(B)xcosx2xsin x(C)sinx xsi nx2x(D) x32cosx x sin x2.已知y=sin x,則y=1cosxC(A)cosx1(B)1 cosx(C)1(D)2cosx 12cosx12cosx11 c

6、osx1 cosx3.已知xy sece,則y=A 5.已知yln cotx則D (A ) 1( B) 24.已知y ln(x 1 x2),則yA 1(A) L(B).1 x2x(CE(D)x21y Ix 4(C)1/2(D)26.已 知(A)(X 1)2(B)(X 1)2(C)2x(x 1)2(D)2x(x 1)2三、計算下列函數(shù)的導數(shù):(2) ytan (In x)解：y 31xZ 3“1X112 1y-(In x)3 _3x3Xsin2 1(3) uevsin2 1c.11“ 1、解: uev (2si ncos-(2)vvv(1) y ln(仮)Vln x2I解： y sec (In

7、x) xsec (In x) x(4 ) ysec3 (In x)2 1解：y 3sec (I n x)sec(l n x) tan (In x)- x2sin?e 吧v v33sec (In x)tan(ln x)x y In(x .1 x2) y arctanS1 x解：y,(x71x2)x Jx2解：y(1x)xJ1 X2 X.1 x2(x.1 x2)四、設f (x)可導，求下列函數(shù) y的導數(shù) 魚dxX、 f (x)(1) y f(e )e(2) y f (sin2 x)f (cos2 x)解：y f (ex) ex ef(x)2解: y f(sin x)2sin xcosxf(ex)

8、ef(x) f(x)2f (cos x)(2cos x ( sin x)=ef(x)exf(ex)f(x)f (ex)2 2=sin 2x( f (sin x) f (cos x)(4) y f (sin x)sin f (x)121 f (x)f(x)解：y f (sinx)cosx cos( f (x) f (x)、填空題2.3.f(x)f2(x)第三節(jié)xey，則 y設 r tan( r)，則設 lnx2cosx(sinx) f (x)cos( f (x)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)t et esintcostey:y .csc2(r)-,則 y =x yx ycostsin ts

9、in tcost2ro則詈arcta n xa亠。二、選擇題1.由方程sin yxey0所確定的曲線y(x)在(0,0)點處的切線斜率為(A)1(B)(D)2設由方2xy函數(shù)為y(x)dy(A)2xdx(B)3.設由方程丄dx2x1 . sin y(A)2 cosy(B)2 sin y(C)dxx(D)dxx確定的隱函數(shù)為2 cosyy(x),則(D)dydx2 cosxx a(t sint) -4設由方程所確定的函數(shù)為y y(x)，則在t 處的導數(shù)為y a(1 cost)2B (A)1(B)1(C) 05.設由方程x ln 1 t所確定的函數(shù)為yarcta n tdyy y(x)，則 Jdx

10、1(D)21 t211(A)(B)-(C) ;2tt2t三、求下列函數(shù)的導數(shù)dydx2 2 23丄.333xacos t1 . x ya ,2.yasin t(D) t.2”3asin tcost ,解：y2tant3a cos tsint2 3x 330y4丨x2 3x103.y x yye解:方程兩邊同時對x求導解:方程兩邊同時對x求導，得4. y. xsinx “1 ex得解1,1 ,.In xIn sin x22In y4ln(1 ex)322xxy 2xy 3x y y ye ye 01 ,1 cos xexyy 2x 2sinx 4(1 ex)c 32xyxye22 x1 3x y

11、 eyxs 1 ex(2x2cot4(1 ex)四、求曲線sin3 20處的切線方程，法線方程解：dy(3 22)ddxexdxsindx 1xe cos0, x切線方程為法線方程為、填空題1.設r2 設y4設5.設6設ycos ，則ln(x 、 12f(t ),且 f7 .設 f (x)x e cosdsin1,從而dydx0, dx2e(x 1)第四節(jié)=cos sin1)(3 22)(1 exsin )x e cos2e高階導數(shù)2sincos刀則y住,yx2、3/2(1 x )(t)xey，則 y存在，則矽dteyf(t)，且業(yè)左，則arctgt dx 2=2tf(t2), 4= 2f(t

12、2) 4t2f(t2) dte2y(3 y)7 = (2 y)3d2y 1 t2 dx2 = 4t 。e2x1,則 y(n)=n! 2ne2x 1x(x 1)(x 2) (x 2001)，則 f (0) =2001!.、選擇題In x(C) 2Inx(D) 2ln x 3(A) 2ln x(B) 2ln x2(B) u f (u)d2ydx2解:dydxf(ex)解:d2yd2xf(ex)2xef(ex) exdydx而 f(x)f(x) f(x)2.設 yf(u),3 設y.2 “sin x 貝y(n)yA (A)2n1 sin 2x(nn 1(B) 2 cos2x(n y f(ex)-(C

13、)2n1 si n2x(n(D) 2n sin2x (n1弓4.設yxex,則 yQ)A (A)x e(x n)x(B) e (x n)x(C) 2e (x n)(D)nxxeuf(D) u f (u) uf(u)(u)(C)e2f (u)求下列函數(shù) y的二階導數(shù)(A) e2xf (u)三、設f (x)存在，d2yd2xf(x)f(x)2f(X)2f (x)四、求下列函數(shù)y的二階導數(shù)與dxx a cost 1.y bsintbcostb解：ycottasi nta2d y b1b2 (cot t):2:3dx aa si nt a sin t2. arctan In x2y2x解:方程兩邊同時

14、對x求導，得yyyxy)(x y) (x(x y)2y)(1 y)2x2 2y2(x y)3五、設12x3，求(n)y2(2x 3)2y(2)3(2x 3)3y(2)(3)亠(2x 3)4(2)(243)( 4依此類推,(n)y1)2n n!n 1(2x 3)第五節(jié)函數(shù)的微分2已知y x x，計算在x 2處(1 )當 x 0.1 時，y 0.31 , dy= 0.3(2 )當 x0.001 時,y= 0.003001, dy = 0.003 。二.(1 )函數(shù)arcs in . 1x2在x丄處的一次近似式為 f(x)22( 1、3 ,3(x 2)(2)函數(shù)x cos(x1)在x0處的一次近似式

15、為f(x) cos1 (cos1 sin 1)x(3)計算近似值4 83354三.填空(求函數(shù)的微分)21、d(2 sin )=(4 sin2 2 cos )dcotxd sin xdx2xx cosx sin x2x3-(x3 2x6 * x9)dx3丿，3小 61 4x 3xd (ln(cos、x) = tan 、 x d . x3、d(ln2(1 x)=丄In(1x)dxx 124、d (ln secx tan x) = (tanx sec x)dx1 1 15、d (f (arctan )=2 f (arctan)dxx 1 xx四將適當?shù)暮瘮?shù)填入下列括號內(nèi)，使等號成立。(1).、 xdxd( 2x23c );(2). sin(3x2)dx d (1 cos(32) c );2(3). (3x2x)dx d (x3x2c );(4). e 2xdxd (1 2x尹 c );.);1xdx d ( arctan c a.dxd(-ln(2x23) c）；.ex d(x2)d(）；(8) cos(2x)