北師大九年級(jí)上冊(cè)平行四邊形的判定

1、北師大九年級(jí)上冊(cè)北師大九年級(jí)上冊(cè) 平行四邊形的判定平行四邊形的判定 問題問題1 1 怎樣的四邊形是平行四邊形呢怎樣的四邊形是平行四邊形呢? 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 問題問題2 2 平行四邊形具有什么樣的性質(zhì)呢平行四邊形具有什么樣的性質(zhì)呢? 邊邊 平行四邊形的對(duì)邊平行平行四邊形的對(duì)邊平行 平行四邊形的對(duì)邊相等平行四邊形的對(duì)邊相等 角角 平行四邊形的對(duì)角相等平行四邊形的對(duì)角相等 平行四邊形的鄰角互補(bǔ)平行四邊形的鄰角互補(bǔ) 對(duì)角線對(duì)角線 平行四邊形的對(duì)角線平行四邊形的對(duì)角線 互相平分互相平分 平行四邊形平行四邊形 的性質(zhì)的性質(zhì) 我們知道了平行四邊形

2、的性質(zhì)，那么，有我們知道了平行四邊形的性質(zhì)，那么，有 哪些方法可以判斷一個(gè)四邊形是平行四邊哪些方法可以判斷一個(gè)四邊形是平行四邊 形呢？形呢？ （1）根據(jù)定義：）根據(jù)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四兩組對(duì)邊分別平行的四 邊形叫做平行四邊形邊形叫做平行四邊形 因?yàn)橐驗(yàn)閍b/cd,ad/bc;所以四邊形所以四邊形abcd 是平行四邊形。是平行四邊形。 b d c a 問題問題3 3 根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到如下猜想根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到如下猜想: 猜想猜想1:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形. 猜想猜想2:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)角分別相等的四邊形是

3、平行四邊形. 猜想猜想3:兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 猜想猜想4:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形. 問題問題4 4 你能利用公理和已有的定理你能利用公理和已有的定理 證明這些猜想嗎證明這些猜想嗎? 得到平行四邊形的判定得到平行四邊形的判定: 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形. w求證求證: :兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形. . b d c a w已知已知: :如圖如圖, ,在四邊形在四邊形abcdabcd 中中,a

4、b=cd,bc=da.,ab=cd,bc=da. w求證求證: :四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. . w分析分析: :要證明四邊形要證明四邊形 abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. .可可 轉(zhuǎn)化證明兩組對(duì)邊分轉(zhuǎn)化證明兩組對(duì)邊分 別平行別平行, ,從而作輔助線從而作輔助線, , 用全等三角形來證明用全等三角形來證明 相應(yīng)的角相等相應(yīng)的角相等. . 證明證明: :連接連接ac.ac. ab=cd,bc=da,ac=ca,ab=cd,bc=da,ac=ca, abcabccda(sss).cda(sss). 1=2, 3=4.1=2, 3=4. abcd,cbad.ab

5、cd,cbad. 四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. . 1 2 3 4 得到平行四邊形的判定得到平行四邊形的判定: 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形. w求證求證: :一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形. . 已知已知: :如圖如圖, ,在四邊形在四邊形abcdabcd中中 ababcd,ab=cd.cd,ab=cd. 求證求證: :四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. . w分析分析: :要證明四邊形要證明四邊形 abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. .可可 轉(zhuǎn)

6、化證明兩組對(duì)邊分轉(zhuǎn)化證明兩組對(duì)邊分 別相等別相等, ,從而作輔助線從而作輔助線, , 用全等三角形來證明用全等三角形來證明 相應(yīng)的邊相等相應(yīng)的邊相等. . 證明證明: :連接連接ac.ac. abcd,abcd, 1=2.1=2. ab=cd,ac=ca,ab=cd,ac=ca, abcabccda(sas).cda(sas). 四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. . bc=da.bc=da. b d c a 1 2 你還你還 有不有不 同的同的 證法證法 嗎嗎? ? 得到平行四邊形的判定得到平行四邊形的判定: 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行

7、四邊形. 定理定理: :對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形. . 已知已知: :如圖如圖, ,在四邊形在四邊形abcdabcd中中, , 對(duì)角線對(duì)角線 ac,bdac,bd相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)o,co=ao,bo=do.o,co=ao,bo=do. 求證求證: :四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. . 證明證明: : co=ao,bo=do,1=2,co=ao,bo=do,1=2, aodaodcob(sas).cob(sas). 3=4.3=4. adcb.adcb. 同理同理,abcd.,abcd. 四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形

8、是平行四邊形. . b d c a o w分析分析: :要證明四邊要證明四邊 形形abcdabcd是平行四邊是平行四邊 形形. .可轉(zhuǎn)化證明兩組可轉(zhuǎn)化證明兩組 對(duì)邊分別平行對(duì)邊分別平行, ,從而從而 用全等三角形來證用全等三角形來證 明相應(yīng)的角相等明相應(yīng)的角相等. . 你還有幾你還有幾 種不同的種不同的 證法證法? ? 4 3 2 1 得到平行四邊形的判定得到平行四邊形的判定: 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形的. 定理定理: :兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形的. . 已知已知: :如圖如圖, ,在四邊形在四

9、邊形abcdabcd中中 ,a=c,b=d.,a=c,b=d. 求證求證: :四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. . w分析分析: :要證明四邊形要證明四邊形 abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. .可可 轉(zhuǎn)化證明兩組對(duì)邊分轉(zhuǎn)化證明兩組對(duì)邊分 別平行別平行. .從而轉(zhuǎn)化為相從而轉(zhuǎn)化為相 關(guān)的角關(guān)系來證明關(guān)的角關(guān)系來證明. . 證明證明: a=c,b=d,: a=c,b=d, a+c+b+d=360a+c+b+d=3600 0. . a+b=180a+b=1800 0. . adbc.adbc. b d c a 2a+2b=3602a+2b=3600 0. . 同理同理

10、,abcd.,abcd. 四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. . 通過以上的證明通過以上的證明,我們得到的關(guān)于平行四邊我們得到的關(guān)于平行四邊 形判定的猜想是正確的形判定的猜想是正確的,于是有了如下判定定理于是有了如下判定定理: v判定定理判定定理1:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平 行四邊形行四邊形. v判定定理判定定理2:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平 行四邊形行四邊形. v判定定理判定定理3:兩組對(duì)角線互相平分的四邊形是兩組對(duì)角線互相平分的四邊形是 平行四邊形平行四邊形. v判定定理判定定理4:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形

11、是一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是 平行四邊形平行四邊形. 想一想 v小明有一個(gè)猜想小明有一個(gè)猜想: v有一組對(duì)邊平行有一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形是另一組對(duì)邊相等的四邊形是 平行四邊形平行四邊形. v你能證明他的猜想是否成立你能證明他的猜想是否成立? v小紅也有一個(gè)猜想小紅也有一個(gè)猜想: v有一組對(duì)邊相等有一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形是平一組對(duì)角相等的四邊形是平 行四邊形行四邊形. v你能證明她的猜想是否成立你能證明她的猜想是否成立? 已知已知: :如圖如圖. . 求證求證: :四邊形四邊形mnopmnop是平行四邊形是平行四邊形. . 分析分析: :這是一道綜合性題目這是一道綜合

12、性題目, ,利利 用勾股定理用勾股定理, ,方程和平行四邊形方程和平行四邊形 的判定進(jìn)行計(jì)算性推理可獲證的判定進(jìn)行計(jì)算性推理可獲證. . 證明證明: : o m n p 4 5 x-3 11-x x-5 .453 2 22 xx . 8x .5 pomn .3 onpm 四邊形四邊形mnpomnpo是平行四邊形是平行四邊形. . 例題選講例題選講 mon=90 已知已知: :如圖如圖, ,在在abcdabcd中中,bf=de.,bf=de. 求證求證: :四邊形四邊形afceafce是平行四邊形是平行四邊形. . 分析分析: :由已知的平行由已知的平行 四邊形和四邊形和bf=debf=de可知

13、可知 ,ce=af,ce=af,則轉(zhuǎn)化為利則轉(zhuǎn)化為利 用一組對(duì)邊平行且用一組對(duì)邊平行且 相等來證明相等來證明. . 證明證明: : dcab,dc=abdcab,dc=ab de=cf de=cf ce=afce=af 四邊形四邊形afceafce是平行四邊形是平行四邊形. . 四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形 a b c de f 你還有幾種不同的證法你還有幾種不同的證法 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí) w定理定理: :兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行 四邊形四邊形. . w定理定理: :一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行 四邊形四邊形. . 回顧 思考 wab=cd,ad=bc,ab=cd,ad=bc, w四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. . b d c a wabcd,ab=cd,abcd,ab=cd, w四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. . 平行四邊形的判定平行四邊形的判定 平行四邊形的判定平行四邊形的判定 定理定理: :對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形. . 定理定理: :兩