畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）熱軋法制造齒輪計(jì)算機(jī)仿真分析

1、熱軋法制造齒輪計(jì)算機(jī)仿真分析 完成日期： 指導(dǎo)教師簽字： 評(píng)閱教師簽字： 答辯小組組長(zhǎng)簽字： 答辯小組成員簽字： 摘 要本文以熱軋45鋼齒輪為研究對(duì)象，借助有限元分析軟件msc.marc對(duì)齒輪軋制過(guò)程進(jìn)行仿真，對(duì)軋制過(guò)程中齒輪內(nèi)部應(yīng)力、應(yīng)變分布情況，軋制力的大小，軋制力矩及內(nèi)部金屬的流動(dòng)規(guī)律等進(jìn)行分析討論。通過(guò)分析可以看出，齒輪在軋制的過(guò)程中，坯料表面的應(yīng)變分布是不均勻的，主要集中在軋成的齒廓的周?chē)覒?yīng)變較大，而齒廓內(nèi)部的應(yīng)變較小，心部幾乎沒(méi)有應(yīng)變；由于應(yīng)變較大，在高溫軋制下齒廓區(qū)域可以很容易發(fā)生再結(jié)晶，細(xì)化晶粒，提高齒輪的強(qiáng)度和表面的耐磨性等。所以通過(guò)有限元的仿真可以極大地提高熱軋齒輪工藝開(kāi)

2、發(fā)與優(yōu)化效率，并且節(jié)約成產(chǎn)成本，對(duì)生產(chǎn)工藝的改良也有很積極地意義。關(guān)鍵詞：齒輪；軋制；有限元；應(yīng)變abstractin this paper, hot-rolled steel gear 45 as the research object, with the aid of finite element analysis software msc.marc gear rolling process simulation, the internal stress during rolling gear, strain distribution, the size of the rolling fo

3、rce, rolling moment and flow pattern inside the metal were analyzed for discussion. by analysis that, in the course of the rolling gear, the strain mainly concentrated around the surface of the tooth profile, and a strain is large, and the tooth profile of the internal strain is small, the center al

4、most no strain; since the strain is large, tooth profile at high temperatures can be easily rolled recrystallization, grain refinement, improved strength and abrasion resistance, such as the surface of the gear. it can greatly improve the efficiency of finite element simulation, and can save into pr

5、oduction costs, improved production technology also has a very positive meaning.key words: gear; rolling; finite element; strain 中文摘要、英文摘要、目錄的頁(yè)碼使用羅馬字母（、.），居中，小五號(hào)字頁(yè)面設(shè)置：上2.5厘米，下2.5厘米，左2.8厘米，右2.8厘米；行距：固定值20磅。a4紙，單面打印。目錄無(wú)需頁(yè)眉。目 錄1 緒論11.1 軋制簡(jiǎn)介11.2 齒輪軋制簡(jiǎn)介11.3 有限元法簡(jiǎn)介31.4 msc.marc軟件簡(jiǎn)介41.5 研究?jī)?nèi)容41.6 研究思路42 熱軋法

6、制造齒輪有限元模型52.1 幾何模型52.2 網(wǎng)格劃分53 結(jié)果與分析73.1 軋制過(guò)程變形分析73.2 轉(zhuǎn)矩分析93.3 受力分析104 結(jié)論與展望11參考文獻(xiàn) 12致謝 13 1 緒論1.1 軋制簡(jiǎn)介軋制是指金屬坯料在旋轉(zhuǎn)軋輥的作用下產(chǎn)生連續(xù)塑性變形，從而獲得所要求的截面形狀并改變其性能的加工方法。軋制原理示意圖如圖1-1所示，金屬坯料進(jìn)入由上軋輥和下軋輥組成的軋制區(qū)域內(nèi)，依靠上、下軋輥與金屬坯料之間的摩擦力帶動(dòng)金屬坯料進(jìn)行軋制，金屬坯料由較大的尺寸經(jīng)過(guò)軋輥軋制得到較小的尺寸，從而獲得所需的產(chǎn)品1。對(duì)于金屬材料而言，軋制工藝更是不可或缺的，這也是生產(chǎn)鋼材最常用的方式。除了可以生產(chǎn)各種型材、

7、板材和管材之外，軋制也可以用來(lái)生產(chǎn)各種零件。零件的軋制具有很多優(yōu)點(diǎn)，如生產(chǎn)效率比較高、成本較低、產(chǎn)品質(zhì)量較好、節(jié)約材料等。一般根據(jù)軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)速度是否相同可將軋制分為轉(zhuǎn)速相同的同步軋制及軋輥轉(zhuǎn)速不同的異步軋制，而根據(jù)軋制溫度又可分為熱軋和冷軋兩種。圖1-1 軋制原理示意圖熱軋是指材料軋制溫度高于再結(jié)晶溫度的軋制過(guò)程，其特點(diǎn)是材料變形過(guò)程中伴隨動(dòng)態(tài)再結(jié)晶過(guò)程。通過(guò)熱軋可以使金屬內(nèi)部的組織發(fā)生變化，使晶粒得到細(xì)化，并且能夠消除顯微組織的缺陷，從而使金屬的組織更加密實(shí)，材料的力學(xué)性能得到明顯改善。這種改善主要體現(xiàn)在沿軋制方向上，從而使材料在一定程度上不再是各向同性體；澆注時(shí)形成的氣泡、裂紋和縮松，也可以

8、在高溫和壓力的作用下被焊合。冷軋是指材料軋制溫度低于再結(jié)晶溫度的軋制過(guò)程，其特點(diǎn)是變形過(guò)程中無(wú)再結(jié)晶現(xiàn)象，變形后的金屬只具有形變強(qiáng)化現(xiàn)象。因此，變形程度不宜太大，以免產(chǎn)生破裂。冷軋能使金屬材料產(chǎn)生很大的塑性變形，從而提高其屈服點(diǎn)，也可以使金屬的硬度和精度得到提高，從而提升產(chǎn)品的性能。1.2 齒輪軋制簡(jiǎn)介齒輪是傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的重要零件，在機(jī)械、車(chē)輛、船舶、儀器儀表中都得到了很廣泛的應(yīng)用，齒輪本身的質(zhì)量與產(chǎn)品的使用壽命、承載能力、工作性能及精度等都有著很緊密的關(guān)系。隨著現(xiàn)在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力的不斷發(fā)展，機(jī)械設(shè)備的工作精度需要越來(lái)越高，傳遞的功率必須越來(lái)越大，轉(zhuǎn)速也要求越來(lái)越高。因此，對(duì)齒輪及其傳動(dòng)精

9、度提出了更高的要求2。齒形加工是齒輪加工的核心和關(guān)鍵，現(xiàn)在齒輪的制造主要是用切削加工，也可以采用鑄造或輾壓（軋制法）來(lái)制造加工。而齒輪切削加工的方法就其加工原理的不同可分為成形法（也稱(chēng)仿形法）和展成法（也稱(chēng)范成法）兩大類(lèi)，成形法的特點(diǎn)是：1、成本比較低；2、生產(chǎn)效率較低；3、精度低。展成法的特點(diǎn)是：1、同一模數(shù)和齒形角而齒數(shù)不同的齒輪可以用同一把刀具加工；2、加工的精度和效率都較高。熱軋法的特點(diǎn)是：1、生產(chǎn)率高、力學(xué)性能好；2、齒輪強(qiáng)度高、壽命長(zhǎng)；3、精度低；4、節(jié)約材料。由此可見(jiàn)，熱軋法制造齒輪較其他齒輪制造方法具有一定的優(yōu)勢(shì)。齒輪軋制就是通過(guò)齒輥與坯料間的相互輾壓而形成齒廓的工藝。軋制是一

10、種無(wú)屑或少屑的加工工藝，所以齒輪軋制可以大大的節(jié)約材料，同時(shí)可以提高生產(chǎn)的效率。由于齒輪內(nèi)部的金屬主要沿齒廓區(qū)域連續(xù)流動(dòng)，所以，齒輪的強(qiáng)度較高、壽命較長(zhǎng)。圖1-2 齒輪熱軋示意圖1-軋輪；2-毛坯；3-感應(yīng)加熱器在軋制前將毛坯外緣用感應(yīng)加熱法加熱，使毛坯外緣迅速加熱至高溫，適于壓力加工成形，而熱量還來(lái)不及向毛坯內(nèi)部傳導(dǎo)，毛坯內(nèi)部則保持較低溫度和較高的硬度和剛度，使毛坯處于外柔內(nèi)剛的理想熱加工狀態(tài)。然后將帶齒形的軋輪1做徑向進(jìn)給，迫使軋輪與毛坯2對(duì)輾。在對(duì)輾過(guò)程中，毛坯上一部分金屬受壓形成齒谷，相鄰部分的金屬被軋輪齒部“反擠”而上升，形成齒頂3。如圖1-2齒輪熱軋示意圖所示。直齒輪和斜齒輪都可以

11、通過(guò)熱軋的方法來(lái)進(jìn)行制造。精度要求不高的齒輪，軋制后可以直接使用。而精度要求較高的齒輪，可以先熱軋成形后，再對(duì)齒輪進(jìn)行精加工處理，如剃齒、磨齒、研齒和珩齒等。由于軋制過(guò)程中材料所受到的應(yīng)力、應(yīng)變很大，所以熱軋成形的齒輪精度也不夠穩(wěn)定，且對(duì)加熱設(shè)備也有很高的要求。基于有限元算法的數(shù)值仿真研究具有效率高、投資少的特點(diǎn)，并且能夠快速的進(jìn)行工藝規(guī)律研究與預(yù)測(cè)，不但能產(chǎn)生很大的經(jīng)濟(jì)效益，而且可以加速理論、試驗(yàn)研究的進(jìn)程，因此得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。1.3 有限元法簡(jiǎn)介有限元法（fem，finite element method）是一種為求得偏微分方程邊值問(wèn)題近似解的數(shù)值技術(shù)。它通過(guò)變分方法，使得誤差函數(shù)達(dá)

12、到最小值并產(chǎn)生穩(wěn)定解。類(lèi)比于連接多段微小直線逼近圓的思想，有限元法包含了一切可能的方法，這些方法將許多被稱(chēng)為有限元的小區(qū)域上的簡(jiǎn)單方程聯(lián)系起來(lái)，并用其去估計(jì)更大區(qū)域上的復(fù)雜方程。它將求解域看成是由許多稱(chēng)為有限元的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的(較簡(jiǎn)單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿(mǎn)足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問(wèn)題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題被較簡(jiǎn)單的問(wèn)題所代替4。由于大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段5-6。有限元分析（finite element analysis，fea）是

13、指將物體劃分成有限個(gè)單元，這些單元之間通過(guò)有限個(gè)節(jié)點(diǎn)相互連接，單元看作是不可變形的剛體，單元之間的力通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞，然后利用能量原理建立各單元矩陣，在輸入材料特性、載荷和約束等邊界條件后，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行物體變形、應(yīng)力和溫度場(chǎng)等力學(xué)特性計(jì)算，然后對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，顯示變形后物體的形狀及應(yīng)力分布圖等。有限元分析可分成三個(gè)階段，前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分；中間的處理過(guò)程則是計(jì)算機(jī)進(jìn)行的復(fù)雜計(jì)算；后處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶(hù)能簡(jiǎn)便提取信息，了解計(jì)算結(jié)果7-9。1.4 msc.marc軟件簡(jiǎn)介為了滿(mǎn)足工程師快捷地解決復(fù)雜工程問(wèn)題的要求，多采用商業(yè)化有限元分析軟件

14、。有限元分析軟件是有限元法用于解決工程問(wèn)題的工具，常用的有限元分析軟件有ansys、msc.marc、nastran、fenris。msc.marc是功能齊全的高級(jí)非線性有限元軟件，體現(xiàn)了30多年來(lái)有限元分析的理論和軟件實(shí)踐的完美結(jié)合，具有極強(qiáng)的結(jié)構(gòu)分析能力10。它可以處理各種線性和非線性結(jié)構(gòu)分析：線性/非線性靜力分析、模態(tài)分析、簡(jiǎn)諧響應(yīng)分析、頻譜分析、隨機(jī)振動(dòng)分析、自動(dòng)的靜/動(dòng)力接觸、失效和破壞分析等。msc.marc支持全自動(dòng)網(wǎng)格重劃，用以糾正過(guò)渡變形后產(chǎn)生的網(wǎng)格畸變，確保大變形分析的繼續(xù)進(jìn)行。msc.marc軟件從20世紀(jì)70年代初誕生至今的30年中，一直緊跟有限元方法的理論和計(jì)算機(jī)硬、

15、軟件發(fā)展的最新進(jìn)展，已發(fā)展成為功能強(qiáng)大、界面友好的有限元軟件系統(tǒng)。它擁有豐富和完善的單元庫(kù)、材料模型庫(kù)和求解器，保證了它能夠高效地求解各類(lèi)結(jié)構(gòu)的靜力和動(dòng)力中的線性、高度非線性問(wèn)題，穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)熱分析及熱-結(jié)構(gòu)耦合問(wèn)題，電磁場(chǎng)問(wèn)題，流體力學(xué)問(wèn)題，及其滑動(dòng)軸承問(wèn)題11-12。1.5 研究?jī)?nèi)容本文以軋制45鋼齒輪為研究對(duì)象，借助有限元軟件msc.marc，對(duì)齒輪熱軋的過(guò)程建立有限元模型，進(jìn)行仿真，從而對(duì)其軋制過(guò)程中內(nèi)部金屬的流動(dòng)規(guī)律，坯料內(nèi)部應(yīng)力、應(yīng)變分布情況，軋制力的大小及軋制力矩等進(jìn)行分析討論。1.6 研究思路本次畢業(yè)論文的研究思路如下：1、學(xué)習(xí)并掌握金屬熱加工以及軋制工藝，有限元的相關(guān)知識(shí)；2、

16、建立齒輪熱軋的有限元分析模型；3、使用有限元軟件msc.marc進(jìn)行計(jì)算；4、數(shù)據(jù)分析與處理。2 熱軋法制造齒輪有限元模型2.1 幾何模型本次畢業(yè)論文對(duì)于熱軋齒輪有限元分析模型主要由齒輥、坯料和轉(zhuǎn)筒三部分組成，如圖2-1所示。坯料由于受到齒輥上齒廓的作用而發(fā)生強(qiáng)制變形，使得其內(nèi)部金屬的流動(dòng)以徑向流動(dòng)為主，而軸向流動(dòng)較少。因此，本次畢業(yè)論文采用二維（2d）的計(jì)算方式，能夠保證計(jì)算的精度，同時(shí)又可以極大的減少單元數(shù)目，這樣能夠減少計(jì)算量，提高計(jì)算的效率。因?yàn)楫?dāng)軋制進(jìn)入穩(wěn)定階段后即可認(rèn)為軋制結(jié)束，所以為了提高效率，減少計(jì)算時(shí)間，只需軋制部分齒輪。坯料的材料為碳鋼（45鋼），軋制溫度為800，摩擦系數(shù)

17、為0.1，齒輥的模數(shù)為1.5mm，壓力角為20，分度圓直徑144mm，齒頂圓直徑147mm，齒根圓直徑140.25mm，齒距為4.7mm，齒厚為2.35mm，齒頂高為1.5mm,齒根高為1.875mm,齒全高為3.375mm,轉(zhuǎn)速為1rad/s；坯料直徑43.2mm；轉(zhuǎn)筒直徑 26mm，轉(zhuǎn)速為3.3rad/s；轉(zhuǎn)筒與齒輥的傳動(dòng)比i=3.3。齒輥轉(zhuǎn)筒坯料圖2-1 熱軋法制造齒輪有限元分析幾何模型2.2 網(wǎng)格劃分網(wǎng)格的劃分是建立有限元模型的一個(gè)重要環(huán)節(jié),它要求考慮的因素較多,需要的工作量較大,所劃分的網(wǎng)格形式對(duì)計(jì)算精度和計(jì)算規(guī)模將產(chǎn)生直接影響。為建立正確的有限元模型,劃分網(wǎng)格時(shí)應(yīng)考慮網(wǎng)格數(shù)目、網(wǎng)格

18、疏密、單元階次和網(wǎng)格質(zhì)量等因素。本次設(shè)計(jì)將坯料以0.5mm為邊長(zhǎng)劃分出三角形單元格，如圖2-2變形工件單元?jiǎng)澐炙尽D2-2 變形工件單元?jiǎng)澐? 結(jié)果與分析3.1 軋制過(guò)程變形分析本部分主要分析了坯料由熱軋形成齒輪的工藝仿真過(guò)程，以及在成形過(guò)程中坯料的變形過(guò)程，坯料內(nèi)部應(yīng)力、應(yīng)變的分布情況及金屬的流動(dòng)規(guī)律。齒輪熱軋的有限元模擬過(guò)程如圖3-1所示。(a)(b)(c)(d)圖3-1 齒輪熱軋加工過(guò)程有限元模擬圖3-1(a)給出了熱軋過(guò)程開(kāi)始，坯料接觸齒輥后發(fā)生的變形情況，從圖上可以看出，變形僅發(fā)生在坯料與齒輥接觸處，并未滲透到坯料內(nèi)部區(qū)域，且此時(shí)接觸處受到的等效應(yīng)變很大。如圖3-1(b)所示，第一

19、個(gè)齒廓形成不好，而第二個(gè)齒廓形成較好，主要是由于剛開(kāi)始接觸時(shí)坯料只受到齒輥上一個(gè)齒廓的影響，金屬的流動(dòng)方向比較自由，難以進(jìn)行控制，因而造成第一個(gè)齒廓難以成形，該齒廓可以通過(guò)齒輥與工件第二次嚙合或者多次嚙合加工，使該區(qū)域形成齒頂和齒根。軋制主要以塑性變形為主，因此在變形過(guò)程中會(huì)形成帶狀的纖維組織，纖維組織會(huì)沿坯料的外形輪廓連續(xù)分布，能夠適應(yīng)工件工作時(shí)的受力情況。而采用切削加工的方法，會(huì)造成纖維組織的斷裂，使工件強(qiáng)度下降。如圖3-1（c）所示,軋制過(guò)程中坯料表層應(yīng)變分布不均勻，應(yīng)變分布主要發(fā)生在軋成的齒廓的周?chē)覒?yīng)變較大，而坯料心部區(qū)域應(yīng)變較小，幾乎沒(méi)有發(fā)生應(yīng)變。在塑性加工生產(chǎn)中，冷加工會(huì)產(chǎn)生加

20、工硬化現(xiàn)象，給金屬繼續(xù)進(jìn)行塑性變形帶來(lái)困難。當(dāng)金屬在高溫下受力發(fā)生變形時(shí)，加工硬化和再結(jié)晶過(guò)程同時(shí)存在。由于變形中的加工硬化隨時(shí)都被再結(jié)晶過(guò)程所消除，所以變形后沒(méi)有加工硬化現(xiàn)象。由圖3-1(d)可以看出，在齒輪軋制過(guò)程中，軋出的齒廓表層發(fā)生的應(yīng)變很大，可以達(dá)到1.685，如此大的應(yīng)變，金屬在高溫下很容易發(fā)生再結(jié)晶，從而改變了粗大的組織，獲得細(xì)化的再結(jié)晶組織，金屬的微觀組織晶粒得到進(jìn)一步細(xì)化，有利于提高強(qiáng)度和硬度，使齒輪表面耐磨性增強(qiáng)。3.2 轉(zhuǎn)矩分析本部分主要研究分析了齒輥在軋制過(guò)程中的轉(zhuǎn)矩，轉(zhuǎn)矩是熱軋成形過(guò)程中一個(gè)重要的工藝參數(shù)，轉(zhuǎn)矩的大小主要是受轉(zhuǎn)筒的扭矩、工件力和摩擦力等綜合因素的影響。

21、坯料的轉(zhuǎn)動(dòng)主要是由轉(zhuǎn)筒提供的，而轉(zhuǎn)筒的運(yùn)動(dòng)又是由齒輥的轉(zhuǎn)矩所決定的，因?yàn)檐堉七^(guò)程中坯料的變形很大，所以齒輥驅(qū)動(dòng)所需要的轉(zhuǎn)矩也相當(dāng)大。因此，確定齒輥轉(zhuǎn)矩的大小對(duì)于生產(chǎn)能力的確定，動(dòng)力部分電機(jī)的選擇及校核有很重要的實(shí)踐意義。正確計(jì)算轉(zhuǎn)矩避免了軋制過(guò)程中齒輥由于電機(jī)提供不了相應(yīng)的功率而導(dǎo)致軋制過(guò)程無(wú)法進(jìn)行，圖3-2為齒輥對(duì)z軸的轉(zhuǎn)矩，此轉(zhuǎn)矩主要為選擇所需要的電機(jī)提供依據(jù)，以滿(mǎn)足齒輥在軋制時(shí)所需要的功率。圖3-2 齒輥對(duì)z軸的轉(zhuǎn)矩3.3 受力分析本部分主要對(duì)轉(zhuǎn)筒的受力情況進(jìn)行了分析。坯料需要固定在轉(zhuǎn)筒上來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，但是為了保證坯料表面的齒廓能夠和齒輥正確的嚙合，只能讓其作圓周運(yùn)動(dòng)，而不能出現(xiàn)位移現(xiàn)象，

22、因此，確定轉(zhuǎn)筒的受力大小有利于對(duì)轉(zhuǎn)筒的剛度進(jìn)行計(jì)算，也有利于得到更好的齒形。受力過(guò)大，轉(zhuǎn)筒會(huì)發(fā)生一定的變形，從而使得轉(zhuǎn)筒與齒輥的中心距發(fā)生一定的擴(kuò)大，齒廓與齒輥不能很好的嚙合在一起，使得軋出的齒形不能滿(mǎn)足需要。所以對(duì)轉(zhuǎn)筒進(jìn)行受力分析，得出其在x、y軸所受到的力，這對(duì)于轉(zhuǎn)筒的定位，夾具的選擇及校核也是一個(gè)很重要的參數(shù)。轉(zhuǎn)筒的受力如圖3-3所示。(a)(b)圖3-3 轉(zhuǎn)筒的受力分析，（a）在x軸的受力分析，（b）在y軸的受力分析4 結(jié)論與展望本論文主要借助有限元軟件msc.marc對(duì)45鋼熱軋形成齒輪的過(guò)程進(jìn)行仿真，完成了軋制過(guò)程中坯料內(nèi)部應(yīng)力、應(yīng)變分布情況，軋制力的大小，軋制力矩等的分析。通過(guò)分

23、析可以看出，熱軋過(guò)程中坯料表面的應(yīng)變較大，而內(nèi)部的應(yīng)變較小，心部幾乎沒(méi)有發(fā)生應(yīng)變，這樣通過(guò)熱軋的方法，極易使齒廓區(qū)域附近的金屬發(fā)生再結(jié)晶，細(xì)化晶粒，從而提高金屬的強(qiáng)度和硬度，使得齒輪具有更高的耐磨性。通過(guò)對(duì)齒輥轉(zhuǎn)矩的分析可以更好的選擇傳動(dòng)部分電動(dòng)機(jī)的大小。對(duì)轉(zhuǎn)筒的受力分析可以更好地選擇夾具及轉(zhuǎn)筒與齒輥位置的固定。參考文獻(xiàn)1 康永林.軋制工程學(xué)m.北京:冶金工業(yè)出版社，2004: 1-2.2 鄧文英，宋力宏.金屬工藝學(xué)m.北京：高等教育出版社，2008： 110-111.3 張遠(yuǎn)明，呂廣庶. 工程材料及成形技術(shù)基礎(chǔ)m.北京:高等教育出版社，2011： 233-234.4 楊曼云. 軸承滾子冷鍛加工過(guò)程數(shù)值成形技術(shù)的研究與應(yīng)用d.昆明：昆明理工大學(xué)，2005.5 趙維濤，陳孝珍. 有限元法基礎(chǔ)m.北京：科學(xué)出版社，2009：1-3.6 薛守義.