新課程下數(shù)學(xué)理解與促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解

1、新課程下數(shù)學(xué)理解與促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解王愛(ài)珍【專題名稱】中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)（高中讀本）【專 題 號(hào)】g35【復(fù)印期號(hào)】2008年08期【原文出處】中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(西安)2008年5下期第1013,48頁(yè)【作者簡(jiǎn)介】王愛(ài)珍廣東教育學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要通過(guò)感知認(rèn)識(shí)事物的表面現(xiàn)象和外部聯(lián)系，獲得感性認(rèn)識(shí)，而且要在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)理解，逐步達(dá)到對(duì)事物的理性認(rèn)識(shí)，所以，理解是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)中心環(huán)節(jié)1。理解在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要的地位，沒(méi)有理解就不會(huì)有有意義的學(xué)習(xí)，只有理解了，才可能有創(chuàng)新，理解是創(chuàng)新的前提與基礎(chǔ)。一、對(duì)數(shù)學(xué)教育中“理解”的相關(guān)認(rèn)識(shí)1.“理解”是教育目的之一美國(guó)教育學(xué)家g

2、. m. bleinkin和a. v. kelly曾說(shuō)過(guò)：“教育不在于獲得有用的知識(shí)或技能，而在于發(fā)展求知能力；不在于學(xué)習(xí)而在于達(dá)成理解，不在于獲得信息，而在于完成智慧。”2人類經(jīng)歷了幾千年的發(fā)展進(jìn)化歷程，積累了寶貴的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，而在整個(gè)發(fā)展進(jìn)程中，人們又在前人所得到的成果的基礎(chǔ)上不斷地學(xué)習(xí)、創(chuàng)新，試圖更完美地運(yùn)用與發(fā)展前人的精神財(cái)富，這一過(guò)程離開(kāi)了“理解”是無(wú)法進(jìn)行的，人們?cè)诓粩嗟貙W(xué)習(xí)過(guò)程中，注入各自的理解，不斷地發(fā)展、完善，整個(gè)社會(huì)才不斷地得以前進(jìn)，教育更是如此。2.“理解”是獲得知識(shí)的一種重要方式在數(shù)學(xué)教育界，被廣泛接受的一種思想是學(xué)生應(yīng)該要理解數(shù)學(xué)，其中不乏許多研究，其目標(biāo)就是推行理解地

3、學(xué)習(xí)。專家認(rèn)為，任何知識(shí)只有通過(guò)理解才能被建構(gòu)意義，納入個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)中，成為其中的一部分，已有的知識(shí)也才能真正地成為個(gè)人的知識(shí)，才是活的知識(shí)，學(xué)習(xí)者才能對(duì)其應(yīng)用自如；反之，當(dāng)已有的知識(shí)不能與個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)有機(jī)地融合在一起時(shí)，它便不能成為真正的個(gè)人的知識(shí)，這種知識(shí)雖然有可能被學(xué)習(xí)者占有，但卻不能活用，這不是我們所追求的目的。3.“理解”對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“理解”無(wú)疑是第一位的，它已成為繼“問(wèn)題解決”之后當(dāng)今世界數(shù)學(xué)教育界所關(guān)注的又一中心話題(pme news may 1997 edition. mathe-matics forum)3。美國(guó)數(shù)學(xué)教育專家m. a. bell曾利用實(shí)驗(yàn)對(duì)理解在

4、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性給出過(guò)很好的證明。教育哲學(xué)博士金生鈜曾經(jīng)指出：“就學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程而言，理解是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。任何認(rèn)知方式都是建立在理解之上的，不論是分析、概括、歸納還是系統(tǒng)化，都需要理解，理解使學(xué)習(xí)成為可能。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)行著對(duì)學(xué)習(xí)情境的理解、對(duì)自我的把握以及對(duì)學(xué)習(xí)材料最初意義上的把握等；理解總是滲透到學(xué)習(xí)活動(dòng)的各個(gè)方面，如動(dòng)機(jī)、情感等，使學(xué)習(xí)活動(dòng)得以進(jìn)行。理解的關(guān)鍵就是把個(gè)人的整體經(jīng)驗(yàn)投向了相關(guān)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并發(fā)生意義關(guān)聯(lián)，這樣才可能使學(xué)習(xí)者的認(rèn)知活動(dòng)得以實(shí)現(xiàn)?！睆膶W(xué)科角度講，數(shù)學(xué)具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，其知識(shí)連貫性特別強(qiáng)，如果前面某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有理解，那么就有可能引起連鎖反應(yīng)，后

5、面的知識(shí)都不能理解。如果離開(kāi)理解去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，單純依靠死記硬背，那么只會(huì)得到一些機(jī)械的、空洞的數(shù)學(xué)符號(hào)、概念等，不可能真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更談不上應(yīng)用。但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的一個(gè)目的就是為了應(yīng)用，為此，要加深對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，達(dá)到融會(huì)貫通、舉一反三，才能掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征，解決實(shí)際問(wèn)題。此外，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，還包括數(shù)學(xué)思想和方法，而這些也只有在深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上才能熟練掌握，靈活運(yùn)用。4.“理解”在課程標(biāo)準(zhǔn)中的重要地位美國(guó)、英國(guó)等西方國(guó)家很早就非常重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的“理解”，這一點(diǎn)在美國(guó)principles and standards for school mathemati

6、cs以及英國(guó)mathematics, guidance of national curriculum中都有很好地體現(xiàn)，其中美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)完整地描繪了由學(xué)前到12年級(jí)的學(xué)生所應(yīng)得到的數(shù)學(xué)理解，并且對(duì)學(xué)生們的數(shù)學(xué)理解作出評(píng)價(jià)。如今，隨著我國(guó)數(shù)學(xué)教育事業(yè)的發(fā)展和研究的逐步深入，“數(shù)學(xué)理解”也越來(lái)越受到眾多專家學(xué)者的重視，如在全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中對(duì)其作了精彩的描述：“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”；在“知識(shí)技能目標(biāo)

7、”中，“理解”被描述為“能描述對(duì)象的特征和由來(lái)；能明確地闡述此對(duì)象與有關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系”；在課程總體目標(biāo)中，要求學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育階段地?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能夠“體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心”4。由此可見(jiàn)，“數(shù)學(xué)理解”已引起了我國(guó)廣大數(shù)學(xué)教育工作者的普遍關(guān)注，其地位已得到充分肯定。二、“數(shù)學(xué)理解”的含義所謂“數(shù)學(xué)理解”，從理解的對(duì)象來(lái)講，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀及有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)背景等的理解。從心理學(xué)意義上講，是指在學(xué)習(xí)者現(xiàn)有的認(rèn)知水平范圍內(nèi)，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，以目前自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)教材上的知識(shí)信息或教師所

8、講的內(nèi)容（包括數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)知識(shí)的有關(guān)背景等）經(jīng)過(guò)思維加工，重新加以解釋，重新建構(gòu)其意義，從而把新的學(xué)習(xí)內(nèi)容正確地納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，或者改組、擴(kuò)大原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使新的學(xué)習(xí)內(nèi)容成為整個(gè)結(jié)構(gòu)的有機(jī)組成部分，從而逐步認(rèn)識(shí)其本質(zhì)和規(guī)律的一種思維活動(dòng)5。從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)理解的核心就是把握數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、思想方法等的本質(zhì)內(nèi)涵及它們之間的內(nèi)在關(guān)系，且會(huì)應(yīng)用。三、我國(guó)中學(xué)生的數(shù)學(xué)理解現(xiàn)狀目前，從總體上講我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)理解的重視程度還不夠，主要是受教育體制（如應(yīng)試教育等）、社會(huì)環(huán)境以及各種觀念的影響。首先，從學(xué)校教育的角度講，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，尚未給學(xué)生提供足夠的理解的時(shí)間和機(jī)會(huì)。其次，在

9、傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，其時(shí)間分配主要有兩大部分：第一部分是教師講授新知識(shí)；第二部分就是學(xué)生做大量的練習(xí)，其中不少是機(jī)械、模仿式的練習(xí)，這樣留給學(xué)生動(dòng)腦思考、理解、消化的時(shí)間就很少。值得注意的是，在應(yīng)試教育的影響下，據(jù)教師、學(xué)生反映，正規(guī)、大型的考試往往題量太大，考生在拿到試題后，一看題目就要知道題目該怎么做，才可能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成答卷，否則就做不完，所以整個(gè)考試過(guò)程幾乎談不上對(duì)題目作深入的思考與理解。這樣，勢(shì)必給教師產(chǎn)生不良的導(dǎo)向：教學(xué)中必須實(shí)施“題海戰(zhàn)術(shù)”，讓學(xué)生進(jìn)行“大運(yùn)動(dòng)量訓(xùn)練”，否則很難應(yīng)付這樣的考試。久而久之，教師就忽略了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解及對(duì)其理解能力的培養(yǎng)，學(xué)生也就疲于應(yīng)付作業(yè)，

10、無(wú)暇深入思考、理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而造成學(xué)生理解水平不高。理解水平低下會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生很大的影響，導(dǎo)致學(xué)習(xí)障礙?，F(xiàn)在學(xué)校教育中出現(xiàn)大量的學(xué)困生，很大一部分是由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不理想而引起的，其中多半是因?yàn)閷W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在理解困難而導(dǎo)致的。所以亟待采取教學(xué)應(yīng)對(duì)措施，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，減少數(shù)學(xué)學(xué)困生的數(shù)量。四、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的方法及教學(xué)對(duì)策1.幫助學(xué)生生成正確的數(shù)學(xué)表象數(shù)學(xué)表象是人腦對(duì)數(shù)學(xué)物象進(jìn)行形式結(jié)構(gòu)的特征概括而得到的觀念性形象。按材料內(nèi)容的不同，數(shù)學(xué)表象可以分為圖形表象和圖式表象。圖形表象是人腦對(duì)幾何圖形感知而形成的表象，圖式表象則是對(duì)數(shù)學(xué)式子、結(jié)構(gòu)、關(guān)系、模型感知而形成的表象6。在幫助學(xué)生理

11、解數(shù)學(xué)基本概念時(shí)，這一教學(xué)對(duì)策是比較有效的。(1)利用數(shù)學(xué)圖形的多樣化，豐富學(xué)生的圖形變式在幾何教學(xué)中，數(shù)學(xué)圖形多樣化，即：使圖形的形狀、呈現(xiàn)方式有多種變式，目的是讓學(xué)生較快地形成正確的表象，這樣可使學(xué)生視野變寬，不會(huì)局限于一種“標(biāo)準(zhǔn)形”。教材上的幾何圖形往往比較規(guī)范、單一，許多教師在進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，也往往用最常見(jiàn)的、大家都比較熟悉的圖形進(jìn)行教學(xué)，久而久之，學(xué)生易形成僵化性思維，遇到具體問(wèn)題時(shí)，頭腦中的圖形變式不夠豐富，只有少數(shù)學(xué)生能夠理解，可以以不變應(yīng)萬(wàn)變，但多數(shù)學(xué)生卻受到這種思維方式的制約，產(chǎn)生理解障礙”5。筆者認(rèn)為，這一問(wèn)題尚未引起許多教師的注意。最常見(jiàn)的例子有：題目要求畫(huà)三角形或包含三

12、角形的圖形時(shí)（但沒(méi)有具體指明是哪一種三角形），教師就經(jīng)常以銳角三角形作為代表，而很少以鈍角三角形、直角三角形為例。再如。畫(huà)有關(guān)“垂直”的圖形時(shí)，最常畫(huà)的是如圖1(a)的情形，而其他三種情況則極少用到。圖1(2)借助實(shí)物、模型等豐富的感性材料，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)理解是以已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的。在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中，教師向?qū)W生提供足以說(shuō)明有關(guān)知識(shí)的豐富的感性材料，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的初步理解，在頭腦中建立起與數(shù)學(xué)對(duì)象特征相聯(lián)系的數(shù)學(xué)表象。數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等都具有高度的抽象性和概括性，如果讓學(xué)生直接理解，一定會(huì)存在很大困難，所以，在教學(xué)中應(yīng)該為學(xué)生提供或者讓學(xué)生自己動(dòng)手制作一系列

13、的實(shí)物、模型、教具等，通過(guò)讓學(xué)生觀察，使學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察要理解的數(shù)學(xué)對(duì)象的特征，獲得對(duì)它們的一些具體、直觀的感知，形成正確的表象，有助于學(xué)生形成正確的感性認(rèn)識(shí)。2.借助多媒體，注重知識(shí)的生成過(guò)程，呈現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)含義按生物發(fā)生規(guī)律，人類個(gè)體的認(rèn)識(shí)過(guò)程，往往簡(jiǎn)潔地重復(fù)人類的認(rèn)識(shí)過(guò)程，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最佳途徑是返璞歸真：使學(xué)習(xí)者在頭腦中，經(jīng)歷一個(gè)知識(shí)（可能的）發(fā)生、發(fā)展過(guò)程（數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程，知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程，解題思路的探索過(guò)程，方法與規(guī)律的概括過(guò)程等）。然而，知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的原始過(guò)程，早已消逝在茫茫的數(shù)學(xué)歷史長(zhǎng)河中了，怎樣去經(jīng)歷、尋找？作為學(xué)生，就需要教師為之設(shè)計(jì)一個(gè)知

14、識(shí)可能的生長(zhǎng)過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程，像歷史在戲劇中的重演7。在這方面，多媒體計(jì)算機(jī)是我們的有力助手。教學(xué)實(shí)踐表明：闡明知識(shí)的發(fā)生、探索過(guò)程，用數(shù)學(xué)思想方法揭示各概念、命題的本質(zhì)含義，對(duì)于學(xué)生理解課本內(nèi)容是大有幫助的。課本中的概念、定理等的差異、關(guān)系通常并未明顯敘述出來(lái)，都是隱含其中的，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生去研究、挖掘，幫助他們真正理解概念、原理的實(shí)質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，防止死套公式，張冠李戴。在此，多媒體計(jì)算機(jī)、計(jì)算器輔助教學(xué)給我們提供了一個(gè)良好的平臺(tái)。課堂教學(xué)中，恰當(dāng)使用多媒體進(jìn)行教學(xué)是非常有幫助的，也很有必要，不僅可以使知識(shí)形象化，讓學(xué)生知道知識(shí)的來(lái)龍去脈，把握新知識(shí)的內(nèi)涵，而且還

15、可以活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和參與性，利用多媒體的動(dòng)畫(huà)、音、色等功能，顯示在黑板上難以顯示的知識(shí)發(fā)生、發(fā)展等過(guò)程，更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)本身的建構(gòu)、內(nèi)化。如：例1教授“過(guò)三點(diǎn)的圓”時(shí)，教師可以利用圖形計(jì)算器t1-92演示整個(gè)教學(xué)過(guò)程，把定理“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”的整個(gè)生成過(guò)程呈現(xiàn)在學(xué)生面前；讓學(xué)生觀察如下三個(gè)圖形的幾何動(dòng)畫(huà)有何不同，從而逐步從感性認(rèn)識(shí)過(guò)渡到理性認(rèn)識(shí)。圖2圖3圖2表示在已知點(diǎn)外任意一點(diǎn)為圓心，以連接已知點(diǎn)和圓心的線段為半徑作圓。這樣的圓有無(wú)數(shù)多個(gè)。圖3表示以連接兩個(gè)已知點(diǎn)的線段的垂直平分線上任一點(diǎn)為圓心，以圓心與兩點(diǎn)中任一點(diǎn)的距離為半徑作圓，這樣的圓也有無(wú)數(shù)個(gè)

16、。因?yàn)橥蟿?dòng)圓心o點(diǎn)，則o點(diǎn)在ab的垂直平分線上來(lái)回移動(dòng)，產(chǎn)生無(wú)數(shù)多個(gè)圓。圖4（見(jiàn)下頁(yè)）表示經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作圓且只能作一個(gè)圓，而且這次作出的圓，利用幾何動(dòng)畫(huà)，圓心不能被拖動(dòng)，圓也不動(dòng)。經(jīng)過(guò)上述三步幾何動(dòng)畫(huà)演示，學(xué)生可以直觀地觀察到整個(gè)定理的生成過(guò)程。同時(shí)，通過(guò)動(dòng)態(tài)展示，也讓學(xué)生體會(huì)到了此定理的深刻意義。圖43.運(yùn)用發(fā)散思維，借助對(duì)比和聯(lián)系，幫助學(xué)生探明知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別所謂發(fā)散思維，是指從已知信息中產(chǎn)生大量變化的、獨(dú)特的新信息的一種沿不同方向、在不同范圍、不因循傳統(tǒng)的思維方式，又稱為求異思維或輻射思維6。通俗地講，就是由某一條件或事實(shí)出發(fā)，從各個(gè)層面、各個(gè)角度縱向、橫向思考，提出多

17、種假設(shè)，產(chǎn)生多種結(jié)論。發(fā)散思維具有多端性、靈活性、新穎性的特點(diǎn)。許多學(xué)生理解不透數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，很大程度上是由于他們不能成功運(yùn)用發(fā)散思維把前后知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，形成一個(gè)相對(duì)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)。為此教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用發(fā)散思維回憶以前學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，從多個(gè)角度與當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容建立聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以達(dá)到融會(huì)貫通、熟練應(yīng)用的程度。例如，為了深刻理解二次三項(xiàng)式、一元二次方程、一元二次函數(shù)和一元二次不等式的知識(shí)，必須利用發(fā)散思維，在分散學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，將它們貫通凝集起來(lái)對(duì)比學(xué)習(xí)，特別是要通過(guò)數(shù)形結(jié)合，把握它們之間彼此滲透和互相轉(zhuǎn)化的內(nèi)在聯(lián)系。又如，高中學(xué)生學(xué)習(xí)了六個(gè)“距離

18、”的概念，要弄懂它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線之間的距離、點(diǎn)到平面的距離、兩平行平面之間的距離、兩條異面直線之間的距離。這六個(gè)“距離”的共同點(diǎn)是：“距離”都是指兩點(diǎn)之間的線段之長(zhǎng)；不同點(diǎn)是：相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)的位置取法不同1。概念、原理、法則之間往往具有密切的聯(lián)系，所以，這一措施對(duì)于幫助學(xué)生理解概念、定理等是非常重要的。4.通過(guò)變式教學(xué)、正反辨析教學(xué)法揭示知識(shí)實(shí)質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性和深刻性所謂變式，就是變換同類事物的非本質(zhì)特征，突出其本質(zhì)特征，從而更確切地理解事物的本質(zhì)特征1。變式教學(xué)泛指基本概念辨析型變式，定理、公式的深化變式、變式應(yīng)用，例題、習(xí)題的一題

19、多解、一法多用、一題多變、多題歸一等。教材中的概念、法則往往指出了數(shù)學(xué)對(duì)象的某些本質(zhì)屬性，而非全部，一般學(xué)生容易停留在對(duì)這些概念、法則表面意義上的局部理解，或過(guò)多關(guān)注數(shù)學(xué)對(duì)象的非本質(zhì)屬性，未能挖掘其內(nèi)在的其他的本質(zhì)屬性，這也是阻礙數(shù)學(xué)理解的一個(gè)重要原因，這就需要教師進(jìn)行變式教學(xué)。另外，舉反例也是準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)知識(shí)的一條重要途徑。一般來(lái)講，教材敘述概念總是采用正面闡述的形式，而學(xué)生常常對(duì)一些概念的關(guān)鍵詞語(yǔ)缺乏深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)概念所要求的條件理解不全面。教育心理學(xué)家認(rèn)為：概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息。在教學(xué)過(guò)程中，我們不僅要運(yùn)用正面的實(shí)例透徹闡述知識(shí)點(diǎn)，而且

20、要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆蠢龔牧硪粋€(gè)角度讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，彌補(bǔ)正面教學(xué)的不足，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解6。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意對(duì)相關(guān)概念、原理等構(gòu)造出一些反例從正反兩方面加以比較、辨別、說(shuō)明，找到容易混淆、模糊的地方，讓學(xué)生進(jìn)行辨析、排惑，同時(shí)，注意運(yùn)用反例和特例極其鮮明的直觀特征的優(yōu)勢(shì)，引起學(xué)生注意，易于為學(xué)生所接受，這也是促進(jìn)學(xué)生理解的有效方法之一。例2學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，可舉出反例：，這不是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。例3學(xué)習(xí)“相似三角形和相似多邊形”時(shí)，教師可以舉一些特例提問(wèn)學(xué)生，如：兩個(gè)相似三角形一定是全等三角形嗎？?jī)蓚€(gè)不全等三角形一定不是相似三角形嗎？底角相等的兩個(gè)等腰三角形是

21、相似三角形嗎？?jī)蓚€(gè)正三角形一定是相似三角形嗎？任意兩個(gè)矩形一定相似嗎？所有的正方形都相似嗎？5.注重?cái)?shù)學(xué)交流在學(xué)校教育環(huán)境下，數(shù)學(xué)交流是指在一切數(shù)學(xué)活動(dòng)（包括數(shù)學(xué)課堂、課外活動(dòng)）中，學(xué)生之間、師生之間以書(shū)面或口頭方式表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解情況，并相互交換意見(jiàn)，獲得對(duì)知識(shí)較深層次的理解。增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，也是理解數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，通過(guò)交流，(1)可以充分暴露學(xué)生理解上的缺陷，知道學(xué)生哪些地方理解了，哪些地方?jīng)]理解，理解的程度如何；(2)可以使學(xué)生重新認(rèn)識(shí)、思索那些理解得不很透徹的知識(shí)，從而促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解；(3)學(xué)生在表述的過(guò)程中，有一個(gè)重新提煉、加工、概括知識(shí)

22、的過(guò)程，可以獲得對(duì)知識(shí)的更深入的理解；(4)對(duì)同一知識(shí)，每個(gè)學(xué)生都有不同角度、不同層次的理解，通過(guò)交流，可以相互取長(zhǎng)補(bǔ)短；(5)通過(guò)交流，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的理解上的問(wèn)題及原因，可以得到及時(shí)糾正；(6)通過(guò)交流，可以克服學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言障礙。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂，大部分時(shí)間是教師講，學(xué)生聽(tīng)，學(xué)生很少有機(jī)會(huì)發(fā)表自己的見(jiàn)解，即使是有機(jī)會(huì)，也只是做一些簡(jiǎn)單的回答，而教師從這些簡(jiǎn)單的回答中很難了解學(xué)生的真實(shí)理解情況，所以教師應(yīng)加強(qiáng)與學(xué)生的交流，給學(xué)生一定的機(jī)會(huì)，讓他們能夠就所學(xué)內(nèi)容發(fā)表自己的看法，同時(shí)，教師也可以從中發(fā)現(xiàn)、分析學(xué)生的理解情況，做到有的放矢。注重?cái)?shù)學(xué)交流，無(wú)論是理解數(shù)學(xué)概念，還是性質(zhì)、定理等，都是一條

23、行之有效的好方法。6.加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的自主探究、實(shí)際應(yīng)用來(lái)提高“理解”的層次數(shù)學(xué)探究，即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主探究、學(xué)習(xí)的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明8。數(shù)學(xué)探究是數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過(guò)程，理解數(shù)學(xué)直觀現(xiàn)象和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明之間的關(guān)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過(guò)程。通過(guò)數(shù)學(xué)探究課題的多樣化以及對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果的推廣和深入，不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系和類比，有助于學(xué)生了解與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的擴(kuò)展知識(shí)及內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想，促使學(xué)生認(rèn)真思考其中的一些問(wèn)題，加深對(duì)其理解。在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生總是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)原型和實(shí)際運(yùn)用發(fā)生興趣，而在現(xiàn)實(shí)生活中，有許多生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)例，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從這些實(shí)例出發(fā)，挖掘出一些數(shù)學(xué)探究課題，并引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手操作、思考、請(qǐng)教他人或者與同學(xué)一起探討，探索出一些對(duì)他們來(lái)講新的知識(shí)或規(guī)律，這樣