三視圖與體積面積計算

1、 (2009) _ 1 _ 珠海二模 一個五面體的三視圖如下： 正視圖與側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖是 直角梯形，部分邊長如圖所示，則此五面體的 體積為 例 將三視圖還原成直觀圖再進(jìn)行計算 12 232. 2 11 322. 33 ShPA VSh 由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，其 直觀圖如下圖所示 由直觀圖結(jié)合三視圖可知，此四棱錐的底面為直角 梯形，其面積，高為故體 積 解析： 4 1三視圖是新課標(biāo)新增內(nèi)容之一，是新課程高考 重點考查的內(nèi)容解答此類問題，必須熟練掌握 三視圖的概念，弄清視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正俯 之間長相等，側(cè)俯之間寬相等，正側(cè)之間高相等， 即“正俯長對正，正側(cè)高平齊，

2、側(cè)俯寬相等” 2解答此類問題，要善于將三視圖還原成空間幾 何體，再結(jié)合三視圖進(jìn)行處理 (2010) / / / / 3 ( ) 1 ABCAABB C CC CABC AABBC CAB ABCA B C 廣 東 卷 如 右 圖 ， 為 正 三 角 形 ， ，平 面， 且 ， 則 多 面 體的 正 視 圖 也 稱 主 視 圖 是 變 式 解析：答案為D 如圖，直三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2，正視 圖和俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為 ( ) . 答案：答案：C 3.若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如 圖所示，則其側(cè)面積等于（ ） A. B.2 C.2 D.6 答案：D 3 3 4.一個

3、幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何 體的體積等于( ) A.12B.4 C. D. 答案：B 2 cm 60 . 1 2 2 PABCDPBC PBPC ABCDABC 在四棱錐中，側(cè)面是等腰直角 三角形，且垂直底面，底面 是菱形， 求： 這個四棱錐的體積； 這個四棱 例 錐的全面積 求體積的關(guān)鍵是求出 底面積和高；求全面積的關(guān)鍵 是求出各個側(cè)面 切入點： 的面積 1 . 2 cm 2cm2 2cm PBCABCD PPEBCEPEABCD PBCPBPC PEBC 平面平面， 過 作于 ，則有平面 是等腰直角三角形， : ， 解 ， 析 2 3 sin60 3 2 22 24 3 cm 2

4、11 4 32 33 4 6 cm 3 ABCD PABCDABCD ABCD ABCDSBC AB VSPE 底面 底面 又底面為菱形， 底面的面積為 2 260 . . / /. 2cmsin606 cm 2 2 cm.2 2 cm 11 2 22 24 cm 22 PAD ABCDABCEBC ABC AEAEBCBCPEAEPEE BCPAEBCPA ADBCADPA PAEPEAEAC PAADBC SAD PA 底面是菱形， 為的中點， 為等邊三角形 連接，則有又， 平面， ， 在中，由， 得又， 22 2 22 . 36 . 22 314 2. 22 1114 2 27 cm 2

5、22 7 cm2 cm PAB PCDPBC EEGABGPGPGAB EGBEGBE PEGPGPEEG SAB PG SS 過 作于 ，連接，則 在中， 在中， 同理， 2 2 4 347724 3 (4 32 76) 76 m 2cm .c ABCDPADPABPCDPBC SSSSSS 全底面 四棱錐的全面積為 面積與體積的計算要注意如下兩個方面： 1目標(biāo)明確，根據(jù)相應(yīng)的面積與體積公式， 弄清已知了什么量，還需要什么量，怎樣得到 這些量 2保證計算的合理性在運用公式計算之前， 要有必要的推理與證明 111 111 4 608. ABCABC A ABA ACAA 斜三棱柱中，底面是邊長

6、為 的正 三角形，且，求它的全面 積 變式2 與體積 - 11 BCC B 利用直截面面積與側(cè)棱的積求側(cè)面積；或 用“分解法”求出各側(cè)面面積，從而得全面積運 用此法的關(guān)鍵在 切入點： 于證明側(cè)面是矩形 1 1 1 . . 90. 4 sin602 3. BDAADCD BADCAD CDABDAAACD BDCDD AABCDBCD BDCD 如圖，作于 ，連接 可證 ，即 而， 平面，即平面為直截面 易知 解析： 22 1 1(2 32 34)8 3232 3 2. 1 24324 2 2 4 2 40 332 8.32 BCD BCD Scl SSS S VSAA 側(cè)直截面 側(cè)全底 ， （

7、2）， 3R半徑為 的球有一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱的底面半徑 為何值時，它的側(cè)面積最大？最大 例 值是多少？ 選擇適當(dāng)?shù)慕孛鎴D，建立側(cè)面積的 函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)求出相應(yīng) 切入點： 的最值 . . ABCDO rhS OBOHABABH 取圓柱的一個軸截面，則為球的 一個大圓設(shè)圓柱的半徑為 ，高為 ，側(cè)面積為 連接，作交 解 于 析： 22222 2222 2 2222222222 Rt( )2. 2 2224. 161616. h OBHRrhRr SrhrRrrRr SrRrrR r 在中，有，即 2 222 2 2 222 2 162 2( 16)22 22 4() 2 2. 22 . r

8、RR rrRS RRRR R R 這是一個關(guān)于 的二次函數(shù)， 當(dāng)，即時 有最大值， 最大值為 故當(dāng)這個圓柱的底面半徑為 時，它的側(cè)面積最大， 最大值是 1有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的切接問題一般通過軸截面圖 化歸為平面問題解決 2立體幾何中的最值問題，可構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)， 用求最值的方法加以解決 2 . 1 2 aa已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為 求： 它的外接球的體積； 它的內(nèi)切球的 變式3 表面積 - SABCDSAC設(shè)正四棱錐，如圖所示 的外接圓是外接球的一個大圓，所以只要求出 這個外接圓的半徑即可而內(nèi)切球的球心到 棱錐的各個面的距離相等，所以可由正四棱錐 的體積求出內(nèi)切球 解析： 的半徑 33 1 2

9、 22 6 2 sinsin603 2 64 . 33 ROOA OCOSOSAC SAC ABBCaACaSAC ACa Ra AS RRa C aV 外接球 設(shè)外接球的半徑為 ，球心為 ，則 ，所以 為的外心， 即的外接圓半徑就是球的半徑 ，為正三角形 由正弦定理得， 因此，則 2222 2 2 2. . 7 2 22 117 222 4( 71). SBC SBC rSEE SFBCFEF a SFSBBFaa SBC SFaaa SSSa 棱錐全底 設(shè)內(nèi)切球的半徑為 作底面于 ， 作于 ，連接 則有， ， 2222 23 3 22 2 76 222 116 . 332 6 3 3426

10、 6 1271 4. 47 3 a SESFEFaa VShaaa a a V ra Sa Sr 棱錐底 球 又， ， 32 1在三視圖中，正俯和正側(cè)視圖的對應(yīng)關(guān)系比較 直觀，易于理解掌握，而難點在于側(cè)俯兩視圖的寬 相等和前后方位的理解和判斷 2對于幾何體的表面積與體積問題，要熟記各類 幾何體的表面積與體積公式，做到正確選用，準(zhǔn)確 計算 3幾何體的切接問題： (1)球的內(nèi)接長方體、正方體、正四棱柱等關(guān)鍵是 把握球的直徑即它們的體對角線 (2)柱、錐的內(nèi)切球問題，需找準(zhǔn)切點的位置，化 歸為平面幾何問題 1.(2010) 2 A 44 3 B 12 C 4 3 D 8 深圳一模 如圖，一個簡單空間

11、幾何體的三視圖中， 正視圖與側(cè)視圖都是邊長為 的正三角形，俯視圖輪廓為 正方形，則此幾何體的表面積是 21 . 2 解由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為邊長 是 的正方形，高為的正四棱錐易計算得表面積是 析： 2.(2010) A 372 B 360 C 292 D 280 安徽卷 一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的 表面積是 4 2(10 810282)2(6 882).360S 該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等于 下面長方體的全面積加上面長方體的 個側(cè)面面積之和 故 解析： 3. . 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的 表面積為 22 2 2 3 3 3 2 3 4

12、 16 4( 3 ). 3 R VR 由三視圖知該幾何體是底面為直徑是 的圓，高為 的圓錐所以該幾何體外接球的半徑為，所以 解析： 4. 44 ( ) 已知一幾何體的三視圖如下，正視圖和側(cè)視圖 都是矩形，俯視圖為正方形在該幾何體上任意 選擇 個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的 個頂點，這些幾何形體是 寫出所有正 確結(jié)論的編號 矩形； 不是矩形的平行四邊形； 有三個面為直角三角形，有一個面為等腰 三角形的四面體； 每個面都是等腰三角形的四面體； 每個面都是直角三角形的四面體 由三視圖知該幾何體是底面為正方形的長方體 顯然可能，不可能，由下圖甲、乙、丙知 解析： 都有可能 5./ / 1225.

13、 3 (). 4 1 2() 3. PACABCPMBC PAPCACBCPMAB PABC S PMABCV 如圖所示的幾何體中，平面平面， ，已知該幾何體 的側(cè)視圖 左視圖的面積為 求證：； 畫出該幾何體的正視圖 主視圖，并求其面積 ； 求出多面體的體積 222 1125 . . . ACBCAB ACBCABACBC PACABCPACABCAC BCPAC PAPACPABC 證明：， ， 平面平面，平面平面， 平面 平面， 解析： 2 .PAPCACDPDPDAC PACABCPDABC 該幾何體的正視圖如下： 因為，取的中點 ，連接，則 又平面平面，則平面， 113 1 224 3 1 2 12 1 13 42 33 . 2 ACPDPD PDPAC PDS 該幾何體的左視圖面積為， ，從而易知是邊長為 的正三角形 主視圖的面積是上、下底面邊長分別為 和 ， 為高的直角梯形的面積，所以 3.