湘教版九年級數(shù)學上冊知識點總結(jié)

1、九（上）數(shù)學知識點答案第一章 一元二次方程一元二次方程：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a0)的形式。（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a0)，其中，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項。2、分解因式法（1）分解因式的概念當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，根據(jù)ab=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；三、設(shè)每一個因式分別為0，得

2、到兩個一元二次方程；四、解這兩個一元二次方程，它們的解就是原方程的解。3、配方法（1）直接開平方法的定義利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法。（2）配方法的步驟和方法一、移項，把方程的常數(shù)項移到等號右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，把原方程化為（x+m）2=n(n0)的形式；三、直接用開平方法求出它的解。4、公式法（1）求根公式 b2-4ac0時，x=(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a0)；二、計算b2-4ac的值，當b2-4ac0時，方程有實數(shù)根，否則方程無實數(shù)根；

3、三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的兩個根。 命題與證明 二、知識要點梳理知識點一：定義要點詮釋：一般地，能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語的意義的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義知識點二：命題要點詮釋：一般地，對某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題（句子根據(jù)其作用分為判斷、陳述、疑問、祈使四個類別定義屬于陳述句，是對一個名稱或術(shù)語的意義的規(guī)定而命題屬于判斷句或陳述句，且都對一件事情作出判斷與判斷的正確與否沒有關(guān)系）知識點三：命題的結(jié)構(gòu) 要點詮釋：命題可看做由題設(shè)(或條件)和結(jié)論兩部分組成題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項知識點四：公理要點詮釋：人類經(jīng)過長期實踐后公認為正確的命題

4、，作為判斷其他命題的依據(jù)。這樣公認為正確的命題叫做公理。例如：“兩點之間線段最短”，“一條直線截兩條平行所得的同位角相等”知識點五：定理要點詮釋：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)。知識點六： 真命題與假命題要點詮釋：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，像這樣的命題叫做真命題。相反，如果題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論總是正確的，就認為結(jié)論不成立，像這樣的命題叫做假命題，凡是假命題都是錯誤的命題。知識點七：證明要點詮釋：由題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理最后推出結(jié)論（書證）正確的過程叫做證明。證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當然”，這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是

5、定義、公理，在此以前學過的定理。（證明命題的格式一般為：1）按題意畫出圖形；2）分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論；3）在“證明”中寫出推理過程）知識點八：假命題的判定要點詮釋：只需舉出反例，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論，即可判定該命題是假命題。 知識點九：反證法要點詮釋：從假設(shè)所需證的命題的結(jié)論不成立出發(fā)，結(jié)合條件推出與已知條件或正確命題相矛盾的結(jié)論，說明假設(shè)錯誤，原命題成立的證明方法三、規(guī)律方法指導(dǎo)1.數(shù)學中判定一個命題是真命題，要經(jīng)過證明要判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可2.證明的意義：在幾何中，除了公理以外，不管所論及的命題的結(jié)論是多么明

6、顯，都必須通過推理來證明3.反證法的適用范圍（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少；（2）命題的結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時；（3）命題的結(jié)論以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時 （4）命題的結(jié)論以“唯一”的形式出現(xiàn)；（5）命題的結(jié)論以“無限”的形式出現(xiàn)時；（6）關(guān)于存在性命題；（7）某些定理的逆定理。四、經(jīng)典例題透析類型一： 例、 判斷下列語句在表述形式上，哪些對事情作了判斷？哪些沒有對事情作出判斷？（1）對頂角相等； (2)畫一個角等于已知角；(3)兩直線平行，同位角相等； （），兩條直線平行嗎? (5)鳥是動物； (6)若，求的值； (7)若，則 思路點撥:通過本題熟悉命題的定義解析：句子(

7、1)(3)(5)(7) 對事情作了判斷，句子(2)(4)(6)沒有對事情作出判斷其中 (1)(3)(5)判斷是正確的，（7）判斷是錯誤的總結(jié)升華：數(shù)學課的主要研究對象是數(shù)學知識，所以今后的相關(guān)學習是研究數(shù)學命題。舉一反三：【變式1】下列語句中，哪些是命題，哪些不是命題?(1)若ab，則；(2)三角形的三條高交于一點；(3)在abc中，若abac，則cb嗎?(4)兩點之間線段最短；(5)解方程；(6)123【答案】（1）（2）（4）（6）是命題，（3）（5）不是命題類型二： 例、指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成“如果那么”的形式：(1)三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；(2)在同一個三角形中，等

8、角對等邊；(3)對頂角相等；(4)同角的余角相等；(5)三角形的內(nèi)角和等于180； (6)角平分線上的點到角的兩邊距離相等思路點撥: 找出命題的條件和結(jié)論是本題的難點，因為命題在敘述時要求通順和簡練，把命題中的有些詞或句子省略了，在改寫時注意要把省略的詞或句子添加上去解析：（1）“三條邊對應(yīng)相等”是對兩個三角形來說的，因此寫條件時最好把“兩個三角形”這句話添加上去，即命題的條件是“兩個三角形的三條邊對應(yīng)相等”，結(jié)論是“這兩個三角形全等”可以改寫成“如果兩個三角形有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等” （2）“等角對等邊含義”是指有兩個角相等所對的兩條邊相等?？梢愿膶懗伞叭绻谕粋€三角形中有

9、兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。”值得注意的是，命題中包含了一個前提條件：“在一個三角形中”，在改寫時不能遺漏（3）這個命題的條件是“兩個角是對頂角”，結(jié)論是“兩個角相等”這個命題可以改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”（4）條件是“兩個角是同一個角的余角”，結(jié)論是“這兩個角相等”這個命題可以改寫成“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”（5）條件是“三個角是一個三角形的三個內(nèi)角”，結(jié)論是“這三個角的和等于180”這個命題可以改寫如果“三個角是一個三角形的三個內(nèi)角，那么這三個角的和等于180”； (6) “如果一個點在一個角的平分線上，那么這個點到這個角的兩邊距離相等

10、?！盿oc平分線是oe，dob平分線是of，判斷oe和of是在同一條直線上c的平分線of互為反向延長線，即oe、of在同一條直線上，但13，aodbod，a、o、b不在同一條直線上，不是對頂角，填。類型三： 例、證明：“如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直”思路點撥: 總結(jié)步驟：1審題：分清命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”2譯題：結(jié)合圖形中的字母及符號，寫出已知，求證3想題：用“執(zhí)因索果”(綜合法)；用“執(zhí)果索因”(分析法)尋找論證推理的邏輯思路一般是把二者結(jié)合起來思考，效果較好，這也叫綜合分析法4證題：從已知出發(fā)，每一步過程要有根據(jù)(定義，公理或定理)最后得到結(jié)論，全面推理過

11、程要因果分明解析：已知：ab，ac，求證：bc證法(一)：ac，(已知)1=90(垂直的定義)ab，(已知)1=2，(兩直線平行，同位角相等)2=90，(等量代換)bc(垂直定義)證法(二)：ab，(已知)1=2(兩直線平行，同位角相等)ac，(已知)1=90，(垂直定義)2=90，(等量代換)bc(垂直定義) 【變式1】求證：同角的余角相等已知：2是1的余角，3是1的余角求證：2=3【答案】證明：因為2與1互為余角，3與1互為余角，(已知)所以2+1=90，3+1=90(余角定義)所以2+1=3+1(等量代換)則 2=3(等量減等量差相等)類型四：例、已知：如右圖，直線l1，l2，l3在同一

12、平面內(nèi)，且l1l2，13與11相交于點p.求證：13與l2相交 （使用反證法）思路點撥:仔細閱讀反證法的定義，掌握這種方法的規(guī)律。解析：證明：假設(shè)，13與l2不相交，即l3l2， 又l1l2（已知），過直線12外一點p有兩條直線11,13與直線12平行，這與“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾， 假設(shè)不成立，即求證的命題成立， 13與12相交【變式1】用反證法證明不是有理數(shù)【答案】證明：假設(shè)是有理數(shù)，則可表示為（，為自然數(shù)，且互質(zhì)）兩邊平方，得 2n2=m2 由知m2必是2的倍數(shù)，進而m必是2的倍數(shù)令m=2p代入式，得 n2=2p2 由知，必是2的倍數(shù)，m和n都是2的倍數(shù)，則

13、m、n不互質(zhì)，與假定m、n互質(zhì)相矛盾，不是有理數(shù)【變式2】我們年級有367名學生，請你證明這些學生中至少有兩個學生在同一天過生日【答案】設(shè)“假設(shè)任何兩個學生都不在同一天過生日”所以這367人就會有不同的367天過生日這就出現(xiàn)了與一年只有365天（閏年366天）的矛盾因此反設(shè)不成立。所以“至少有兩個學生在同一天過生日”第三章 圖形的相似直觀上， 把一個圖形放大（或縮小）得到的圖形與原圖形是相似的1、 線段的比一般地， 如果選用同一長度單位量得兩條線段， 的長度分別為， ， 那么把長度的比叫作這兩條線段與 的比， 記作/ /， 或 ，其中， 分別叫作比的前項、后項， 如果/的比值為， 那么也可寫成

14、/ ， 或 一般地， 在四條線段中， 如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段2、比例的基本性質(zhì)比例的基本性質(zhì)： 如果/， 那么 3、相似三角形的性質(zhì)和判定角對應(yīng)相等， 且三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形叫作相似三角形 如果與 相似， 且， ， 分別與， ， 對應(yīng)， 那么記作，讀作“相似于”相似三角形的對應(yīng)邊的比叫作相似比判定定理 如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例， 那么這兩個三角形相似判定定理 可以簡單說成：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似判定定理 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等， 那么這兩個三角形相似.判定定理 可以簡單說

15、成：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.相似三角形周長的比等于相似比， 相似三角形面積的比等于相似比的平方判定定理 如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例， 并且夾角相等， 那么這兩個三角形相似。判定定理 可以簡單說成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似。4、相似多邊形把對應(yīng)角相等， 并且對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫作相似多邊形相似多邊形的對應(yīng)邊的比 叫作相似比 相似多邊形周長的比等于相似比， 相似多邊形面積的比等于相似比的平方取定一點， 把圖形上任意一點 對應(yīng)到射線 （或它的反向延長線）上一點 ， 使得線段 與 的比等于常數(shù)（ ）， 點 對應(yīng)到它自身， 這種變換叫作位似變換 ，

16、 點 叫作位似中心， 常數(shù) 叫作位似比， 一個圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫作與原圖形位似的圖形從位似變換和位似的圖形的定義立即得出：兩個位似的圖形上每一對對應(yīng)點都與位似中心在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比5、相似多邊形的性質(zhì)性質(zhì) 相似多邊形的對應(yīng)邊成比例性質(zhì) 相似多邊形的對應(yīng)角相等性質(zhì) 相似多邊形周長的比等于相似比， 相似多邊形面積的比等于相似比的平方6、相似多邊形的判定對應(yīng)角相等， 對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形相似第四章、解直角三角形直角三角形的性質(zhì) acbd 1、直角三角形的兩個銳角互余幾何表示：c=90a+b=902、在直角三角形中，30角所對的直角邊等

17、于斜邊的一半。幾何表示：c=90a=30bc=ab3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半幾何表示：acb=90 d為ab的中點 cd=ab=bd=ad 4、勾股定理：5、射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的射影和斜邊的比例中項acb=90cdab 6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：abcd=acbc銳角三角函數(shù)的概念 如圖，在abc中，c=90 銳角a的正弦、余弦、正切、余切都叫做a的銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的取值范圍：0sin1，0cos1，tan0，cot0.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）平方關(guān)系（2）倒數(shù)關(guān)系tanatan

18、(90a)=1（3）弦切關(guān)系tana= cota=（4）互余關(guān)系sina=cos(90a)，cosa=sin(90a)tana=cot(90a)，cota=tan(90a)特殊角的三角函數(shù)值sincostancot30451160說明：銳角三角函數(shù)的增減性，當角度在090之間變化時.（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）（4）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?解直角三角形的概念仰角俯角北東西南hlii=h/l=tg在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊

19、和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。解直角三角形的理論依據(jù)：以上.對實際問題的處理（1）俯、仰角. （2）方位角、象限角.（3）坡角、坡度.補充：在兩個直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時，可用列方程的辦法解決。有關(guān)公式（1）=（2）rt面積公式：（3）結(jié)論：直角三角形斜邊上的高（4）測底部不可到達物體的高度，解直角三角形的知識的應(yīng)用，可以解決：(1)測量物體高度(2)有關(guān)航行問題(3)計算壩體或邊路的坡度等問題第五章、統(tǒng)計與概率一、 統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識1、統(tǒng)計調(diào)查的兩種基本形式： 普查：對調(diào)查對象的全體進行調(diào)查； 抽樣調(diào)查：對調(diào)查對象的部分進行調(diào)查； 總體：所要考察對象的全體； 個體：總體中每一個考察的對象； 樣本：從總體中所抽取的一部分個體；各 基 礎(chǔ) 統(tǒng) 計 量2、 樣本容量：樣本中個體的數(shù)目（不帶單位）； 平均數(shù)：對于n個數(shù)，我們把叫做這n個數(shù)的平均數(shù)； 中位數(shù)：幾個數(shù)據(jù)按大小順序排列時，處于最中間的一個數(shù)據(jù)（或是最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)； 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)