概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3章習(xí)題

1、第三章習(xí)題第三章習(xí)題 1. 在一個箱子中裝有在一個箱子中裝有12只開關(guān)只開關(guān),其中其中2只是次品只是次品,在其中取兩次在其中取兩次,每次每次 任取一只任取一只,考慮兩種試驗(yàn)考慮兩種試驗(yàn):(1)放回抽樣放回抽樣;(2)不放回抽樣不放回抽樣.我們定義隨機(jī)我們定義隨機(jī) 變量變量X,Y如下如下: , 1 , 0 X 若第一次取出的是正品若第一次取出的是正品, 若第一次取出的是次品若第一次取出的是次品; , 1 , 0 Y 若第二次取出的是正品若第二次取出的是正品, 若第二次取出的是次品若第二次取出的是次品. 試分別就試分別就(1),(2)兩種情況兩種情況,寫出寫出X和和Y的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律. 解

2、解 設(shè)事件設(shè)事件Ak表示表示“第第k次取出的是正次取出的是正 品品”,k=1,2. PX=0,Y=0=P(A1A2) (1)放回抽樣放回抽樣 =P(A1)P(A2) 36 25 12 10 12 10 PX=0,Y=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2) 36 5 12 2 12 10 PX=1,Y=0=P(A1A2)=P(A1)P(A2) 36 5 12 10 12 2 PX=1,Y=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2) 36 1 12 2 12 2 X 0 1 Y 1 5/36 1/36 0 25/36 5/36 PX=i 5/6 1/61 PY=j 5/6 1/6 X和和Y的聯(lián)合分

3、布律列表如下的聯(lián)合分布律列表如下 (2)不不放回抽樣放回抽樣 PX=0,Y=0=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 66 45 11 9 12 10 PX=0,Y=1=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 66 10 11 2 12 10 PX=1,Y=0=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1) 66 10 11 10 12 2 PX=1,Y=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1) 66 1 11 1 12 2 X 0 1 Y 1 10/66 1/66 0 45/66 10/66 PX=i 5/6 1/61 PY=j 5/6 1/6 (1)(2) 問第問第1題中的

4、隨機(jī)變量題中的隨機(jī)變量X和和Y是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立?(需說明理由需說明理由)13(1) X和和Y的邊緣分布如下所示的邊緣分布如下所示 解解 (1)PX=i,Y=j=PX=iPY=j對對(X,Y)所有可能取值所有可能取值 (i,j)( i ,j =0,1)都成立都成立,故故放回抽樣放回抽樣X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立. . (2)PX=1,Y=0=10/66PX=1PY=0=(1/6) (5/6)=5/36 故不故不放回抽樣放回抽樣X和和Y不不相互獨(dú)立相互獨(dú)立. . 3.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為 其其它它, 0 42 , 20),6( ),( yxyxk yxf (

5、1)確定常數(shù)確定常數(shù)k; (2)求求PX1,Y3; (3)求求PX1,5; (4)求求PX+Y 4. 解解 (1)由歸一性由歸一性 2 x 4 2 y 2 0 4 2 )6(),(1dyyxdxkdxdyyxf 2 0 2 0 4 2 2 )26() 2 6(dxxkdx y xyykkxxk8)6( 2 0 2 故故k=1/8. (2) PX1,Y3 1 0 3 2 13 )6( 8 1 ),(dyyxdxdxdyyxf 1 0 1 0 3 2 2 )2 2 7 ( 8 1 ) 2 6( 8 1 dxxdx y xyy 8 3 ) 22 7 ( 8 1 1 0 2 x x (3)PX1,5

6、5 . 1 0 4 2 5 . 1 )6( 8 1 ),(dyyxdxdxdyyxf 5 . 1 0 )26( 8 1 dxx 32 27 )6( 8 1 5 . 1 0 2 xx (4)PX+Y 4= 4: ),( yxG dxdyyxf D x+y=4 G D dxdyyx)6( 8 1 2 0 4 2 )6( 8 1x dyyxdx 2 0 2 2 0 4 2 2 ) 2 46( 8 1 ) 2 6( 8 1 dx x xdx y xyy x 3 2 ) 6 26( 8 1 2 0 3 2 x xx 4 2 4 0 8/ )6( y dxyxdy 2 x 4 2 y (1) (2) (3

7、) (4) (5) 求分布函數(shù)求分布函數(shù) yx dxdyyxfyxF),(),( 2 x 4 2 y (1)y2,- ,或或x0,- y 時時,F(x,y)=0 . (2)0 x2,2 y4時時, 2 x 4 2 y xy dyyxdxyxF 02 )6( 8 1 ),( )20122( 16 1 )102 2 6( 8 1 222 0 2 xxyxyyxxdxx y xyy x (x,y) (1) (x,y) (2) (3) x 2,2 y4時時, 2 x 4 2 y (x,y) (3) 2 02 )6( 8 1 ),( y dyyxdxyxF )1610( 8 1 )102 2 6( 8

8、1 2 2 0 2 yydxx y xyy (4)0 x2,y 4時時, 2 x 4 2 y (x,y) (4) 4 20 )6 ( 8 1 ),( x dxyxdyyxF )6 ( 8 1 2 )6( 8 1 2 4 2 2 xxdy x xy (5) x 2,y 4時時, 2 x 4 2 y (x,y)(5) 2 0 4 2 1)6( 8 1 ),(dyyxdxyxF 總之總之 4, 2, 1 20 , 4, 8/ )6( 42 , 2, 8/ )1610( 42 , 20 ,16/ )20122( , 0, 2, 0 ),( 2 2 222 yx xyxx yxyy yxxxyxyyxx

9、 yxxy yxF 或或 4. 將一枚硬幣擲將一枚硬幣擲3次次,以以X表示前表示前2次中出現(xiàn)次中出現(xiàn)H的次數(shù)的次數(shù),以以Y表示表示3次次 中出現(xiàn)中出現(xiàn)H的次數(shù)的次數(shù).求求X,Y的聯(lián)合分布律以及的聯(lián)合分布律以及( (X,Y) )的邊緣分布律的邊緣分布律. . 解解 先將試驗(yàn)的樣本空間和先將試驗(yàn)的樣本空間和X,Y的取值情況列表如下的取值情況列表如下: 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)eHHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X 2 2 1 1 1 1 0 0 Y 3 2 2 2 1 1 1 0 p 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Y 0 1 2 3 X 0 1

10、2 1 8 1 0 00 0 0 0 8 1 8 2 8 2 8 1 8 1 PX=i 4 1 4 2 4 1 8 3 PY=j 8 1 8 3 8 1 由表中可知由表中可知,X 所有可能取的所有可能取的 值為值為0,1,2, Y所有可能取所有可能取 的值為的值為0,1,2,3. X,Y的聯(lián)合分布律如右表所示的聯(lián)合分布律如右表所示. (X,Y)關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布律可用的邊緣分布律可用X= i時時 Y取所有可能取的值的概率相加而得取所有可能取的值的概率相加而得; (X,Y)關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布律可用的邊緣分布律可用Y= j時時 X取所有可能取的值的概率相加而得取所有可能取的值的概率相加而得.

11、pk 0 1 2 3Y 8 1 8 3 8 3 8 1 pk 0 1 2X 4 1 4 2 4 1 也可以單獨(dú)列表如下也可以單獨(dú)列表如下: 5. 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為 其其它它, 0 0 , 10),2(8 . 4 ),( xyxxy yxf 求邊緣概率密度求邊緣概率密度. 解解 f(x,y) 0的區(qū)域的區(qū)域G如右圖所示如右圖所示 x y x=y G 01 dyyxfxfX),()( 其其它它, 0 10),2(4 . 2)2(8 . 4 2 0 xxxdyxy x 其其它它, 0 10),43(4 . 2)2(8 . 4 21 yyyydxxy y

12、dxyxfyfY),()( 8. 將某一醫(yī)藥公司將某一醫(yī)藥公司9月份和月份和8月份收到的青霉素針劑的訂貨單數(shù)分月份收到的青霉素針劑的訂貨單數(shù)分 別記為別記為X和和Y.據(jù)以往積累的資料知據(jù)以往積累的資料知X和和Y的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 PY=j1.00 PX=i 0.18 0.15 0.35 Y 51 52 53 54 55 X 51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.01 52 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 53 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 54 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 55 0.05 0.06 0.05 0.

13、01 0.03 (1)求邊緣分布律求邊緣分布律; (2)求求8月份的訂單數(shù)為月份的訂單數(shù)為 51時時, 9月份訂單數(shù)的條件月份訂單數(shù)的條件 分布律分布律. 解解 (1)關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布律的邊緣分布律 見表右見表右, 0.12 0.20 pk 51 52 53 54 55X 0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布 律見表下律見表下,也可以單獨(dú)列表 也可以單獨(dú)列表 pk 51 52 53 54 55Y 0.28 0.28 0.22 0.09 0.13 0.280.280.220.090.13 51 51,51 5151 YP YXP YXP(2) 28

14、 6 28. 0 06. 0 51 51,53 5153 YP YXP YXP 28 5 28. 0 05. 0 X=i 51 52 53 54 55 PX=i|Y= =51 28 6 28 7 28 5 28 5 28 5 51 51,52 5152 YP YXP YXP 28 7 28. 0 07. 0 51 51,54 5154 YP YXP YXP 28 5 28. 0 05. 0 51 51,55 5155 YP YXP YXP 28 5 28. 0 05. 0 列表如下列表如下 11. 在第在第7題中題中(1)求條件概率密度求條件概率密度fX|Y(x|y),特別特別,寫出當(dāng)寫出當(dāng)Y

15、=1/2時時X的的 條件概率密度條件概率密度;(2)求條件概率密度求條件概率密度f Y|X (y|x),特別特別,分別寫出當(dāng)分別寫出當(dāng) X=1/3, X=1/2時時Y的條件概率密度的條件概率密度;(3)求條件概率求條件概率 PY 1/4|X=1/2, PY 3/4|X=1/2. 解第解第7題已求得題已求得(X,Y)的概率密度和分別關(guān)于的概率密度和分別關(guān)于X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度 其其它它, 0 1, 4 21 ),( 22 yxyx yxf 其其它它, 0 11),( 8 21 )( 62 xxx xfX 其其它它, 0 10 , 2 7 )( 25 yy yfY (1) )( )

16、,( )( yf yxf yxf Y YX 只有當(dāng)只有當(dāng)fY(y) 0,即當(dāng)即當(dāng)0y 1時才有意義時才有意義, 此時此時fX|Y(x|y) 25 2 7 ),( y yxf 其其它它, 0 , 2 3 232 yxyyx x2 y 特別特別, 當(dāng)當(dāng)Y=1/2時時, fX|Y(x|y=1/2) 其其它它, 0 2 1 2 1 ,23 2 xx (2) )( ),( )( xf yxf xyf X XY 只有當(dāng)只有當(dāng)fX(x) 0,即當(dāng)即當(dāng)-1x1時才有意義時才有意義, 此時此時f Y |X (y | x) )( 8 21 ),( 62 xx yxf 其其它它, 0 1, 1 2 2 4 yx x

17、 y 當(dāng)當(dāng)X=1/3時時, f Y |X (y|x=1/3) 其其它它, 0 1 9 1 , 40 81 yy 當(dāng)當(dāng)X=1/2時時, f Y |X (y|x=1/2) 其其它它, 0 1 4 1 , 15 32 yy (3)PY 1/4|X=1/2dyxyf XY 41 | ) 2/ 1|(1 15 16 15 32 1 41 2 1 41 yydy PY 3/4|X=1/2dyxyf XY 43 | ) 2/ 1|( 15 7 15 16 15 32 1 43 2 1 43 yydy 其其它它, 0 1, 4 21 ),( 22 yxyx yxf 其其它它, 0 11),( 8 21 )(

18、62 xxx xfX 其其它它, 0 10 , 2 7 )( 25 yy yfY 12. 13(2) 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為 其其它它, 0 10 ,| , 1 ),( xxy yxf 求條件概率密度求條件概率密度f Y|X (y|x) , fX|Y(x|y). 解解 如圖如圖,陰影部份是陰影部份是f(x,y)不為零的區(qū)域不為零的區(qū)域G x y G x=y x=-y 1 1 -1 0 先求邊緣概率密度先求邊緣概率密度 dyyxfxfX),()( 其其它它, 0 10 ,21xxdy x x dxyxfyfY),()( 其它其它, 0 01,11 10 ,11 1

19、 1 y y yydx yydx 其其它它, 0 1| |,|1yy )( ),( )( yf yxf yxf Y YX 當(dāng)當(dāng)|y|1時時 其其它它, 0 1, 1 1 1, 1 1 xy y xy y 其其它它, 0 1| , |1 1 xy y 當(dāng)當(dāng)0 x1時時 )( ),( )( xf yxf xyf X XY 其其它它, 0 | , 2 1 xy x 問第問第12題中的隨機(jī)變量題中的隨機(jī)變量X和和Y是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立?(需說明理由需說明理由) 解解),( , 0 1| , 10|),|1 (2 )()(yxf yxyx yfxf YX 其其它它 故故X和和Y不不相互獨(dú)立相互獨(dú)立.

20、 . 14.設(shè)設(shè)X和和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在在(0,1)上服從均勻分布上服從均勻分布, Y的概率密度為的概率密度為 0, 0 0, 2 1 )( 2 y ye yf y Y (1)求求X和和Y的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度; (2)設(shè)含有設(shè)含有a的二次方程為的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求試求a有實(shí)根的概率有實(shí)根的概率. 解解 (1) 其其它它, 0 10 , 1 )( x xfX 其其它它, 0 0, 10 , 2 1 )()(),( 2 yxe yfxfyxf y YX (2)方程方程a2+2Xa+Y=0中中a有實(shí)根的的條件是判別式有實(shí)根的的條件是判別式4X2

21、-4Y 0,即即X2 Y. 1 1 G 故所求概率為故所求概率為 yxD dxdyyxfYXP 2 : 2 ),( dxdye y G 2 2 1 dyedx y x 2 0 1 0 2 2 1 1 0 2 1 0 2 22 1)1 (dxedxe xx dxedy y y 2 1 0 1 2 1 =1-0.8555=0.1445 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布函數(shù)函數(shù) dtex t x 2 2 2 1 )( 8555. 0)5 . 08413. 0(2)0() 1 (2 1 0 2 2 dxe x x y y=x2 D O 1 0 2 1 0 2 2 1)1 ( 2 1 dtedyey t yt

22、y 17.設(shè)設(shè)X和和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其概率密度分別為其概率密度分別為 其其它它, 0 10 , 1 )( x xfX 其其它它, 0 0, )( ye yf y Y 求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度的概率密度. 解解 法一法一: dxxzfxfzf YXZ )()()( zx zxe xzf xz Y , 0 , )( )( o z x 1 1 x =z 當(dāng)當(dāng)0 x 1時時,fX(x) 0;當(dāng)當(dāng)xz時時,fY(z-x) 0. 總之總之,只有當(dāng)只有當(dāng)0 x 1且且xz時時,即即 在圖示陰影區(qū)域中在圖示陰影區(qū)域中,被積函數(shù)被積函數(shù) 才不為零才不為零,從而

23、從而fZ(z)才不為零才不為零. 顯然顯然, z1時時,dxezf xz Z 1 0 )( 1)( zxz eeee ) 1( 1 0 法二法二: dyyfyzfzf YXZ )()()( 其其它它, 0 1, 1 )( zyz yzfX 只有當(dāng)只有當(dāng)z-1 y z且且y0時時,即在即在 圖示陰影區(qū)域中圖示陰影區(qū)域中,被積函數(shù)才被積函數(shù)才 不為零不為零,從而從而fZ(z)才不為零才不為零. dyezf z y Z 01 )( z z y Z dyezf 11 )( 總之總之 1),1( zee z 10 ,1 ze z 0 , 其它其它 fZ(z)= oz y 1 y=z y =z- -1 2

24、3. 對某種電子裝置的輸出測量了對某種電子裝置的輸出測量了5次次,得到結(jié)果為得到結(jié)果為:X1,X2,X3,X4,X5. 設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從參數(shù)設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從參數(shù) =2的瑞利分布的瑞利分布(其密度其密度 見見20題題).(1)求求Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函數(shù)的分布函數(shù);(2)求求PZ4. 解解 由由20題參數(shù)題參數(shù) =2的瑞利分布的概率密度為的瑞利分布的概率密度為 0, 0 0, 4 )( 8 2 x xe x xf x 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 0, 0 0,1 4 )()( 88 0 22 x xedxe x dxxfxF xx x x (1)由于由于Xi(i =