高中數(shù)學論文：淺談在新課程教學中有效問題情境的創(chuàng)設

1、淺談在新課程教學中有效問題情境的創(chuàng)設摘要：隨著新課改不斷深入，在這種新形勢下，如何提高課堂教學效率，使學生打下扎實的基礎，具有非常重要的意義。從問題最自然的思路出發(fā)，把復雜問題簡單化。提高自主探究能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。關(guān)鍵詞：新課程 問題情境 簡單化1、問題的提出數(shù)學新課程標準倡導的課堂教學模式是問題情境建立模型解釋與應用，強調(diào)讓學生在現(xiàn)實情境和已有的生活、知識經(jīng)驗的基礎上學習和理解數(shù)學。問題情境包含兩層含義：首先要有問題即數(shù)學問題。數(shù)學問題是指學生與已有認知產(chǎn)生矛盾沖突，還不能理解或者不能正確解答的數(shù)學結(jié)構(gòu)，這里的問題不可能用已有知識和經(jīng)驗輕易解決，否則就不成問題了，當然，問題的障礙

2、性不能影響學生接受和產(chǎn)生興趣，學生通過探索能獲得解決方法。其次才是情境即數(shù)學知識產(chǎn)生或應用的具體環(huán)境。問題之中有情境，情境之中有問題，其核心是問題?！皢栴}是數(shù)學的心臟”，數(shù)學學習的實質(zhì)是解決數(shù)學問題，學會怎樣數(shù)學地提出問題和解決問題。每一堂課都需要一定的問題情境，借助這些情境，教師與學生之間進行思想交流和思維碰撞，從而完成高質(zhì)量的教學任務。2、有效問題情境的特征怎樣的問題情境才算有效？按照前面的論述，一個優(yōu)秀的問題情境，除了依照問題設計的規(guī)律及教育教學目的、數(shù)學學科特點，具有數(shù)學的必要因素與必要形式外，應滿足以下幾個特征：（1）可及性：跳一跳夠得到，問題的設計要符合學生一般認知規(guī)律、身心發(fā)展規(guī)

3、律，包括學生的認知經(jīng)驗、能力水平、生活經(jīng)驗及環(huán)境。（2）直觀性：能夠提供某種直觀，符合數(shù)學學科特點，使學生借助于這種直觀領(lǐng)悟數(shù)學實質(zhì)，提煉數(shù)學思想方法，靈活運用數(shù)學。（3）開放性：問題富有層次性，入手較易，開放性強，解決方案多，學生思維與創(chuàng)造的空間較大。（4）挑戰(zhàn)性：問題情境能引起學生的認知沖突和激發(fā)學習興趣，促進學生積極參與接受問題的挑戰(zhàn)。（5）體驗性：能給學生提供深刻體驗，人人有所得，包括操作，探究的機會，有助于學生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題。3、有效問題情境的案例分析案例1畫出不等式表示的平面區(qū)域。這是必修5的一個重要內(nèi)容。上課時運用幾何畫板先作出直線這樣就把直角坐標平面分成三個部分：直線、直線

4、的右上方區(qū)域、直線的左下方區(qū)域。用點工具指定一個點p，顯示p點的坐標,計算的值，用鼠標選中p點并拖動p點，則在計算機屏幕上顯示的值隨著p點位置的改變而改變，非常直觀地發(fā)現(xiàn)p點在直線上時的值都等于0，p點在直線右上方的任一位置時的值都是正的，p點在直線左下方的任一位置時的值都是負的。因此，上述提到的直角坐標平面內(nèi)的三部分分別可以用三個不同的式子表示，即直線用表示，直線右上方區(qū)域用二元一次不等式表示，直線左下方區(qū)域用二元一次不等式表示。評析：新課程實施以來，課堂教學強調(diào)構(gòu)建問題情境，借助計算機的數(shù)據(jù)處理功能，直觀還原二元一次不等式表示平面區(qū)域這個知識產(chǎn)生的過程，同時激發(fā)學生探索新知識的欲望。強調(diào)通

5、過設計問題情境讓學生體驗數(shù)學，感知數(shù)學，進而理解數(shù)學。強調(diào)“知識是自然產(chǎn)生的，是合理的”的理念。精心設計問題情境，能在最短時間內(nèi)吸引學生的注意力、激發(fā)學生的興趣，是非常重要的一個環(huán)節(jié)，是有效實施課堂教學的基礎。案例2 判斷函數(shù)的奇偶性，以及對f(-x)=-f(x)和f(-x)= f(x)的理解。這是數(shù)學必修1的重要內(nèi)容，按照書上判斷函數(shù)奇偶性的方法較抽象。在這里我們首先創(chuàng)設以下問題情境：分別求點a(x,y)關(guān)于y軸、關(guān)于原點對稱的點的坐標。由于函數(shù)奇偶性是研究函數(shù)圖象關(guān)于y軸或關(guān)于原點對稱，因此在函數(shù)f(x)的圖象上任取兩點a(x, f(x)和b(-x, f(-x),下面進行運算，若f(-x)

6、= f(x)，則b點坐標變?yōu)?-x, f(x),a、b兩點關(guān)于y軸對稱，則整個函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。若f(-x)=-f(x)，則b點坐標變?yōu)?-x, -f(x),a、b兩點關(guān)于坐標原點對稱，則整個函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。例 判斷函數(shù)的奇偶性。解：函數(shù)的定義域是。在函數(shù)圖象上任取兩點。b點坐標是。a、b兩點關(guān)于原點對稱。整個函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱。函數(shù)是奇函數(shù)。評析：通過教學實踐，以上創(chuàng)設的問題情境，能給學生提供深刻體驗，把較抽象的奇、偶函數(shù)的概念變得簡單，這個內(nèi)容是高一時學的，現(xiàn)在學到高二了，還非常清晰。圖形對稱性的本質(zhì)是構(gòu)成

7、圖形點的對稱性，抓住了點的對稱性就抓住了圖形的對稱性。另外學生對理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的前提是其定義域關(guān)于原點對稱，就水到渠成了。案例3二面角的平面角與它的兩個半平面的法向量所成的角相等或互補。問：何時相等、何時互補呢？先創(chuàng)設以下兩種問題情境（1）如圖1，分別是半平面的一個法向量。令ab、ac確定的平面交棱于o點，可證得，則是二面角的平面角。因此，。規(guī)定：半平面的法向量的方向由右上方指向左下方，則該法向量指向二面角的外部（如法向量是指向二面角的外部），反之則指向二面角的內(nèi)部；半平面的法向量的方向由上方指向下方，則該法向量指向二面角的外部（如法向量是指向二面角的外部），反之則指向二面角的內(nèi)部。對于其

8、它形狀的二面角半平面的法向量指向內(nèi)部或外部，可以依此類推得到。（2）如圖2，分別是半平面的一個法向量。由上述規(guī)定可得，是指向二面角的外部，是指向二面角的內(nèi)部。令ab、ca確定的平面交棱于o點，可證得是二面角的平面角，因此，。評析：在利用平面的法向量求二面角時，平面的法向量所成的角與二面角是相等或互補關(guān)系，因而判別它們究竟是“相等”還是“互補”就成了解題的關(guān)鍵。這里是根據(jù)新課程必修2第二章第10題而創(chuàng)設的問題情境，介紹的是一種簡單易行的辦法：平面的法向量同時指向二面角的內(nèi)部（或外部）時“互補”；平面的法向量一個指向二面角的內(nèi)部，另一個指向二面角的外部時“相等”。例1如圖3，在四棱錐pabcd中，

9、底面abcd是正方形，側(cè)棱pd底面abcd，pddc。求二面角cpbd的大小。 解：如圖建立以d點為原點的空間直角坐標系。容易求得平面cpb的一個法向量是。法向量是以坐標原點d（0,0,0）為起點，點（0,1,1）為終點的向量，它指向二面角cpbd的外部（根據(jù)這個二面角的形狀，平面cpb的法向量只要從它的左下方指向右上方，都是指向二面角外部）。同樣容易求得平面pbd的一個法向量是。法向量是以坐標原點d（0,0,0）為起點，點（1,1,0）為終點的向量，它指向二面角cpbd的外部。與二面角cpbd的大小互補。二面角cpbd的大小是。 例2如圖4在棱長為2的正方體中，ac與bd交于點e，c1b與c

10、b1交于點f。求二面角befc的大小。解：如圖建立以a點為原點的空間直角坐標系，求得平面bef的一個法向量是，它指向二面角befc的內(nèi)部（根據(jù)這個二面角的形狀，平面bef的法向量只要從它的后上方指向前下方，都是指向二面角內(nèi)部）。求得平面efc的一個法向量是，它指向二面角befc的內(nèi)部。與二面角befc的大小互補。二面角befc的大小是。案例4已知某物體做變速直線運動，設經(jīng)過t秒后的運動速度為v（t）(單位m/s),v(t)的圖象如圖中曲線所示，試求在內(nèi)物體運動的總路程。這是在教學選修22定積分中曲邊梯形面積的引入中準備創(chuàng)設的問題情境。根據(jù)物體運動的路程公式s=vt，在圖5（1）中物體的運動總路

11、程是圖中直角梯形abdc的面積。在圖5（2）中物體的運動總路程仍然是曲線cd與ac、bd、ab所圍成圖形的面積。該問題與（1）的本質(zhì)沒有變，那么如何求圖（2）中圖形的面積呢？難點是將c、d之間的曲線轉(zhuǎn)化為圖5（1）的情形。如圖6，可以過e、f兩點向x軸作垂線,則三個直角梯形的總面積就是物體運動的總路程。這種問題情境的設計滲透了分割、化歸的思想方法。在接下來處理圖5（3）的情形的時候，為了便于研究問題，不妨將問題簡化，因為該問題是求有一邊是曲線，其它邊是直線所圍成的封閉圖形面積，所以可以先探求一種簡單的情形：求直線x=1、x軸和曲線所圍成的圖形（曲邊三角形）的面積s。如何化曲線oa為直線即“化曲

12、為直”？方案1如圖7，若連接oa，用rtaob面積代替曲邊三角形oab的面積，這樣誤差太大。方案2如圖8，為了減小誤差，取ob的中點c，過c作cdab交曲線oa于d點，用代替曲邊三角形oab的面積，誤差有所減小。方案3如圖9，將曲邊三角形再分割，把ob三等分，過分點c與f作cdfeba交曲線oa于d、e，用代替曲邊三角形oab的面積，誤差進一步減小。猜想：當這種分割趨向無限時，梯形的面積和的極限就是曲邊三角形oab的面積。圖10方案4如圖10， 在區(qū)間上等間隔地插入n-1個點，將它等分成n個小區(qū)間：，記第個區(qū)間為，其長度為，分別過各分點作ba的平行線。當n很大時，很小，在區(qū)間上可以認為的值變化

13、很小，從圖上看用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊。因此，在該區(qū)間上的函數(shù)值近似地等于一個常數(shù)，不妨認為它近似地等于左端點處的函數(shù)值，就是說用矩形efgh的面積代替小曲邊梯形emgh的面積(第個曲邊梯形的面積)，即 (i=1,2,3,，n)這n個矩形的面積之和當n趨向于無窮大時，趨向于0，曲邊三角形oab的面積評析：由方案1到方案2這樣的分割越來越逼近曲邊三角形oab的面積，而且方案2比方案1的分割方法差值在減小，當分割趨于無限時矩形面積總和接近于曲邊三角形的面積，所創(chuàng)設的問題情境成階梯性呈現(xiàn)，在解決完圖（1）（2）的情形的基礎上引出圖（3）的情形，雖然所遵循的數(shù)學思想一致，但是由圖（2）到圖（3）不再是簡單的分割。另外，這里有一個難點：為什么曲邊三角形oab的面積。我們可以先創(chuàng)設以下問題情境：當n趨向無窮大時，趨向于0，即分割趨向于無限時，陰影部分幾乎能“擠”滿或說無限逼近整個曲邊三角形oab。因此，當n趨向無窮大時，的極限是曲邊三角形oab的面積，記作。 通過學生自己的操作、實驗，在化歸思想指導下，在有限分割、求和計算的基礎上，學生領(lǐng)悟了逐步逼近、逐步精確的思想，促使學生深入思考，激活