數(shù)列題庫[教育試題]

1、借鑒試題1 數(shù)學(xué)題庫數(shù)學(xué)題庫 數(shù)列篇數(shù)列篇 數(shù)列的通項求法： 1(20091(2009 湖北卷理湖北卷理) ) 已知數(shù)列 n a滿足： 1 am（m 為正整數(shù)） ， 1 , 2 31, n n n nn a a a aa 當(dāng)為偶數(shù)時， 當(dāng)為奇數(shù)時。 若 6 a 1，則 m 所有可能的取值為_。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .【答案】4 5 32 【解析】 （1）若 1 am為偶數(shù)，則 1 2 a 為偶, 故 2 23 a 224 amm a 當(dāng) 4 m 仍為偶數(shù)時， 46 832 mm aa 故132 32 m m 當(dāng) 4 m 為奇數(shù)時， 43 3 311 4 aam 6 3 1 4

2、 4 m a 故 3 1 4 1 4 m 得 m=4。 （2）若 1 am為奇數(shù)，則 21 3131aam 為偶數(shù)，故 3 31 2 m a 必為偶數(shù) 6 31 16 m a ，所以 31 16 m =1 可得 m=5 2（2010 蘇錫常三模） 數(shù)列an滿足 a11，則 a10 1 11 1 11 nn aa 答案： 17 19 3（2010 南通三模） 若數(shù)列有一個形如的通項公式，其中均為實數(shù)，且 n asin() n aAnBAB、 ，則 .（只要寫出一個通項公式即可） 00 2 A、 n a 借鑒試題2 答案答案：學(xué)4 21 3sin 332 n 4（2010 蘇北四市二模） 已知數(shù)列

3、的各項均為正數(shù)，若對于任意的正整數(shù)總有，且， n a,p q p qpq aaa 8 16a 則 . 10 a 答案答案； 32 5 5（20102010 蘇北四市一模）蘇北四市一模） 在數(shù)列中，已知，當(dāng)時，是的個位數(shù)， n a 12 2,3aa2n 1n a 1nn aa 則 4； 2010 a 6（2010 常州一模） 已知等比數(shù)列的公比，若，則 n a0q 2234 3,21aaaa 345 aaa . 7（2009 陜西卷文） 已知數(shù)列滿足， . n a * 1 12 12, 2 nn n aa aaanN 2 令，證明：是等比數(shù)列； 1nnn baa n b ()求的通項公式。 n

4、a 8（2008 江西卷 5） 在數(shù)列中， ，則 n a 1 2a 1 1 ln(1) nn aa n n a 9 9（四川卷（四川卷 1616） 設(shè)數(shù)列中，則通項 _。 n a 11 2,1 nn aaan n a 1 1 2 n n 1010 以數(shù)列的任意相鄰兩項為坐標(biāo)的點均在一次函數(shù) n a)(,( 1 NnaaP nnn 的圖象上，數(shù)列滿足條件：，)0( ,2kkxy n b 1 () nnn baa nN 求證：數(shù)列是等比數(shù)列； n b 設(shè)數(shù)列、的前項和分別為、，若，求的值 n a n bn n S n T 46 TS 9 5 Sk 借鑒試題3 11 .設(shè)為等比數(shù)列，已知，。 n a

5、 nnn aaannaT 121 2) 1(1 1 T4 2 T （）求數(shù)列的首項和通項公式； （）求數(shù)列的通項公式。 n a n T 1212 設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足 21 123 ( ) n n f xaa xa xa x 1 (0) 2 f n a ，則數(shù)列的通項等于 2* (1)() n fn a nN n a n a 1 (1)n n 13 數(shù)列的前項和為。 n an * 11 ,1,2() nnn SaaSnN （1）求數(shù)列的通項； n a n a （2）求數(shù)列的前項和。 n nan n T 1414 若數(shù)列的通項公式為，的最大值為第 x 項，最小項 n a)( 5 2 4 5 2 5

6、122 Nna nn n n a 為第 y 項，則 x+y 等于 數(shù)列的前 n 項和求法： 公式法 1（2010 南京二模） 等比數(shù)列 n a的公比q0，已知 111 16 nmm aaaa ，則 n a的前四項和是 2.(2009(2009 陜西卷理陜西卷理) ) 設(shè)曲線 1* () n yxnN 在點（1，1）處的切線與 x 軸的交點的橫坐標(biāo)為 n x,令lg nn ax， 則 1299 aaa的值為 . 答案：答案：-2 3（2009 陜西卷文） 設(shè)曲線 1* () n yxnN 在點（1，1）處的切線與 x 軸的交點的橫坐標(biāo)為 n x,則 12n xxx的值為 借鑒試題4 1 1n 4

7、對正數(shù) n，設(shè)曲線在 x=2 處的切線與 y 軸交點的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列(1) n yxx n a 的前 n 項和的公式是=_ 1 n a n n S 5當(dāng)1，表示把“四舍五入”到個位的近似值，如x g xx 當(dāng)為正整數(shù)時，集合 g 0.48 =0,g2 =1,g 2.76 =3,g 4 =4,n 中所有元素之和為，則 . n 1 M|, 2k gkn kN n S 5 S 周期法 的值為則連乘積滿足已知數(shù)列 20102009321 * 11 ),( 1 1 , 24.aaaaaNn a a aaa n n nn 2（2010 蘇北四市三模） 在數(shù)列中，若對任意的均有為定值（） ，且 n an

8、12nnn aaa n N ，則此數(shù)列的前 100 項的和.299 7998 2,3,4aaa n a 100 S 分組求和分組求和 1 1已知數(shù)列 n x的首項 1 3x ，通項2n n xpnq（, ,nNp q 為常數(shù)） ，且 145 ,x xx成等差數(shù)列，求： （）, p q的值； （）數(shù)列 n x的前n項的和 n S的公 式。 a a 與與 s s 的關(guān)系的關(guān)系 nn 已知數(shù)列的前 n 項和分別為, nn ba 則數(shù)列的),(C402B5A, * 10001000 NnbaAbBaBA nnnnnnnn n ，記，且 n c 前 1000 項的和為 2010 拆項法拆項法 .已知二次

9、函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前( )yf x ( ) 62fxx n a n 項和為，點均在函數(shù)的圖像上。 ()求數(shù)列的通項公 n S( ,)() n n SnN ( )yf x n a 式； 借鑒試題5 ()設(shè),是數(shù)列的前 n 項和，求使得對所有都成立的最 1nn n aa 3 b n T n b 20 n m T nN 小正整數(shù) m； 數(shù)列的單調(diào)性問題數(shù)列的單調(diào)性問題 1 1（20102010 泰州一模）泰州一模） 通項公式為的數(shù)列，若滿足，且對 2 n aann n a 12345 aaaaa 1nn aa 恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_8n a 11 (,) 917 2（2

10、0102010 蘇北四市一模）蘇北四市一模） 已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前項和 n a n Sn （1）若，成等差數(shù)列，證明，也成等差數(shù)列； 4 S 10 S 7 S 1 a 7 a 4 a （2）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)的取 3 3 2 S 6 21 16 S 2 nn ban n b 值范圍 解：設(shè)數(shù)列的公比為， n aq 因為，成等差數(shù)列，所以，且 4 S 10 S 7 S1q 7410 2SSS 所以， q qa q qa q qa 1 1 1 1 1 12 7 1 4 1 10 1 因為，所以 4分0q 63 21qq 所以，即 36 111 2aa qa q 147 2aaa

11、 所以也成等差數(shù)列 6 分 174 ,a a a （2）因為， 3 3 2 S 6 21 16 S 所以， 2 3 1 1 3 1 q qa ， 16 21 1 1 6 1 q qa 由，得，所以，代入，得 3 7 1 8 q 2 1 q2 1 a 借鑒試題6 所以， 8 分 1 2 1 2 n n a 又因為，所以， 2 nab nn 2 1 2 1 2nb n n 由題意可知對任意，數(shù)列單調(diào)遞減， * nN n b 所以，即， nn bb 1 2 1 2 1 2n n 2 1 2 1 2n n 即對任意恒成立， 10 分 1 621 2 n n * nN 當(dāng)是奇數(shù)時，當(dāng)，取得最大值n (2

12、1)2 6 n n 1n 時 (21)2 6 n n ， 所以； 12 分1 當(dāng)是偶數(shù)時， ，當(dāng)，取得最小值，n (21)2 6 n n 2n 時 (21)2 6 n n10 3 所以 3 10 綜上可知，即實數(shù)的取值范圍是14 分 10 1 3 10 ( 1,) 3 新型數(shù)列的研究 1（2010 蘇北四市二模） 設(shè)為數(shù)列的前項和，若（）是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù) n S n an 2n n S S * nN 列” （1）若數(shù)列是首項為 2，公比為 4 的等比數(shù)列，試判斷數(shù)列是否為“和等比數(shù) 2 n b n b 列” ； （2）若數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，且數(shù)列是“和等比數(shù)列”

13、n c 1 c(0)d d n c ， 試探究與之間的等量關(guān)系d 1 c 解：因為數(shù)列是首項為 2，公比為 4 的等比數(shù)列，所以， 2 n b121 22 42 n nnb 因此分21 n bn 借鑒試題7 設(shè)數(shù)列的前項和為，則，所以， n bn n T 2 n Tn 2 2 4 n Tn 2 4 n n T T 因此數(shù)列為“和等比數(shù)列” 6 分 n b (2) 設(shè)數(shù)列的前項和為，且， n cn n R 2 (0) n n R k k R 因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以， n c 1 (1) 2 n n n Rncd 21 2 (21) 2 2 n nn Rncd 所以對于都成立， 1 2 1 2

14、(21) 2 2 (1) 2 n n nn ncd R k n n R ncd * nN 化簡得，10 分 1 (4)(2)(2)0kdnkcd 則，因為，所以， 1 (4)0, (2)(2)0 kd kcd 0d 1 4,2kdc 因此與之間的等量關(guān)系為14 分d 1 c 1 2dc 2（北京 2009 高考） 設(shè)數(shù)列的通項公式為。數(shù)列定義如下：對于正整數(shù) n a(,0) n apnq nNP n b m，是使得不等式成立的所有 n 中的最小值。 m b n am （）若，求； 11 , 23 pq 3 b （）若，求數(shù)列的前 2m 項和公式；2,1pq m b （）是否存在 p 和 q，使

15、得？如果存在，求 p 和 q 的取值范圍；如32() m bmmN 果不存在，請說明理由。 【解析解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題. （）由題意，得 11 23 n an，解 11 3 23 n，得 20 3 n . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11 3 23 n成立的所有n中的最小整數(shù)為 7，即 3 7b . （）由題意，得21 n an， 對于正整數(shù)，由 n am，得 1 2 m n . 根據(jù) m b的定義可知 借鑒試題8 當(dāng)21mk時， * m bk kN；當(dāng)2mk時， * 1

16、 m bkkN. 1221321242mmm bbbbbbbbb 1232341mm 2 13 2 22 m mm m mm . （）假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式pnqm及0p 得 mq n p . 32() m bmmN ,根據(jù) m b的定義可知，對于任意的正整數(shù)m 都有 3132 mq mm p ，即231pqpmpq 對任意的正整數(shù)m都成立. 當(dāng)310p （或310p ）時，得 31 pq m p （或 2 31 pq m p ） ， 這與上述結(jié)論矛盾！ 當(dāng)310p ，即 1 3 p 時，得 21 0 33 qq ，解得 21 33 q . 存在p和q，使得32() m bmmN ；

17、 p和q的取值范圍分別是 1 3 p ， 21 33 q 3 3 設(shè)集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列的集合：； n a 2 1 2 nn n aa a M是與n無關(guān)的常數(shù) * ., n aMnN其中 (1)若是等差數(shù)列，是其前n項的和，=4，=18，試探究與集合W之間 n a n S 3 a 3 S n S 的關(guān)系； (2)設(shè)數(shù)的通項為，求M的取值范圍；(4 分) n b52 , n nn bnbW且 4 定義：在數(shù)列an中，若 an2an12p， （n2，nN*，p 為常數(shù)） ，則稱an為“等方差 借鑒試題9 數(shù)列” 下列是對“等方差數(shù)列”的有關(guān)判斷： 若an是“等方差數(shù)列” ，則數(shù)列an

18、2是等差數(shù)列； (1)n是“等方差數(shù)列” ； 若an是“等方差數(shù)列” ，則數(shù)列akn（kN*，k 為常數(shù)）也是“等方差數(shù)列” ； 若an既是“等方差數(shù)列” ，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)數(shù)列 其中判斷正確的序號是 5.5.（20092009 北京理）北京理） 已知數(shù)集 1212 ,1,2 nn Aa aaaaa n具有性質(zhì)P；對任意的 ,1i jijn ， ij a a與 j i a a 兩數(shù)中至少有一個屬于A. （）分別判斷數(shù)集1,3,4與1,2,3,6是否具有性質(zhì)P，并說明理由； （）證明： 1 1a ，且 12 111 12 n n n aaa a aaa ； （）證明：當(dāng)5n 時， 1

19、2345 ,a a a a a成等比數(shù)列. 【解析解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題. （）由于3 4與 4 3 均不屬于數(shù)集1,3,4，該數(shù)集不具有性質(zhì) P. 由于 6 6 1 2 3 6 1 2,1 3,1 6,2 3, , 2 3 1 2 3 6 都屬于數(shù)集1,2,3,6， 該數(shù)集具有性質(zhì) P. （） 12 , n Aa aa具有性質(zhì) P， nn a a與 n n a a 中至少有一個屬于 A， 由于 12 1 n aaa， nnn a aa，故 nn a aA. w.w.w.k.s.5

20、.u.c.o.m 從而1 n n a A a ， 1 1a . 12 1 n aaa， knn a aa，故2,3, kn a aA kn. 由 A 具有性質(zhì) P 可知1,2,3, n k a A kn a . 又 121 nnnn nn aaaa aaaa ， 借鑒試題10 21 121 1, nnnn nn nn aaaa aaa aaaa ， 從而 121 121 nnnn nn nn aaaa aaaa aaaa ， 12 111 12 n n n aaa a aaa . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，當(dāng)5n 時，有 55 23 43 , aa aa aa ，即

21、 2 5243 aa aa， 125 1aaa， 34245 a aa aa， 34 a aA， 由 A 具有性質(zhì) P 可知 4 3 a A a 2 243 a aa，得 34 23 aa A aa ，且 3 2 2 1 a a a ， 34 2 32 aa a aa ， 5342 2 4321 aaaa a aaaa ，即 12345 ,a a a a a是首項為 1，公比為 2 a成等比數(shù) 列.k.s.5. . 等差數(shù)列等差數(shù)列 等差數(shù)列及性質(zhì)等差數(shù)列及性質(zhì) 1 1 設(shè)記不超過的最大整數(shù)為,令=-，則 ，,Rxxxxxx 2 15 2 15 2 15 A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等

22、比數(shù)列但不是等差數(shù)列 C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 2（2008 廣東卷 4） 記等差數(shù)列的前項和為，若，則該數(shù)列的公差（ B ）n n S 24 4,20SSd A、2 B、3 C、6 D、7 借鑒試題11 3（2009 遼寧高考） 已知為等差數(shù)列，且-2=-1, =0,則公差 d= n a 7 a 4 a 3 a 4（2009 福建卷理） 等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S，且 3 S =6， 1 a=4， 則公差 d 等于 2 5 5（20092009 遼寧卷文）遼寧卷文） 已知 n a為等差數(shù)列，且 7 a2 4 a1, 3 a0,則公差 d d

23、 1 2 6 已知等差數(shù)列中，求的值 n a1,16 497 aaa 12 a 7（2008 海南卷 13） 已知an為等差數(shù)列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，則 a5 = _15 8（2009 湖南卷文） 設(shè) n S是等差數(shù)列 n a的前 n 項和，已知 2 3a ， 6 11a ，則 7 S等于 9 9（20102010 南通三模）南通三模） 已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則數(shù)列的最小項是第 項. n a 5 6 1 a a n a 1010（20092009 全國卷全國卷理）理） 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S，若 53 5aa則 9 5 S S 9 . 解解： n a為等差

24、數(shù)列， 95 53 9 9 5 Sa Sa 1111（20092009 安徽高考）安徽高考） 已知為等差數(shù)列，則等于 1212（20102010 揚州一模）揚州一模） 借鑒試題12 等差數(shù)列中，若, ， n a 12 4aa 910 36aa 則 . 10 S100 1313（20092009 全國高考）全國高考） 設(shè)等差數(shù)列的前項和為。若，則_. n an n S 9 72S 249 aaa 1414 .在等差數(shù)列中，則 . n a 2 2,16 610a axx 是方程的兩根， 5691213 aaaaa 15 知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則_ n a 1713 4aaa 212 tan()aa

25、 1616（20082008 陜西卷陜西卷 4 4） 已知是等差數(shù)列，則該數(shù)列前 10 項和等于（ n a 12 4aa 78 28aa 10 S B ） A64B100C110D120 1717已知，數(shù)列的前 n 項和為，則使的 n 的最小值是 *3 211 n an n N n a n S0 n S 1818（2008 北京卷 7） 已知等差數(shù)列中，若，則數(shù)列的前 5 項和等 n a 2 6a 5 15a 2nn ba n b 于 1919（20082008 安徽卷安徽卷 1515） 在數(shù)列在中，,其中為常 n a 5 4 2 n an 2 12n aaaanbn * nN, a b 數(shù)，

26、則 1ab 等差數(shù)列先證后求的問題等差數(shù)列先證后求的問題 可化成的等差數(shù)列 1數(shù)列的通項公式是,其前項和為,則數(shù)列的前 11 項和為 . n a1 2 n an n n s n Sn 借鑒試題13 2 等差數(shù)列中，是其前 n 項和，則的值為 n a n S 1 2008a 20072005 2 20072005 SS 2008 S _ 3 3（20092009 江西高考）江西高考）2009 江西卷理）數(shù)列 n a的通項 222 (cossin) 33 n nn an ，其前n項和為 n S，則 30 S為 A470 B490 C495 D510 答案：A 【解析】由于 22 cossin 33

27、 nn 以 3 為周期,故 222222 222 30 12452829 (3 )(6 )(30 ) 222 S 22 1010 2 11 (32)(31)59 10 11 (3 ) 925470 222 kk kk kk 故選 A 4 4（20092009 江西高考）江西高考） 1 數(shù)列 n a 的通項 222 (cossin) 33 n nn an ，其前 n 項和為 n S . (1) 求 n S ; (2) 3 , 4 n n n S b n 求數(shù)列 n b 的前 n 項和 n T . 解: (1) 由于 22 2 cossincos 333 nnn ,故 312345632313 2

28、22222 222 ()()() 1245(32)(31) (3 )(6 )(3 ) ) 222 kkkk Saaaaaaaaa kk k 1331185(94) 2222 kkk , 3133 (49 ) , 2 kkk kk SSa 2 323131 (49 )(31)1321 , 22236 kkk kkkk SSak 借鑒試題14 故 1 ,32 36 (1)(1 3 ) ,31 6 (34) ,3 6 n n nk nn Snk nn nk ( * kN) (2) 3 94 , 42 4 n n nn Sn b n 2 1 132294 , 2 444 n n n T 1 12294

29、 413, 244 n n n T 兩式相減得 12321 99 1999419419 44 313138, 1 24442422 1 4 n n nnnnn nnn T 故 2321 813 . 33 22 n nn n T 分組求和分組求和 1 1已知數(shù)列 n x的首項 1 3x ，通項2n n xpnq（, ,nNp q 為常數(shù)） ，且 145 ,x xx成等差數(shù)列，求： （）, p q的值； （）數(shù)列 n x的前n項的和 n S的公 式。 拆項法求和拆項法求和 1 1 已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點（h，k） ，數(shù)列（）的 x axf)(0a1a n a0 n a 首項為 k，且前 n 項和滿足（） ， n S 11 nnnn SSSS2n （1）求數(shù)列的通項公式； n a （2）數(shù)列的前 n 項和為，問滿足的最小正整數(shù) n 是多少？ 1 1 nna a n T