向量張量 應(yīng)力部不變量

1、 內(nèi)容提要 n張量運(yùn)算的基本法則張量運(yùn)算的基本法則 n應(yīng)力分析應(yīng)力分析 n應(yīng)變分析應(yīng)變分析 向量的表示方法 n字母表示法字母表示法 n坐標(biāo)表示法坐標(biāo)表示法 n矩陣表示法矩陣表示法 向量的數(shù)乘 向量的和與差 向量的點(diǎn)積 向量的叉積 向量的夾角 3個(gè)向量的混合積 字母標(biāo)記法 需要注意的是: 自由標(biāo)號(hào) Kronneker Delta 相關(guān)運(yùn)算 置換符號(hào) 相關(guān)運(yùn)算 空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 向量，一階張量 二階張量 張量相等 張量加減與數(shù)乘 n張量的加減為各個(gè)分量逐個(gè)加減運(yùn)算張量的加減為各個(gè)分量逐個(gè)加減運(yùn)算 n張量的數(shù)乘為張量的各個(gè)分量分別乘以張量的數(shù)乘為張量的各個(gè)分量分別乘以 張量的并乘與張量的外積 張量的縮并

2、與張量的點(diǎn)積 一點(diǎn)應(yīng)力的表示方法 x y z xy yx yz zy zx xz 主應(yīng)力 1 1 2 3 1 2 3 2 3 應(yīng)力張量的不變量 圖圖3.1 應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量的分解 z zy xz yx zy xz yx z x y m m m x z y ij mij ij s zm xm ym 應(yīng)力偏張量 應(yīng)力球張量 應(yīng)力偏量不變量 222 2122331 1 22 33 1 31 2 3 1 6 J s ss ss s Js s s 八面體正應(yīng)力與剪應(yīng)力 3 2 1 2 1 2 2 33 octmoct I J a b 3 1 2 N N P J2的相關(guān)代表力 應(yīng)力不變量之間的關(guān)系

3、應(yīng)力狀態(tài)和不變量的幾何解釋 1 2 1 33 3 235 octm octm I J 應(yīng)力狀態(tài)和不變量的幾何解釋 1231 22 23 cos 22 3 s JJ 應(yīng)力不變量之間的關(guān)系 12 0.5 10 20 10 20 10 20 2 2 1 2 c Kuu fc K c122 1t 1t2t 1 3.65 (01) 1 1 0.8(0) , c c t c tt f f f ff 雙向受壓 一拉一張 雙向受拉 212 22 12 1 0.2 0.21. 1 1.2 0 1.2 cccc cccc LiuNilsonSl f te f a 雙向受壓 時(shí)， 時(shí) ， 2 1 1 cbc 10

4、1 1 2 10 3 1 2 1 0 3 2 cc ct ct cbc JI ab ff aff bff aff bff 三軸應(yīng)力下的混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則三軸應(yīng)力下的混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則 t f 2fcc3f2ftt f2f3ft ff ff f c 11 1 1 ( ) (=0，= =)(=0，= 在混凝土的破壞包絡(luò)曲面上有一些?；炷恋膯屋S 抗壓強(qiáng)度( ，有減摩措施的試驗(yàn)所得)和抗拉強(qiáng)度各有三個(gè)點(diǎn)， 分別位于三個(gè)坐標(biāo)軸的負(fù)、正方向?；炷恋亩S等壓 和等拉強(qiáng)度位于坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)坐標(biāo) 軸的等分線上，三個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)各有一個(gè)點(diǎn)；而混凝土的三軸等拉強(qiáng) 度只有一 ) (=點(diǎn)落在靜 特征強(qiáng)度 ) 點(diǎn) 水壓力軸的

5、f2f3f f2f3f (7 1( )b 1 1 正方向。對(duì)于任意 應(yīng)力比的三軸受壓、受拉或拉/壓應(yīng)力狀態(tài)，考慮 混凝土的各向同性，可由坐標(biāo)或者主應(yīng)力值的輪換 ，在應(yīng)力空間中各畫(huà)出六個(gè)點(diǎn)，位于同一偏平面上，且?jiàn)A角 值相 等 圖 () (，) 。 3 12 123 tcc (0 0)(0fff 破壞包絡(luò)曲面的三維立體圖既不便繪制，又不適用于理解 和應(yīng)用，常改用拉壓子午面(圖7.1c)和偏平面上的平面圖形來(lái) 表示。拉壓子午面為靜水壓立軸與一主應(yīng)力軸(如圖中的軸) 組成的平面，同時(shí)通過(guò)另兩個(gè)主應(yīng)力軸()的等分線。此 平面與破壞包絡(luò)面的交線，分別稱(chēng)為。 拉子午線的應(yīng)力條件為，線上 拉、壓子 的特征強(qiáng)度

6、點(diǎn)有 單軸受拉和 午線 和 ， ， -二等壓，-軸 cc 123 ctttt ttttttttt ) 0 (0 0)(0)0 () fff fff rr tc ，偏平面上的夾角為 ；壓子午線的應(yīng)力條件則為，線上有單軸受壓 和二軸等拉，偏平面上的 = ， ，-，夾角。拉壓子 午線與靜水壓立軸同交于一點(diǎn)，即三軸等拉。拉、 壓子午線至靜水壓立軸的垂直距 ， 離 = 即為偏應(yīng)力 和 ， ， 。 混凝土破壞包絡(luò)面的特征 (1) (2) (3) (4) (5) r r r r tc tc 曲面連續(xù)、光滑、外凸； 對(duì)靜水壓立軸三折對(duì)稱(chēng)； 在靜水壓立軸的拉端封頂，定點(diǎn)為三軸等拉應(yīng)力狀態(tài)；壓端 開(kāi)口，不與靜水壓

7、立軸相交； 子午線上各點(diǎn)的偏應(yīng)力或八面體剪應(yīng)力值，隨靜水壓力的代 數(shù)值的減小而單調(diào)增大，但斜率漸減，有極限值； 偏平面上的封閉曲線三折對(duì)稱(chēng)，其形狀隨凈水壓力或正應(yīng)力 值的減小，由近似三角形逐漸外凸飽滿(mǎn)，過(guò)渡為一 ( / =0.5) ( /圓=1)。 (a) 平面 (b)柱面屈服面 圖2.9 屈服面和屈服軌跡 1octm 2octm 1231 22 1 33 3 235 23 cos 2 32 3 I J s JJ 混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則模型 1t 1221t ,2 3cos30 f f I JJIf 11 2 1 22m 33 cos 22 cos 333 2 cos 3 S JI S S 13 22

8、 1 2 ,sin30 ,sin320 K f JJK fK 2 22 0f JJK tanc 2 1212 1 ,sinsincossincos0 3333 J f I JIJc 1212 ,0f I JaIJK 2 octoctoct ccc abc fff 0.724 octoct cc 0.875 octoct cc 0.9940.5560 0.6630.550 ff ff 圖圖7.3 各破壞準(zhǔn)則的拉壓子午線各破壞準(zhǔn)則的拉壓子午線 圖圖7.4 各破壞準(zhǔn)則的偏平面包絡(luò)線各破壞準(zhǔn)則的偏平面包絡(luò)線 圖圖7.5 各破壞準(zhǔn)則的二軸包絡(luò)線各破壞準(zhǔn)則的二軸包絡(luò)線 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、計(jì)算等級(jí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、計(jì)算等級(jí)

9、 選擇模型形式選擇模型形式 材料特點(diǎn)、構(gòu)件特點(diǎn)選材料特點(diǎn)、構(gòu)件特點(diǎn)選 擇試驗(yàn)點(diǎn)并加權(quán)擇試驗(yàn)點(diǎn)并加權(quán) 自動(dòng)確定模型參數(shù)自動(dòng)確定模型參數(shù) 1、2、3、4 5參數(shù)模型 混凝土三軸試 驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù) 本構(gòu)關(guān)系 混凝土在多軸應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系，當(dāng)然更要復(fù)雜得 多。三個(gè)方向主應(yīng)力的共同作用，使各方向的正應(yīng)變和橫向 變形效應(yīng)相互約束和牽制，影響內(nèi)部微裂縫的出現(xiàn)和發(fā)展程 度。而且，混凝土多軸抗壓強(qiáng)度的成倍增長(zhǎng)和多軸拉壓強(qiáng) 度的降低，擴(kuò)大了混凝土的應(yīng)力范圍，改變了各部分變形成 分的比例，出現(xiàn)了不同的破壞過(guò)程和形態(tài)。這些都使得混凝 土多 軸變形的變化范圍大，形式復(fù)雜。另一方面，混凝土多 軸試驗(yàn)方法的不統(tǒng)一和應(yīng)變量測(cè)技

10、術(shù)的困難，又加大了變量 測(cè)數(shù)據(jù)的離散度，給研究本構(gòu)關(guān)系造成更大困難。 混凝土多軸本構(gòu)關(guān)系大體有混凝土多軸本構(gòu)關(guān)系大體有4類(lèi)：類(lèi)： 1.線彈性模型線彈性模型， 2.非線彈性模型非線彈性模型， 3.塑性理論模型塑性理論模型， 4.其它力學(xué)理論類(lèi)模型其它力學(xué)理論類(lèi)模型。 其中，1、3 類(lèi)模型是將成熟的力學(xué)體系(即彈性力學(xué)和塑件理論等) 的觀點(diǎn)和方法作為基礎(chǔ)，移植至混凝土；4類(lèi)模型則是借鑒些新興的 力學(xué)分支，如粘性彈(塑)性理論、內(nèi)時(shí)理論、斷裂力學(xué)、損傷力學(xué)等的 概念相方法，結(jié)合混凝土的材料特點(diǎn)推導(dǎo)而得；2類(lèi)模型主要依據(jù)混凝 土多軸試驗(yàn)的數(shù)據(jù)和規(guī)律，進(jìn)行總結(jié)回歸分析后得到。 各類(lèi)本構(gòu)模型的理論基礎(chǔ)、觀

11、點(diǎn)和方法迥異， 表達(dá)形式多樣，簡(jiǎn)繁相差懸殊，適用范圍和計(jì)算 結(jié)果的差別大。很難確認(rèn)一個(gè)通用的混凝土本構(gòu) 模型，只能根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)、應(yīng)用范圍和精度要 求等加以適當(dāng)選擇。 至今，實(shí)際工程中應(yīng)用最廣泛的還是源自試 驗(yàn)、計(jì)算精度有保證、形式簡(jiǎn)明和使用方便的非 線彈性類(lèi)本構(gòu)模型。 1. 線彈性模型 這是最簡(jiǎn)單、最基本的材料本構(gòu)模型。材料 變形(應(yīng)變)在加載和卸載時(shí)都沿一直線變化，完 全卸載后無(wú)殘余變形。應(yīng)力和應(yīng)變有確定的唯一 關(guān)系其比值即為材料的彈性常數(shù)，稱(chēng)彈性模量。 當(dāng)混凝土的應(yīng)力水平較低，內(nèi)部微裂縫和裂縫和塑性變形未有 較大發(fā)展時(shí)； 預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)或受約束結(jié)構(gòu)的外裂之前； 體形復(fù)雜結(jié)構(gòu)的初步或近似計(jì)算時(shí)

12、； 有結(jié)構(gòu)選用不同的本構(gòu)模型,對(duì)其計(jì)算結(jié)果不敏感時(shí)等等。 所以，線彈性本構(gòu)模型在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用仍 有相當(dāng)大的余地 特別是因?yàn)榘凑站€彈性分析的應(yīng)力分布進(jìn)行 適當(dāng)配筋后，一般結(jié)構(gòu)能保證必要的，甚至稍高的承載力安全 度，有些設(shè)計(jì)規(guī)范中允許采用這類(lèi)本構(gòu)模型。 空間應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 彈性本構(gòu)矩陣Ev形式 彈性本構(gòu)矩陣KG形式 （1）各向異性本構(gòu)模型：）各向異性本構(gòu)模型： 這一本構(gòu)模型中剛度矩陣不對(duì)稱(chēng)，共需36個(gè) 材料彈性常數(shù)。 （2）正交異性本構(gòu)模型：）正交異性本構(gòu)模型： （3）各向同性本構(gòu)模型：）各向同性本構(gòu)模型： 1111 2222 3333 1212 2323 3131 1 1 1 1 2

13、 1 vv EEE vv EEE v v EE G E G v 1111 2222 3333 1212 2323 3131 1 10 1 1 2 000 2 11 2 1 2 00 2 1 2 00 2 E 2. 非線彈性模型 彈性模量彈性模量 混凝土三維本構(gòu)模型的核心 各種本構(gòu)模型的本質(zhì)差別 非線性彈性模型的基本思路 非線性彈性模型的分類(lèi) 全量模型 Codolin模型 Ottosen模型 非線性指標(biāo)(Nonlinear Index) 二維非線性指標(biāo) 三維非線性指標(biāo)：Ottosen法 三維非線性指標(biāo)： 法 2 J 三維非線性指標(biāo)：比例增大法 等效一維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 割線模量計(jì)算式 22 0000

14、 0 2 2 00c00cc 121 1111 11 2222 c s c scs s f E ADAD Ef EEE EEEEEEEED 三維混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 12 28.2 12 13.9 12 6.9 12 3.81 MP（） 峰值和應(yīng)變都要增大峰值和應(yīng)變都要增大 取值f E 1.75 0.180.00150.038 oct fc c EE f 2 0 0 1 141 3 c f cc f E E JE Ef 割線泊松比計(jì)算 0 2 a ff0 a a a 1 1 s s vv vvvv 果 如果 - 如 本構(gòu)矩陣計(jì)算步驟 0 1 )cos( 1 2 2 2 ccc f I d f J

15、 cb f J a 例題 求主應(yīng)力 1 222 21122223311331223312 222 3112233122331112322313312 2 3 3 1 2 3 24 66 12248 3 224221 215.292 22 4 5.292 3 4 cos331.03 m T I s JS SS SS SSSSJ JS S SS S SS SS SS S J r J r 2 1 cos cos 31.03 3.466 22 cos5.288 cos 31.0312087.905 333 12.630 cos 31.03120 2 cos 3 JI 求非線性指標(biāo) 2 2 1 2 22

16、 2 2 2 0.11.28561.426810.22513.2128 1.28561.4268 10.2251cos3.212810 0.0032140.50944.85540 9.018 5.292 0.587 9.018 t c f f ccc ff f f f abcd f JJ I fff JJ J J J 得到Es和vs 增量模型 0 2 0 00 2 0 0 2 2 0 00 12 1 12 t c t c d E d E E E Saen E E E E z sModel Darwin模型 0 2 0 12 iu iuiu cicic E E E 122122 ic 32 ic

17、 1 3.65 1 2 1.62.250.35 cccc ic cicp c icicic cicp ccc f f f f fff 如果 如果 本構(gòu)矩陣 112 11 21222 2 1212 1212 44 21 cc 0 1 0 1 1 002 4 Biaxial compression0.2 Others0.20.60.4 Ev E E dd dv E EEd V dd EEvE E v v ff 圖圖8.14 Ottosen本構(gòu)模型本構(gòu)模型 (a)單軸受壓?jiǎn)屋S受壓 關(guān)系關(guān)系 (b)多軸多軸 關(guān)系關(guān)系 (c)泊松比泊松比 2 2 22 00c 0 1 12 21 11 22 11 22 cc c cc cccc cc sccs s AD f AD ADAD E EEE EEEE EE 又 代入上式，整理后可得即時(shí)割線模量計(jì)算式為 2 2 0fc EED （1- ）-1 多軸應(yīng)力峰值彈性模量 12 28.2 12 13.9 12 6.9 12 3.81 MP（） 1.75 0.180.00150.038 () Ottosen oc f t c oc fc tc c f EE f f E EE 1 式中：混凝土破壞時(shí)的割線模量； 混凝土初始彈性的模量； 應(yīng)力矢量與軸在 平面上投影之角 相似角； 八面體正應(yīng)力； 混凝土單軸抗壓強(qiáng) （2.81） 。 ?。?度 建