數(shù)列的差分與高階等差數(shù)列講解

1、2007年12月中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)1 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù) 數(shù)列的差分與高階等差數(shù)列 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)2 2007年12月 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 課程框架 數(shù)學(xué)1數(shù)學(xué)5數(shù)學(xué)4數(shù)學(xué)3數(shù)學(xué)2 必修 模塊 選修1-1 選修1-2 選修 系列 選修2-1 選修2-2 選修2-3 選修3- 5 選修3- 2 選修3- 3 選修3- 4 選修3- 1 選修3- 6 選修4- 1 選修4- 2 選修4- 3 選修4- 4 4-10 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)3 2007年12月 數(shù)列與差分 隨著信息技術(shù)的日益普及和發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用 越來(lái)越廣泛。差分和差分方程是描述離散變量變 化的重要工具，在理論上是十分重要的，并且有

2、廣泛的應(yīng)用。 本專題初步研究數(shù)列的差分和簡(jiǎn)單的差分方程，使 學(xué)生掌握一些用離散變量分析解決問(wèn)題的方法。 內(nèi)容與要求 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)4 2007年12月 中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué) 中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮： n兩漢時(shí)期 n魏晉南北朝時(shí)期 n宋元時(shí)期 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)5 2007年12月 最早研究高階等差數(shù)列 并創(chuàng)造“逐差法中國(guó) 早在北宋時(shí)期，數(shù)學(xué)家沈括就創(chuàng)立了與高階等差數(shù)列 有關(guān)的“隙積術(shù)”； 南宋末期數(shù)學(xué)家楊輝亦研究了高階等差數(shù)列，并提出了 “垛積術(shù)”； 到了元朝，優(yōu)秀的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家郭守敬在以他為 主編著的授時(shí)歷中，就用高階等差數(shù)方面的知識(shí)， 來(lái)解決天文計(jì)算中的高次招差問(wèn)題。 朱世杰則

3、在其所著的四元玉鑒一書(shū)中，把中國(guó)宋、元數(shù)學(xué)家 在高階等差級(jí)數(shù)求和方面的工作更向前推進(jìn)了一步，對(duì)這一類問(wèn)題 得出了一系列重要的求和公式，其中最突出的是他創(chuàng)造了“招差法” （即“逐差法”），在世界數(shù)學(xué)史上第一次包括有四次差的招差公式。 在歐洲，首先對(duì)招差術(shù)加以說(shuō)明的是格列高里（1670），在牛頓的 著作中（16761684）方才出現(xiàn)了招差術(shù)的普遍公式，朱世杰比 他們約早了四百年。 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)6 2007年12月 1.數(shù)列的差分 定義 對(duì)于數(shù)列 ，稱 為 的一階差數(shù)列。 并稱 為 的一階差分（簡(jiǎn)稱差 分）； 的一階差分 叫做的二階 差分；一般地，設(shè)m是任一正整數(shù)，則稱 為 的m階差分。 k a

4、 kk aa 1 k a ), 2 , 1( 1 kaaa kkk k a k a , 2 , 1 2 kaa kk , 2 , 1 1 kaa k m k m k a 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)7 2007年12月 1.數(shù)列的差分 課堂練習(xí) 求下列數(shù)列的差分 數(shù)列 1，1，1，1，1，1， 一階差分：0，0，0，0，0， 數(shù)列 1，2，3，4，5，6， 一階差分：1，1，1，1，1， 二階差分： 0，0，0，0， 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)8 2007年12月 1.數(shù)列的差分 課堂練習(xí) 數(shù)列： 即 1，4，9，16，25，36， 一階差分：3，5，7，9，11， 二階差分： 2，2，2，2， 三階差分： 0，0

5、，0， ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 222222 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)9 2007年12月 1.數(shù)列的差分 課堂練習(xí) 數(shù)列： 即 1，2，4，8，16，32， 一階差分：1，2，4，8，16， 二階差分： 1，2，4，8， 三階差分： 1，2，4 ,2 ,2 ,2 ,2 , 2 , 1 5432 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)10 2007年12月 1.數(shù)列的差分 定理 對(duì)于數(shù)列 ， ，有 ，這里 為常數(shù) 或 k a k b k m k m aa 1 kkkk baba, kkkkkk abbaba 1 kkkkkk abbaba 1 n k kknn n k kk abbababa 1 11111 1

6、 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)11 2007年12月 1.數(shù)列的差分 證明：、直接應(yīng)用差分定義即可； 由，有 于是 kkkkkk abbaba 1 n k kknn n k kknnnn n k kk n k kk n k kk abbaba abbabababababa abbaba 1 11111 1 11122331122 1 1 11 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)12 2007年12月 1.數(shù)列的差分 例 題 例1 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 解法一 等比數(shù)列的求和公式： ) 1( 1 qaq k n S q qa q qa S nn n 1 )1 ( 1 )1 ( 1 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)13 2007年12月 1.數(shù)

7、列的差分 例 題 解法二 1 1 11 1 11 1 11 1 1 1 q qa a q q q a q q aq q aaq n n k kn n k k n k k 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)14 2007年12月 1.數(shù)列的差分 例 題 解法三 因?yàn)?所以 11 1 kk q q a aq 1 1 1 11 1 11 11 1 1 1 q qa q aq q a q q aq q a aq n n k kn n k k n k k 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)15 2007年12月 1.數(shù)列的差分 例 題 例2 求和 解法一 n k kkk 1 )2)(1( 1 1 11 ) 1( 1 nnnn ) 1( 1 )2)(1( 1 2 1 )2)(1( 1 kkkkkkk )2)(1(4 )3( 21 1 )2)(1( 1 2 1 ) 1( 1 )2)(1( 1 43 1 54 1 32 1 43 1 21 1 32 1 2 1 )2)(1( 1 1 nn nn nn nnnnkkk n k 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)16 2007年12月 1.數(shù)列的差分 例 題 解法二 見(jiàn)課本P143 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代數(shù)17 2007年12月 1.數(shù)列的差分 例 題 解法三 見(jiàn)課本P144 中學(xué)數(shù)學(xué)研究代