數(shù)列的差分與高階等差數(shù)列講解

1、2007年12月中學數(shù)學研究代數(shù)1 中學數(shù)學研究代數(shù) 數(shù)列的差分與高階等差數(shù)列 中學數(shù)學研究代數(shù)2 2007年12月 普通高中數(shù)學課程標準 課程框架 數(shù)學1數(shù)學5數(shù)學4數(shù)學3數(shù)學2 必修 模塊 選修1-1 選修1-2 選修 系列 選修2-1 選修2-2 選修2-3 選修3- 5 選修3- 2 選修3- 3 選修3- 4 選修3- 1 選修3- 6 選修4- 1 選修4- 2 選修4- 3 選修4- 4 4-10 中學數(shù)學研究代數(shù)3 2007年12月 數(shù)列與差分 隨著信息技術的日益普及和發(fā)展，離散數(shù)學的應用 越來越廣泛。差分和差分方程是描述離散變量變 化的重要工具，在理論上是十分重要的，并且有

2、廣泛的應用。 本專題初步研究數(shù)列的差分和簡單的差分方程，使 學生掌握一些用離散變量分析解決問題的方法。 內(nèi)容與要求 中學數(shù)學研究代數(shù)4 2007年12月 中世紀的中國數(shù)學 中世紀的中國數(shù)學經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮： n兩漢時期 n魏晉南北朝時期 n宋元時期 中學數(shù)學研究代數(shù)5 2007年12月 最早研究高階等差數(shù)列 并創(chuàng)造“逐差法中國 早在北宋時期，數(shù)學家沈括就創(chuàng)立了與高階等差數(shù)列 有關的“隙積術”； 南宋末期數(shù)學家楊輝亦研究了高階等差數(shù)列，并提出了 “垛積術”； 到了元朝，優(yōu)秀的天文學家和數(shù)學家郭守敬在以他為 主編著的授時歷中，就用高階等差數(shù)方面的知識， 來解決天文計算中的高次招差問題。 朱世杰則

3、在其所著的四元玉鑒一書中，把中國宋、元數(shù)學家 在高階等差級數(shù)求和方面的工作更向前推進了一步，對這一類問題 得出了一系列重要的求和公式，其中最突出的是他創(chuàng)造了“招差法” （即“逐差法”），在世界數(shù)學史上第一次包括有四次差的招差公式。 在歐洲，首先對招差術加以說明的是格列高里（1670），在牛頓的 著作中（16761684）方才出現(xiàn)了招差術的普遍公式，朱世杰比 他們約早了四百年。 中學數(shù)學研究代數(shù)6 2007年12月 1.數(shù)列的差分 定義 對于數(shù)列 ，稱 為 的一階差數(shù)列。 并稱 為 的一階差分（簡稱差 分）； 的一階差分 叫做的二階 差分；一般地，設m是任一正整數(shù)，則稱 為 的m階差分。 k a

4、 kk aa 1 k a ), 2 , 1( 1 kaaa kkk k a k a , 2 , 1 2 kaa kk , 2 , 1 1 kaa k m k m k a 中學數(shù)學研究代數(shù)7 2007年12月 1.數(shù)列的差分 課堂練習 求下列數(shù)列的差分 數(shù)列 1，1，1，1，1，1， 一階差分：0，0，0，0，0， 數(shù)列 1，2，3，4，5，6， 一階差分：1，1，1，1，1， 二階差分： 0，0，0，0， 中學數(shù)學研究代數(shù)8 2007年12月 1.數(shù)列的差分 課堂練習 數(shù)列： 即 1，4，9，16，25，36， 一階差分：3，5，7，9，11， 二階差分： 2，2，2，2， 三階差分： 0，0

5、，0， ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 222222 中學數(shù)學研究代數(shù)9 2007年12月 1.數(shù)列的差分 課堂練習 數(shù)列： 即 1，2，4，8，16，32， 一階差分：1，2，4，8，16， 二階差分： 1，2，4，8， 三階差分： 1，2，4 ,2 ,2 ,2 ,2 , 2 , 1 5432 中學數(shù)學研究代數(shù)10 2007年12月 1.數(shù)列的差分 定理 對于數(shù)列 ， ，有 ，這里 為常數(shù) 或 k a k b k m k m aa 1 kkkk baba, kkkkkk abbaba 1 kkkkkk abbaba 1 n k kknn n k kk abbababa 1 11111 1

6、 中學數(shù)學研究代數(shù)11 2007年12月 1.數(shù)列的差分 證明：、直接應用差分定義即可； 由，有 于是 kkkkkk abbaba 1 n k kknn n k kknnnn n k kk n k kk n k kk abbaba abbabababababa abbaba 1 11111 1 11122331122 1 1 11 中學數(shù)學研究代數(shù)12 2007年12月 1.數(shù)列的差分 例 題 例1 求數(shù)列 的前n項和 解法一 等比數(shù)列的求和公式： ) 1( 1 qaq k n S q qa q qa S nn n 1 )1 ( 1 )1 ( 1 中學數(shù)學研究代數(shù)13 2007年12月 1.數(shù)

7、列的差分 例 題 解法二 1 1 11 1 11 1 11 1 1 1 q qa a q q q a q q aq q aaq n n k kn n k k n k k 中學數(shù)學研究代數(shù)14 2007年12月 1.數(shù)列的差分 例 題 解法三 因為 所以 11 1 kk q q a aq 1 1 1 11 1 11 11 1 1 1 q qa q aq q a q q aq q a aq n n k kn n k k n k k 中學數(shù)學研究代數(shù)15 2007年12月 1.數(shù)列的差分 例 題 例2 求和 解法一 n k kkk 1 )2)(1( 1 1 11 ) 1( 1 nnnn ) 1( 1 )2)(1( 1 2 1 )2)(1( 1 kkkkkkk )2)(1(4 )3( 21 1 )2)(1( 1 2 1 ) 1( 1 )2)(1( 1 43 1 54 1 32 1 43 1 21 1 32 1 2 1 )2)(1( 1 1 nn nn nn nnnnkkk n k 中學數(shù)學研究代數(shù)16 2007年12月 1.數(shù)列的差分 例 題 解法二 見課本P143 中學數(shù)學研究代數(shù)17 2007年12月 1.數(shù)列的差分 例 題 解法三 見課本P144 中學數(shù)學研究代