高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例（含2017高考試題）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例1、 填空題1。(2017全國(guó)乙卷理科t16)如圖，圓形紙片的圓心為o，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形abc的中心為o.d，e,f為圓o上的點(diǎn)，dbc，eca,fab分別是以bc,ca,ab為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后,分別以bc,ca，ab為折痕折起dbc，eca，fab，使得d，e，f重合，得到三棱錐.當(dāng)abc的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為。【命題意圖】對(duì)于三棱錐最值問題，肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決,本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量,利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高

2、次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決,當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)方式進(jìn)行解決.【解析】連接ob，連接od，交bc于點(diǎn)g,由題意得，odbc，og=bc，設(shè)og=x,則bc=2x，dg=5-x，三棱錐的高h(yuǎn)=，sabc=2x3x=3x2,則v=sabch=x2=，令f=25x4-10x5，x,f=100x3-50x4，令f0，即x42x30,x2,則ff=80,則v=4所以體積最大值為4cm3.答案:4cm32。（2017天津高考文科t10)已知ar，設(shè)函數(shù)f(x）=ax-lnx的圖象在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線為l，則l在y軸上的截距為?！久}意圖】考查用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的方法.【解析】f（

3、1）=a，切點(diǎn)為(1,a)，f(x）=a-,則切線的斜率為f(1)=a-1，切線方程為y-a=(a1)(x1），令x=0得出y=1,l在y軸的截距為1.答案：12、 解答題3.（2017全國(guó)乙卷理科t21）已知函數(shù)f(x）=ae2x+（a2)ex-x。（1)討論f(x）的單調(diào)性.（2)若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查含有參數(shù)問題的函數(shù)單調(diào)性問題及利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?）由于f=ae2x+exx,故f=2ae2x+ex1=， a0時(shí)，aex10。從而f0恒成立.f在r上單調(diào)遞減。 a0時(shí),令f=0,從而aex1=0，得x=lna.x(-,ln

4、a)- lna(lna，+）f-0+f單調(diào)減極小值單調(diào)增綜上,當(dāng)a0時(shí)，f（x）在r上單調(diào)遞減;當(dāng)a0時(shí)，f（x）在(,lna)上單調(diào)遞減，在（lna，+)上單調(diào)遞增。(2）由（1）知，當(dāng)a0時(shí)，f在r上單調(diào)減,故f在r上至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件.當(dāng)a0時(shí),f(x）min=f（lna）=1-+lna.令g=1-+lna,則g=+0。從而g在上單調(diào)增，而g=0.故當(dāng)0a1時(shí)，g0。若a1，則f（x)min=1+lna=g0,故f0恒成立，從而f無(wú)零點(diǎn)，不滿足條件.若a=1，則f(x)min=1+lna=0，故f=0僅有一個(gè)實(shí)根x=-lna=0，不滿足條件。若0a1,則f（x）min=1+lna0

5、。故f在上有一個(gè)實(shí)根,而又ln=lna.且f=ln=-ln=ln0。故f在上有一個(gè)實(shí)根.又f在上單調(diào)減,在單調(diào)增，故f在r上至多兩個(gè)實(shí)根.又f在及上均至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根,故f在r上恰有兩個(gè)實(shí)根。綜上,a的取值范圍為.4.(2017全國(guó)乙卷文科t21)已知函數(shù)f(x）=ex（ex-a)-a2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性.（2)若f(x）0，求a的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性及利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問題,主要考查考生解決問題的綜合能力?！窘馕觥?1)函數(shù)f(x）的定義域?yàn)椋?+），f(x)=2e2xaexa2=（2ex+a）（exa),若a=0，則f（x）=

6、e2x，在（，+）單調(diào)遞增.若a0,則由f（x)=0得x=lna.當(dāng)x（-，lna）時(shí)，f(x)0;當(dāng)x(lna，+)時(shí)，f（x）0，所以f（x)在（-，lna)單調(diào)遞減,在(lna，+）單調(diào)遞增。若a0。若a0，則由(1）得,當(dāng)x=lna時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f（lna）=a2lna.從而當(dāng)且僅當(dāng)a2lna0，即0a1時(shí)，f(x)0。若a0,則由（1）得,當(dāng)x=ln時(shí)，f（x)取得最小值，最小值為f=a2。從而當(dāng)且僅當(dāng)a20，即0a-2時(shí)f（x)0。綜上，a的取值范圍為。5。(2017全國(guó)甲卷理科t21）（12分）已知函數(shù)f（x）=ax2ax-xlnx,且f(x）0。（1）求a。(

7、2）證明：f（x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2f（x0)2-2?！久}意圖】導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和最值中的應(yīng)用,函數(shù)的極值，意在考查學(xué)生的推理論證能力和分類討論的思想方法?！窘馕觥浚?)f（x)的定義域?yàn)?0,+），設(shè)g(x）=ax-alnx,則f(x)=xg(x）,f(x）0等價(jià)于g（x)0，因?yàn)間(1)=0，g（x)0，故g(1）=0,而g(x）=a，g(1）=a-1,得a=1。若a=1，則g（x)=1-.當(dāng)0x1時(shí),g（x）0,g（x）單調(diào)遞增.所以x=1是g（x)的極小值點(diǎn),故g（x）g（1)=0.綜上，a=1。（2)由（1）知f(x)=x2-x-xlnx,f(x)=2x-2-l

8、nx，設(shè)h(x）=2x2lnx，h（x）=2-，當(dāng)x時(shí),h（x）0;當(dāng)x時(shí)，h(x）0，所以h(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。又h(e-2)0,h0，h(1）=0,所以h（x）在上有唯一零點(diǎn)x0,在上有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)x(0,x0）時(shí),h(x）0；當(dāng)x(x0，1）時(shí),h(x)0,當(dāng)x(1,+）時(shí),h(x）0。因?yàn)閒（x）=h（x)，所以x=x0是f（x)的唯一極大值點(diǎn),由f（x0）=0得lnx0=2(x01）,故f（x0）=x0(1-x0),由x0得f(x0)f（e-1)=e-2，所以e2f(x0)0；當(dāng)x(1+,+）時(shí),f(x）0;所以f（x）在(,-1）,(1+，+)上單調(diào)遞減;在(1,

9、-1+)上單調(diào)遞增.(2）令g（x)=f（x)-ax-1=（1-x2）ex（ax+1),令x=0，可得g(0）=0，g(x)=（1x22x）exa,令h(x）=(1x2-2x）ex-a，h（x）=-(x2+4x+1)ex，當(dāng)x0時(shí),h(x）0,h（x)單調(diào)遞減，故h（x)h(0）=1-a,即g（x)1a,要使f（x）-ax-10在x0時(shí)恒成立,需要1-a0，即a1，此時(shí)g（x)g(0）=0,故a1，綜上所述,a的取值范圍是1，+)7.(2017天津高考理科t20）設(shè)az，已知定義在r上的函數(shù)f（x）=2x4+3x3-3x26x+a在區(qū)間(1，2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)x0,g（x）為f(x)的導(dǎo)函數(shù).（

10、1)求g（x)的單調(diào)區(qū)間。(2)設(shè)m1，x0)（x0,2，函數(shù)h(x)=g（x)(mx0)-f（m),求證:h(m）h(x0）0.(3）求證:存在大于0的常數(shù)a,使得對(duì)于任意的正整數(shù)p,q,且1,x0)(x0，2,滿足.【命題意圖】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及以函數(shù)為背景利用導(dǎo)數(shù)證明某些不等式，主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.考查綜合應(yīng)用能力及運(yùn)算能力.【解析】（1）由f（x)=2x4+3x33x2-6x+a,可得g(x)=f（x)=8x3+9x2-6x6，進(jìn)而可得g(x）=24x2+18x-6.令g（x）=0，解得x=1,或x=.當(dāng)x變化時(shí)，g(x），g（x)的變化情況如下表:x(,-1）g

11、(x)+g（x)所以,g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-,-1), ,單調(diào)遞減區(qū)間是。（2)由h（x)=g（x）(m-x0）-f(m）,得h（m)=g(m)（m-x0)f(m)，h（x0)=g（x0)（m-x0）f（m）。令函數(shù)h1(x）=g（x)（x-x0)-f(x），則h1（x）=g（x)（xx0）。由(1）知,當(dāng)x1，2時(shí)，g（x）0，故當(dāng)x1,x0)時(shí),h1(x)0,h1（x）單調(diào)遞增。因此,當(dāng)x1，x0）（x0,2時(shí),h1(x）h1（x0)=f(x0）=0，可得h1（m）0,即h(m）0.令函數(shù)h2（x）=g(x0）(xx0)f(x)，則h2(x)=g（x0）g(x)。由(1）知，g（x)

12、在1,2上單調(diào)遞增，故當(dāng)x1，x0)時(shí)，h2(x）0，h2(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(x0，2時(shí)，h2（x）0，h2(x）單調(diào)遞減.因此,當(dāng)x1,x0)(x0,2時(shí)，h2（x)h2（x0）=0,可得h2（m）0，即h(x0）0。所以,h(m）h（x0）0.(3）對(duì)于任意的正整數(shù)p,q，且1,x0)（x0，2,令m=，函數(shù)h(x）=g（x）（m-x0)f(m）。由(2）知，當(dāng)m1，x0)時(shí),h(x）在區(qū)間(m,x0）內(nèi)有零點(diǎn)；當(dāng)m(x0，2時(shí)，h(x）在區(qū)間（x0,m)內(nèi)有零點(diǎn).所以h（x)在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),不妨設(shè)為x1，則h（x1)=g(x1)f=0.由(1）知g（x）在1,2上單調(diào)遞增

13、，故0g(1）0,可得f（x）1。又因?yàn)閒（x0)=1,f(x0)=0,故x0為f(x）的極大值點(diǎn),由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|1,故a+10恒成立,此時(shí)h(x)在（,0）上單調(diào)遞減,在（0,+)上單調(diào)遞增；0a1時(shí)，令exa=0得x=lna1時(shí)，令exa=0得x=lna0,此時(shí)h（x)在（,0）上單調(diào)遞增,在(0，lna）上單調(diào)遞減，在(lna，+)上單調(diào)遞增.綜上,a0時(shí),有極小值h（0）=-12a；0a1時(shí)，有極大值h(lna)=acos（lna）-asin（lna)+2alna-2aaln2a，極小值h(0）=12a；a=1時(shí)，無(wú)極值點(diǎn);a1時(shí),有極小值h（lna）=aco

14、s(lna)asin（lna）+2alna2a-aln2a,極大值h(0)=12a。10.（2017山東高考文科t20）已知函數(shù)f（x)=x3-ax2，ar，（1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x）在點(diǎn)(3,f（3）)處的切線方程；（2)設(shè)函數(shù)g（x）=f(x）+(xa）cosx-sinx，討論g（x）的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值,有極值時(shí)求出極值?！久}意圖】本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值問題,意在考查考生運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力?！窘馕觥?1）由題意f（x）=x2-ax,所以當(dāng)a=2時(shí)，f(3)=0,f（x)=x22x，所以f(3）=3,因此曲線y=f（x)

15、在點(diǎn)（3,f(3)）處的切線方程是y=3(x-3)，即3xy9=0。(2）因?yàn)間(x）=f（x）+（xa)cosx-sinx，所以g(x)=f(x)+cosx（xa)sinx-cosx=x(xa）-（x-a）sinx=（xa）（x-sinx),令h（x）=xsinx,則h(x)=1cosx0,所以h（x）在r上單調(diào)遞增，因?yàn)閔(0)=0,所以當(dāng)x0時(shí)，h(x）0;當(dāng)x0時(shí),h(x）0.當(dāng)a0時(shí)，g（x）=(xa）(xsinx）,當(dāng)x（,a)時(shí),xa0，g（x）0,g（x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(0,+）時(shí),xa0,g（x)0，g（x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=a時(shí)g(x）取到極大值,極大值是g（a)=a3s

16、ina,當(dāng)x=0時(shí)g（x）取到極小值，極小值是g(0）=a.當(dāng)a=0時(shí),g（x)=x(xsinx)，當(dāng)x(，+)時(shí),g(x)0，所以g(x）在（,+)上單調(diào)遞增，g（x）無(wú)極大值也無(wú)極小值.當(dāng)a0時(shí),g(x)=(xa）(x-sinx)，當(dāng)x(,0)時(shí)，x-a0，br）有極值，且導(dǎo)函數(shù)f(x）的極值點(diǎn)是f（x）的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)(1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.(2）證明：b23a。（3）若f(x）,f（x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-，求a的取值范圍。【命題意圖】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值及零點(diǎn)，并與不等式巧妙結(jié)合，考查函數(shù)的綜合應(yīng)用問題.【解析

17、】(1)由f（x）=x3+ax2+bx+1，得f(x）=3x2+2ax+b=3+b.當(dāng)x=時(shí)，f(x)有極小值b。因?yàn)閒(x）的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn).所以f=+-+1=0，又a0,故b=+。因?yàn)閒(x)有極值,故f（x）=0有實(shí)根,從而b-=（27a3）0，即a3。a=3時(shí)，f(x)0（x-1），故f(x）在r上是增函數(shù),f（x）沒有極值；a3時(shí)，f(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根x1=，x2=.列表如下x(-，x1)x1(x1，x2)x2(x2，+)f（x)+0-0+f（x)增極大值減極小值增故f（x）的極值點(diǎn)是x1，x2。從而a3,因此b=+,定義域?yàn)?3，+）.(2）由（1)知,=+.設(shè)g（

18、t)=+，則g(t）=-=.當(dāng)t時(shí),g（t)0，從而g(t）在上單調(diào)遞增，因?yàn)閍3,所以a3，故g(a)g（3）=,即。因此b23a。(3)由（1)知，f（x)的極值點(diǎn)是x1，x2，且x1+x2=-a,+=.從而f（x1）+f（x2）=+a+bx1+1+a+bx2+1=（3+2ax1+b)+（3+2ax2+b）+a（+)+b(x1+x2）+2=-+2=0，記f（x），f（x）所有極值之和為h（a),因?yàn)閒（x)的極值為b=a2+，所以h(a）=-a2+,a3.因?yàn)閔（a）=a-0,于是h（a）在（3，+）上單調(diào)遞減。因?yàn)閔（6）=，于是h(a）h（6），故a6。因此a的取值范圍為(3,6.【反思總結(jié)】涉及函數(shù)的零點(diǎn)問題、方程解的個(gè)數(shù)問題、函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況,歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.12.（2017浙