機械動力學(xué)——簡諧慣性力激勵

1、單自由度系統(tǒng)受迫振動 姓名: 何江波 學(xué)院: 機械工程學(xué)院 郵箱： 2021-7-2 簡諧力激勵的受迫振動 響應(yīng)分析 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 簡諧慣性力激勵的受迫振動 2 簡諧慣性力激勵的受迫振動 3 背景：地基振動，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動 簡諧慣性力激勵的受迫振動 4 特點：激振慣性力的幅值與頻 率的平方成正比例 ( )sin f xtDt 111 () f m xxcxkx 設(shè)質(zhì)量塊相對基座位移為x1，而基座位移為正弦函數(shù) ： m 1 x c 1 kx xf k c 1 x m x 0 D：基座位移振幅 2 111 sin f mxcxkxmxmDt 質(zhì)量塊受到彈簧力和阻尼力作用，分為： 11 ,

2、 kc FkxFcx 質(zhì)量塊的運動平衡方程為： 質(zhì)量塊的運動平衡方程為： 簡諧慣性力激勵的受迫振動 5 0 2 FmD 0sin mx cx kxFt 令： 則動力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為： 02 00 2sin F xxxt m 變換動力學(xué)方程可以得到： 0 k m 2 c km 固有頻率：相對阻尼系數(shù)： 非齊次微分方程通解 齊次微分方程通解(齊次解) 非齊次微分方程特解 2 00 20 xxx 齊次解 （齊次微分方程） t x(t) 2 . 0 1 4 . 1 簡諧慣性力激勵的受迫振動 6 02 00 2sin F xxxt m 振動微分方程： 設(shè)特解為帶有初始相位的正弦函數(shù): 22 ( )sin()

3、x tAt 式中，A2 和? 分別為振動幅度和相位，它們是待定常數(shù) 將特解公式帶入振動微分方程可以得到: 022 2002 sin() 2cos()sin F AtAtt m 為了便于比較，將上式右端也表示為兩個三角函數(shù): 0000 sinsincossinsincos FFFF tttt mmmm 簡諧慣性力激勵的受迫振動 7 帶人方程(1)中，可以得到： 0022 2002 cossin()2sincos() 0 FF AtAt mm 022 20 0 02 cos0 2sin0 F A m F A m 0 2 22 22 00 01 22 0 2 2 tan F A m 簡諧慣性力激勵的

4、受迫振動 8 0 2 22 22 00 01 22 0 2 2 tan F A m 2 0 FmD 2 2 22 22 00 01 22 0 2 2 tan mD A m 1 2 2 2 ,tan 1 s AD s 2 22 2 12 s ss 放大因子： 頻率比：s=/0 簡諧慣性力激勵的受迫振動 9 0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 ( ) s s 1 0 01 90 180 s ( ) s 幅頻曲線 相頻曲線 2 22 2 12 s ss 1 2 2 2 ,tan 1 s AD s s=/0 簡諧慣性力激勵的受迫振動 10 系統(tǒng)固有頻率從左到右： 000 1.6,1.0

5、,0.63 支撐運動： ( )sin f xtDt 1.001 D D 1 2 22 2 1 2 ( )sin() 12 2 tan 1 x tDt s ss s s 簡諧慣性力激勵的受迫振動 11 1 22 sin()sin() cos1sin()sincos() sin f DtDt DtD x t Dt xx ( )sin f xtDt 已知質(zhì)量塊相對基座位移為x1， 而基座位移為 xf： 1( ) sin()x tDt 則質(zhì)量塊的絕對位移為： 2 222 222 1 cos (1)(2) 2 sin (1)(2) s ss s ss 2 22 2 1 2 12 2 tan 1 s ss

6、 s s 絕對位移的放大因子為： 2 22 2 2 12 12 s ss 簡諧慣性力激勵的受迫振動 12 幅頻曲線 01 0 1 0 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 )( 2 s s 2 可看出： 當 時， 2s 1 2 振幅恒為支撐運動振幅D 當 時， 2s 1 2 振幅恒小于D 增加阻尼反而使振幅增大 2 22 2 2 12 12 s ss 簡諧慣性力激勵的受迫振動 13 例： 汽車的拖車在波形道路上行駛。 已 知 拖 車 的 質(zhì) 量 滿 載 時 為 m1=1000 kg，空載時為 m2=250 kg。 懸掛彈簧的剛度為 k =350 kN/m; 阻尼比在滿載時為1=0.5。

7、車速為 v =100 km/h。路面呈正 弦波形，可表示為 求： 拖車在滿載和空載時的振幅比 l =5 ml =5 m m k/2 c x 0 k/2 xf a l xf z 2 sin f z xa l 簡諧慣性力激勵的受迫振動 14 解： 已知行駛速度為v，則行駛路程可表示為： 路面的激勵頻率為： vtz 已知 ，以及c、k 為常數(shù)，因此 與 成反比 2 c km m 因此得到空載時的阻尼比為： 1 21 2 1 m m 滿載和空載時的頻率比： 1 1 01 1.87 m s k 2 34.9/ v rad s l l =5 ml =5 m m k/2 c x 0 k/2 xf a l x

8、f z2 sin f vt xa l 那么路面的波形就可以表示為： 2 2 02 0.93 m s k 簡諧慣性力激勵的受迫振動 15 2 11 1 222 11 1 1 (2) 0.68 (1)(2) Bs ass 記：滿載時振幅 B1，空載時振幅 B2。 有： 滿載時阻尼比1=0.5； 空載時阻尼比2=1.0； 滿載時頻率比s1=1.87； 空載時頻率比s2=0.93 2 222 222 222 1 (2) 1.13 (1)(2) Bs ass 因此滿載和空載時的振幅比： 1 2 0.60 B B l =5 ml =5 m m k/2 c x 0 k/2 xf a l xf z 這就解釋了地盤重汽車振動更小 簡諧慣性力激勵的受迫振動 振動傳感器 16 2 1 2 22 2 2 ,tan 1 12 ss s ss 放大因子：；頻率比：s=/0 xf k c 1 x m x 0 1( ) sin()x tDt 當s1時，并且阻尼很小時， 可以表示為： 2, 0s 2 2 11 22 00 1 ( )sin()sin()( )x ts DtDtx t 簡諧慣性力激勵的受迫振動 17 高速旋轉(zhuǎn)機械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵來源。旋轉(zhuǎn) 機械總質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為m，偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度為 x：機器離開平衡位置的垂