第4節(jié)四維形式

1、4 相對論的四維形式 建立四維形式的原因： 1 相對論認為時間、空間是不可分的。 2 物理量、物理規(guī)律的協(xié)變性要求建立。 一、三維空間下的正交變換： 1 三維空間下的線性變換： 一般線性變換： 3132121111 xxxx 3232221212 xxxx 3332321313 xxxx ij 規(guī)定系數(shù)： 與 和 均無關(guān)，只與坐標 系之間的相互關(guān)系有關(guān)。 i x i x 用矩陣表示： 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 x x x x x x 可簡寫為： jij j jiji xxx 3 1 3 , 2 , 1,ji 其中： 為自由指標。 為啞指標（求和）。 ij

2、 逆變換： 3 2 1 1 33 1 32 1 31 1 23 1 22 1 21 1 13 1 12 1 11 3 2 1 x x x x x x 可簡寫為： 1 3 1 1 jij j jiji xxx 其中 為逆變換矩陣。 *1 1 2 坐標旋轉(zhuǎn)代表一種線性變換： P 1 x 1 x 2 x 2 x , 33 xx sincos 211 xxx cossin 212 xxx 33 xx 系數(shù)與坐標無關(guān)的線性變換： 用矩陣表示： 100 0cossin 0sincos 特點： 1）三維空間距離不變。 iijj xxxxxxxxxxOP 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2）系

3、數(shù)的特點： 0 1 jkikij 變換指標的作用。 kj kj kjikijkikjijii xxxxxx jjkjjk xxxx 3 三維空間正交變換： 1）三維空間的距離不變 jjii xxxx 2）變換系數(shù)滿足正交關(guān)系 jkikij 3）正交變換的逆矩陣就是它的轉(zhuǎn)置矩陣 1 由逆矩陣的定義 I 1 例： 100 0cossin 0sincos 1 100 0cossin 0sincos 100 010 001 二、物理量按空間變換性質(zhì)分類： 1 標量 三維零階張量 在三維空間正交變換下，保持不變的量。 0 3 2 矢量 三維一階張量 1 3 某物理量有三個分量，在三維空間正交變 換下，三

4、個分量的變換方式與坐標變換方 式相同，這樣的物理量稱為矢量。 3 張量 三維二階張量 2 3 某物理量有 分量，每個分量 在三維 正交變換下，其坐標變換方式與 相同。 93 2 ij T ji xx 這樣的物理量稱為張量。 lkjlikji xxxx 或 kljlikij TT 其中 333231 232221 131211 TTT TTT TTT T ij 若有 稱為對稱張量，只有6個獨立分 量 jiij TT 若有 稱為反對稱張量， ，所 以反對稱張量只有3個獨立分量。 jiij TT0 iiii TT 三、洛侖茲變換的四維形式： 引入四維坐標： xx 1 yx 2 zx 3 iCtx 4

5、 純虛數(shù) 間隔不變性： 不變量 2 4 2 3 2 2 2 1 2 4 2 3 2 2 2 1 xxxxxxxx 簡寫成： xxxx 4 , 3 , 2 , 1, 四維形式 特殊洛侖 茲變換 )()( 1 1 411 2 1 xixvtxx 22 xx 33 xx )()( 1 141 2 2 4 xixx C v t iC x 寫成矩陣形式： 4 3 2 1 4 3 2 1 00 0100 0010 00 x x x x i i x x x x 簡寫式： xx 其中 為正交變換矩陣： 逆變換： 4 3 2 1 4 3 2 1 00 0100 0010 00 x x x x i i x x x

6、 x I 1 討論： 1）在四維空間（不是三維空間+一維時間） 洛侖茲變換是正交變換系數(shù)矩陣滿足： I 或： 2）建立了一個新的空間四維空間（復 空間）其坐標變換由洛侖茲變換表示。今 后，電磁學定律的協(xié)變形式要在四維空間 條件下建立。 四、四維空間的協(xié)變量： 將物理量在四維空間的“轉(zhuǎn)動”變換下 分類 1 四維零階張量 四標量： 0 4 定義：在四維空間的正交變換下，能夠保 持不變的物理量叫四標量。 不變量),(),( 43214321 xxxxuxxxxu 例：時空間隔 。固有時 S d 問：三維標量是四標量嗎？不是 2 四維一階張量 四矢量： 1 4 定義： 一個物理量有4個分量，在四維空間

7、的正 交變換下，能夠按如下規(guī)律變換的物理量 叫四矢量。 AA 4, 3 , 2, 1, 其中 為坐標變換矩陣元。 例：四維空間的坐標。四維速度 U 定義四維速度為 d dx U 前三維： iu i u i u dt dx C u dt dx U 2 2 1 第四維： uu iC dt diCt C u dt dx U 2 2 4 4 1 ),(iCuU iu 四維速度 或： ),(iCuU u 3 四維二階張量 四張量： 2 4 定義：一個物理量有16個分量，在四維空 間的正交變換下，能夠按如下規(guī)律變換的 物理量叫四張量。 TT 那些量是四張量呢？下面我們認識幾個四 張量。 4 四維波矢量：

8、1）電磁場的位相是不變量 從 重合發(fā)出第一列波時數(shù)起，到 重合時結(jié)束。凡是通過 的波峰都會通過 即 所記錄的波數(shù)相同。 ,oo, PP PP , PP P P 初時間 C R t cos 0 C R t cos 0 末時間 t t 波數(shù)相同 T C R t T C R t cos cos 周期 2 T 2 T coscos R C tR C t 化簡： 即： RktRkt 或?qū)憺椋?不變量tRktRk 在不同的慣性系里位相是不變量四張量。 2）四維波矢量： RktRkt 改寫為： iC x Rk iC x Rk 44 令： C ik 4 4444 xkRkxkRk 44332211443322

9、11 xkxkxkxkxkxkxkxk 改寫為： 不變量 xkxk 因為， 是四維空間矢量，點積是四維標 量。所以 是四維矢量。 xx, k ),( C ikk i 或： ),( C ikk 變換滿足 4 3 2 1 4 3 2 1 00 0100 0010 00 k k k k i i k k k k )( )( 144 33 22 411 kikk kk kk kikk 3）頻率與角度的變換關(guān)系： 設： 與 軸的夾角 ； 與 軸的夾角 則： coscos 1 C kk cos cos1 C kk k k x x 代入變換式 )(coscos C ii CC cos C i C i C i 兩式聯(lián)立： cos1 cos cos C v C v cos1 1sin cos1sin 2 2 2 C v C v 兩式相除： )(cos sin cos sin C v tg 得到： )(cos sin C v tg )cos1 ( 光的傳播方向、頻率在坐標變換下變換關(guān)系 對光行差現(xiàn)象（星光的實際位置與觀測位 置的差距與地球坐標系的運動的關(guān)系）的 解釋驗證上述理論。 對多普勒現(xiàn)象