新北師版八年級數(shù)學下冊 第五章 分式與分式方程 4.分式方程及其解法

1、 分式與分式方程分式與分式方程 4.4.分式方程及其解法分式方程及其解法 分析：設(shè)江水的流速為分析：設(shè)江水的流速為x千米時，填空：千米時，填空： 輪船順流航行速度為千米時，逆流航行輪船順流航行速度為千米時，逆流航行 速度為千米時，順流航行速度為千米時，順流航行120千米所用千米所用 的時間為小時，逆流航行的時間為小時，逆流航行80千米所用時間千米所用時間 為小時。為小時。 (20+x) (20-x) x20 120 x20 80 像這樣，像這樣，分母里含有未知數(shù)的方程叫做分母里含有未知數(shù)的方程叫做 分式方程分式方程。 以前學過的以前學過的分母里不含有未知數(shù)的方程分母里不含有未知數(shù)的方程 叫做叫

2、做整式方程整式方程。 x20 80 x20 120 整式方程的未知數(shù)不在分母中整式方程的未知數(shù)不在分母中 分式方程的分母中含有未知數(shù)分式方程的分母中含有未知數(shù) 【分式方程的定義】【分式方程的定義】 分母中含未知數(shù)的方程叫做分母中含未知數(shù)的方程叫做 分式方程分式方程. . 整式方程的未知數(shù)不在分母中整式方程的未知數(shù)不在分母中 分式方程的分母中含有未知數(shù)分式方程的分母中含有未知數(shù) 判斷下列說法是否正確：判斷下列說法是否正確： （） （） （ ） （ ） 是是分分式式方方程程 3 4 44 3 )2( xx 是是分分式式方方程程5 2 32 )1( x 是是分分式式方方程程1)3( 2 x x 是分

3、式方程是分式方程 1 1 1 1 )4( yx 13 (2) 2xx 2 (1) 23 xx 3 (3) 2 x x (1 ) (4)1 xx x 10 5 1 26 x x）（ 2 1 5 x x）（ 21 31 x x x 43 7 xy 下列方程中，哪些是下列方程中，哪些是分式方程分式方程？哪些？哪些整式方程整式方程. 整式方程整式方程 分式方程分式方程 1 3 1 2 xx 解方程解方程 6) 1(23xx 6223 xx 8x 4 4、 化系數(shù)為化系數(shù)為1.1. 1 1、 去分母去分母 2 2、 去括號去括號 . . 3 3、 移項移項. .合并同類項合并同類項 步驟步驟 解解: 如

4、何求分式如何求分式 方程的解呢方程的解呢? 去掉分母，化為整式方程。去掉分母，化為整式方程。 如何去掉分母，化如何去掉分母，化 為整式方程還保持為整式方程還保持 等式成立等式成立? 7 30100 xx 解方程解方程 7 30100 xx 解解 方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以x(x-7),x(x-7),約去分母約去分母, ,得得 100(x-7)=30 x100(x-7)=30 x 解這個整式方程解這個整式方程, , 得得 X=10X=10 檢驗檢驗: :把把x=10 x=10代入代入x(x-7), x(x-7), 得得 1010(10-7)0(10-7)0 所以所以, x=10, x=10是原

5、方程的解是原方程的解. . 2 2162 242 xx xxx 解：方程兩邊同乘以解：方程兩邊同乘以),2)(2(xx ,)2(16)2( 22 xx得， , 441644 22 xxxx . 2x 檢驗：把檢驗：把x=-2x=-2代入代入 x x2 2-4-4， 得得x x2 2-4=0-4=0。 x=-2x=-2是是增根，從而原方程無解。增根，從而原方程無解。. . 解分式方程的一般步驟解分式方程的一般步驟: 1.1.去分母。去分母?；质椒匠虨檎椒匠袒质椒匠虨檎椒匠?即即 把分式方程兩邊把分式方程兩邊同同乘以最簡公分母乘以最簡公分母. 2.2.解這個整式方程解這個整式方程. . 3

6、.3.檢驗檢驗. .把整式方程的把整式方程的解解(根根) 代入代入最最 簡公分母簡公分母, , 若結(jié)果為零則是增根若結(jié)果為零則是增根,必須必須 舍去舍去,若結(jié)果不為若結(jié)果不為0,則是原方程的根則是原方程的根. 4.4.寫結(jié)論寫結(jié)論 1.若方程中的分母是多項式若方程中的分母是多項式,須先分解須先分解 因式因式.再確定最簡公分母再確定最簡公分母. 2.若方程中的含有整數(shù)項若方程中的含有整數(shù)項,去分母時不去分母時不 要漏乘要漏乘. 解：解：在方程兩邊都乘以最簡公分母在方程兩邊都乘以最簡公分母（20+x）（）（20-x）得，得， 解這個整式方程，得解這個整式方程，得x=4x=4 120(20-x)=8

7、0(20+x)120(20-x)=80(20+x) 檢驗檢驗: :把把x x= 4 = 4 代入原方程中，左邊右邊代入原方程中，左邊右邊 因此因此x x4 4是原方程的解是原方程的解 分式方程分式方程 解分式分式方程的一般思路解分式分式方程的一般思路 整式方程整式方程 去分母去分母 兩邊都乘以最簡公分母兩邊都乘以最簡公分母 下面我們一起研究下怎么樣來解分式方程：下面我們一起研究下怎么樣來解分式方程： x20 80 x20 120 【解分式方程】【解分式方程】 解分式方程解分式方程 1 1 x-5 1010 = = x2-25 解：解：在方程兩邊都乘以最簡公分母在方程兩邊都乘以最簡公分母(x+5

8、)(x-5)(x+5)(x-5)得，得， 解這個整式方程，得解這個整式方程，得x=5x=5 x+5=10 x+5=10 檢驗檢驗: :把把x x = 5 = 5 代入原方程中，發(fā)現(xiàn)代入原方程中，發(fā)現(xiàn)x-5和和x x2 2-25-25的的 值都為，相應(yīng)的分式無意義，因此值都為，相應(yīng)的分式無意義，因此x=5x=5雖是方雖是方 程程x+5=10 x+5=10的解，但不是原分式方程的解，但不是原分式方程 的解實際上，的解實際上，這個分式方程無解這個分式方程無解 1 1 x-5 1010 = = x2-25 例例2解方程解方程 21 2 33 x xx 1、當分式方程含有若干個分式時，通常、當分式方程含

9、有若干個分式時，通常 可用各個分式的最簡公分母同乘方程兩邊可用各個分式的最簡公分母同乘方程兩邊 進行去分母。進行去分母。 2、解方程時一定要驗根。、解方程時一定要驗根。 【分式方程的解】【分式方程的解】 上面兩個分式方程中，為什么上面兩個分式方程中，為什么 120120 20+x20+x 8080 2020-x x = = 去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而 去分母后得到的整式方程的解卻不去分母后得到的整式方程的解卻不 1 1 x-5 1010 = = x2-25 是原分式方程的解呢？是原分式方程的解呢？ 1 1 x-5 1010 = = x2-2

10、5 我們來觀察去分母的過程我們來觀察去分母的過程 120120 20+x20+x 8080 2020-x x = = 120(20-x)=80(20+x)120(20-x)=80(20+x) x+5=10 x+5=10 兩邊同乘兩邊同乘(20+x)(20-x)(20+x)(20-x) 當當x=4x=4時時,(20+x)(20-x),(20+x)(20-x)0 兩邊同乘兩邊同乘(x+5)(x-5) 當當x=5x=5時時, , (x+5)(x-5)=0 分式兩邊同乘了不為分式兩邊同乘了不為0的式子的式子,所得整式方程的解與所得整式方程的解與 分式方程的解相同分式方程的解相同. 分式兩邊同乘了等于分

11、式兩邊同乘了等于0的式子的式子,所得整式方程的解使所得整式方程的解使 分母為分母為0,這個整式方程的解就不是原分式方程的解這個整式方程的解就不是原分式方程的解 【分式方程解的檢驗】【分式方程解的檢驗】 1 1 x-5 1010 = = x2-25 120120 20+x20+x 8080 2020-x x = = 120(20-x)=80(20+x)120(20-x)=80(20+x) x+5=10 x+5=10 兩邊同乘兩邊同乘(20+x)(20-x)(20+x)(20-x) 當當x=4x=4時時,(20+x)(20-x),(20+x)(20-x)0 兩邊同乘兩邊同乘(x+5)(x-5) 當

12、當x=5x=5時時, , (x+5)(x-5)=0 分式兩邊同乘了不為分式兩邊同乘了不為0的式子的式子,所得整式方程的解與所得整式方程的解與 分式方程的解相同分式方程的解相同. 分式兩邊同乘了等于分式兩邊同乘了等于0的式子的式子,所得整式方程的解使所得整式方程的解使 分母為分母為0,這個整式方程的解就不是原分式方程的解這個整式方程的解就不是原分式方程的解 解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能 使原方程的分母為，所以使原方程的分母為，所以分式方程的解必須檢驗分式方程的解必須檢驗 怎樣檢驗這個整式方程的解是不是原分式的解？怎樣檢驗這個整式方程的解

13、是不是原分式的解？ 將整式方程的解代入最簡公分母，將整式方程的解代入最簡公分母， 如果最簡公分母的值不為，則如果最簡公分母的值不為，則 整式方程的解是原分式方程的解，整式方程的解是原分式方程的解， 否則這個解就不是原分式方程的否則這個解就不是原分式方程的 解解 解分式方程的一般步驟解分式方程的一般步驟 1 1、 在方程的兩邊都乘以在方程的兩邊都乘以最簡公分母最簡公分母，約去分母，約去分母， 化成化成整式方程整式方程. . 2 2、解這個整式方程、解這個整式方程. . 3 3、 把整式方程的解代入把整式方程的解代入最簡公分母最簡公分母，如果最簡，如果最簡 公分母的值公分母的值不為不為0 0，則整

14、式方程的解是原分式方程的，則整式方程的解是原分式方程的 解；解；否則否則，這個解不是原分式方程的解，必須舍去，這個解不是原分式方程的解，必須舍去. . 4 4、寫出原方程的根、寫出原方程的根. . 解分式方程的思路是：解分式方程的思路是： 分式分式 方程方程 整式整式 方程方程 去分母去分母 一化二解三檢驗一化二解三檢驗 驗根驗根 等號兩邊都乘以等號兩邊都乘以 最簡公分母最簡公分母 【例題】【例題】 解分式方程解分式方程 x-1 = = (x-1)(x+2) 3 3x -1 解解 ：方程兩邊同乘以：方程兩邊同乘以(x(x1) 1) ( (x x2)2), ,得得 X(x+2)-(x-1)(x+

15、2)=3 解整式方程解整式方程, ,得得 x x = 1 1 檢驗檢驗：當：當x =x = 1 1 時，時，(x(x1) 1) ( (x x2)2)，x=x=不不 是原分式方程的解，原分式方程無解是原分式方程的解，原分式方程無解 解分式方程解分式方程 2 2 x-1 4 4 = = x2-1 (1) 1 1 x2-x 5 5 = = X2+x (2) 通過例題的講解和練習的操作通過例題的講解和練習的操作, ,你能總結(jié)出解分式你能總結(jié)出解分式 方程的一般步驟嗎方程的一般步驟嗎? ? 【小結(jié)】【小結(jié)】 解分式方程的一般步驟的框架圖：解分式方程的一般步驟的框架圖： 分式方程分式方程整式方程整式方程 a a是分式是分式 方程的解方程的解 X=