第四章截面的幾何性質(zhì)

1、第第4章章 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 4.1 截面的形心和靜距截面的形心和靜距 在建筑力學(xué)以及建筑結(jié)構(gòu)的計算中，經(jīng)常要用在建筑力學(xué)以及建筑結(jié)構(gòu)的計算中，經(jīng)常要用 到與到與截面截面有關(guān)的一些幾何量。例如軸向拉壓的橫截有關(guān)的一些幾何量。例如軸向拉壓的橫截 面面積面面積A、圓軸扭轉(zhuǎn)時的抗扭截面系數(shù)、圓軸扭轉(zhuǎn)時的抗扭截面系數(shù)WP和極慣性和極慣性 矩矩IP等都與構(gòu)件的強度和剛度有關(guān)。以后在彎曲等等都與構(gòu)件的強度和剛度有關(guān)。以后在彎曲等 其他問題的計算中，還將遇到平面圖形的另外一些其他問題的計算中，還將遇到平面圖形的另外一些 如如形心、靜矩、慣性矩形心、靜矩、慣性矩、抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù)等幾何量。

2、等幾何量。 這些與平面圖形形狀及尺寸有關(guān)的幾何量統(tǒng)稱為平這些與平面圖形形狀及尺寸有關(guān)的幾何量統(tǒng)稱為平 面圖形的面圖形的幾何性質(zhì)。幾何性質(zhì)。 4.1 截面的形心和靜距截面的形心和靜距 一一. 面積矩的定義面積矩的定義 A z dAyS A y dAzS ：分別表示截面對z軸和y軸的面積矩(靜矩）。 yz SS 、 單位為 mm3 或 m3 dAz dAy ：微面積對：微面積對y軸的面積矩軸的面積矩 ：微面積對：微面積對z軸的面積矩軸的面積矩 其值可正、可負(fù)、可為零其值可正、可負(fù)、可為零 4.1 截面的形心和靜距截面的形心和靜距 二二. 形心形心 形心：圖形的幾何中心。形心：圖形的幾何中心。 A

3、zdA z A c A ydA y A c 4.1 截面的形心和靜距截面的形心和靜距 A S y Z c A S z y c 計算形心坐標(biāo)的公式計算形心坐標(biāo)的公式 1、若、若Sz=0yc=0 該軸通過形心軸通過形心 2、若軸通過形心(形心軸）則靜矩為零則靜矩為零 討論：討論： 3、已知靜矩可求形心；已知形心和面積也可求靜矩、已知靜矩可求形心；已知形心和面積也可求靜矩 三三. 形心與靜距的關(guān)系形心與靜距的關(guān)系 4.1 截面的形心和靜距截面的形心和靜距 例：求圖示矩形的形心位置例：求圖示矩形的形心位置 A z dAyS h h y bbdyy 0 2 0 2 2 2 bh A y dAzS b b

4、 z hhdzx 0 2 0 2 2 2 hb bhA 形心：形心： 2 2 2 h bh bh A S y z c 2 b A S z y c b/2,h/2 1、求靜矩、求靜矩 2、求形心、求形心 4.1 截面的形心和靜距截面的形心和靜距 簡單圖形：形心已知的圖形簡單圖形：形心已知的圖形 簡單圖形的靜矩直接用其面積與形心坐標(biāo)的乘積計算簡單圖形的靜矩直接用其面積與形心坐標(biāo)的乘積計算 b/2,h/2 對稱圖形的形心必在對稱軸上對稱圖形的形心必在對稱軸上 討論討論 4.1 截面的形心和靜距截面的形心和靜距 由幾個簡單截面組合而成的截面由幾個簡單截面組合而成的截面 組合截面組合截面 組合截面（圖形

5、）的靜矩和形心組合截面（圖形）的靜矩和形心 上述截面形式常見于鋼結(jié)構(gòu)、混凝土結(jié)構(gòu)等上述截面形式常見于鋼結(jié)構(gòu)、混凝土結(jié)構(gòu)等 工字鋼工字鋼槽鋼槽鋼角鋼角鋼 T形鋼梁形鋼梁箱形梁箱形梁鋼管鋼管 也可視為簡單圖形也可視為簡單圖形 4.1 截面的形心和靜距截面的形心和靜距 A S A yA y z n i i n i cii c 1 1 A S A zA z y n i i n i cii c 1 1 組合截面的靜矩：總靜矩為各簡單截面的靜矩代數(shù)和。組合截面的靜矩：總靜矩為各簡單截面的靜矩代數(shù)和。 z n i ziz SS 1 形心位置：形心位置： *注意靜矩的正負(fù)號注意靜矩的正負(fù)號 21 AAA yd

6、AydA 21 AA ydAydA z S 21zz SS n i cii yA 1 n i ic Ay 1 4.1 截面的形心和靜距截面的形心和靜距 例：求圖示組合圖形的例：求圖示組合圖形的 形心與靜矩形心與靜矩 21zzz sss 1530300 1 z s )30135(50270 2 z s mm A S y z c 105 2227500135000 z S 3 2362500mm 例題:試確定圖示截面形心C的位置 。 解：建立坐標(biāo)軸，分成兩個簡單截面解：建立坐標(biāo)軸，分成兩個簡單截面 xIIxx SSS cIIx yAS 720006010120 350051070 cIIIIxII

7、 yAS 3 75500mmSx cIIy xAS 6000510120 31500451070 cIIIIyII xAS 3 37500mmS y 2 1900107010120mmA mm A S y x c 74.39 1900 75500 mm A S x y c 74.19 1900 37500 形心位置：形心位置：C (19.74, 39.74) 4.2 慣性矩、慣性積及慣性半徑慣性矩、慣性積及慣性半徑 . 慣慣 性性 矩矩 A z dAyI 2 A y dAzI 2 dAy 2 微元對微元對Z軸的慣性矩軸的慣性矩 量綱：量綱：m4、mm4 I 0 圖形對圖形對z軸的慣性矩軸的慣性

8、矩 圖形對圖形對y軸的慣性矩軸的慣性矩 *是對某一根坐標(biāo)軸而言是對某一根坐標(biāo)軸而言 4.2 慣性矩、慣性積及慣性半徑慣性矩、慣性積及慣性半徑 A P dAI 2 222 zy yzP III 2. 極慣極慣 性性 矩矩 dA 2 微面積對原點的極慣性矩微面積對原點的極慣性矩 圖形對原點的極圖形對原點的極 慣性矩慣性矩 4.2 慣性矩、慣性積及慣性半徑慣性矩、慣性積及慣性半徑 求矩形對形心軸求矩形對形心軸y、z的慣性矩的慣性矩 取微段取微段dA=b dy 123 3 2/ 2/ 3 2/ 2/ 2 bhy bdybyI h h h h z 123 3 2/ 2/ 3 2/ 2/ 2 hbz hd

9、zhzI b b b b y A z dAyI 2 解：解： 熟記熟記 3. 常見截面的慣性矩常見截面的慣性矩 矩形截面矩形截面 4.2 慣性矩、慣性積及慣性半徑慣性矩、慣性積及慣性半徑 微面積：微面積： A z dAyI 2 解：解： 熟記熟記 圓形截面圓形截面 dA dAdd d d dd d 2 2 0 2 2 0 sin 64 4 d siny 64 4 d II yz 4.2 慣性矩、慣性積及慣性半徑慣性矩、慣性積及慣性半徑 取微薄圓環(huán)取微薄圓環(huán) dA=2 2 d 324 22 4 2 0 4 2 d dI d A 642 4 dI II P yz A P dAI 2 解：解： 熟記

10、熟記 圓形截面圓形截面 圓環(huán)形截面圓環(huán)形截面 4 4 (1) 32 P D I d D Dd 4.2 慣性矩、慣性積及慣性半徑慣性矩、慣性積及慣性半徑 4、慣性積、慣性積 xy A IxydA 5、慣性半徑、慣性半徑 量綱為長度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義 為圖形對軸和對軸的慣性半徑。 z z I i A y y I i A (4-17) (4-19) 4.3 組合截面的慣性矩計算組合截面的慣性矩計算 AaII zz 2 1 平行移軸公式平行移軸公式 A z dAyI 2 2 2 11 () z AA IydAya dA 22 2 AAA ydAa ydAadA AaI z 2 0 .公式推導(dǎo)公

11、式推導(dǎo) 注意：注意：z、y為形心軸為形心軸 4.3 組合截面的慣性矩計算組合截面的慣性矩計算 平行移軸公式平行移軸公式 AaII zz 2 1 AbII yy 2 1 2. 公式運用公式運用 工字鋼工字鋼槽鋼槽鋼角鋼角鋼T形鋼梁形鋼梁 組合截面的慣性矩組合截面的慣性矩 4.3 組合截面的慣性矩計算組合截面的慣性矩計算 已知已知T型組合截面，尺寸如圖所示，試求截面形心型組合截面，尺寸如圖所示，試求截面形心C點的位置，點的位置， 以及對形心軸的慣性矩。以及對形心軸的慣性矩。 21 2211 AA yAyA y cc c 02010yyy III 200400120600 2002004004601

12、20600 mm323 3 01 600120 12 1 y I 3 02 200400 12 1 y I )(10243 47 mm 解：解：1、求形心軸、求形心軸 2、求組合圖形對、求組合圖形對y0軸的慣性矩軸的慣性矩 4.3 組合截面的慣性矩計算組合截面的慣性矩計算 02010zzz III 解：解：3、求組合圖形對、求組合圖形對zo軸的慣性矩軸的慣性矩 600120)323460(120600 12 1 23 01 z I 400200)200323(400200 12 1 23 02 z I )(105 .371 47 mm 01 z 02 z 4.3 組合截面的慣性矩計算組合截面的

13、慣性矩計算 計算圖示的矩形截面（實線部分）對計算圖示的矩形截面（實線部分）對Z Z軸的慣性矩。如按圖示虛線所示，將矩軸的慣性矩。如按圖示虛線所示，將矩 形的中間部分移到兩邊拼成工字形，試計算此工字形截面對形的中間部分移到兩邊拼成工字形，試計算此工字形截面對Z Z軸的慣性矩。軸的慣性矩。 解：解： 1、矩形截面慣性矩、矩形截面慣性矩 33 300150 12 1 12 1 bhIz 2、工字形截面慣性矩、工字形截面慣性矩 3505012550350 12 1 2 23 z I 討論：討論：慣性矩增加了慣性矩增加了 4666 105 .587103 .33102 .554mm 46 105 .337mm 3 20050 12 1 規(guī)律：規(guī)律：有效面積離形心軸越遠(yuǎn)，截面對該軸的慣性矩就越大。有效面積離形心軸越遠(yuǎn)，截面對該軸的慣性矩就越大。 z z軸是小矩形的形心軸軸是小矩形的形心軸 AaII z z 2 1 回回 顧顧 1、靜、靜 矩：矩： c A z yAdAyS c A y zAdAzS 2、形心位置：、形心位置： A S A yA y z n i i n i cii c 1 1 A S A zA z y n i i n i cii c 1 1 4、極慣性矩：、極慣性矩： yz A IIdAI 2 5、平行移軸定理：、平行移軸定理：