第二章 生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造

1、第二章 生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造第一節(jié) 生命表函數(shù)一、生存函數(shù)1、 定義： 2、 概率意義：新生兒能活到 的概率3、 與分布函數(shù)的關(guān)系： 4、 與密度函數(shù)的關(guān)系： 二、剩余壽命1、定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡(jiǎn)記 ），還能繼續(xù)存活的時(shí)間，稱為剩余壽命，記作t(x)。2、剩余壽命的分布函數(shù)5、 ： ，它的概率意義為： 將在未來(lái)的 年內(nèi)去世的概率，簡(jiǎn)記 3、剩余壽命的生存函數(shù)： ，它的概率意義為： 能活過(guò) 歲的概率，簡(jiǎn)記 特別：（1） （2） （3） （4） ： 將在 歲與 歲之間去世的概率4、 整值剩余壽命（1）定義： 未來(lái)存活的完整年數(shù)，簡(jiǎn)記 （2）概率函數(shù)：5、剩余壽命的期望與方差（1）期望剩余壽

2、命： 剩余壽命的期望值（均值），簡(jiǎn)記 （2）剩余壽命的方差：6、整值剩余壽命的期望與方差（1）期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值（均值），簡(jiǎn)記 （2）整值剩余壽命的方差：2三、死亡效力1、定義： 的人瞬時(shí)死亡率，記作 2、死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系3、死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系4、死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù)記 為剩余壽命 的分布函數(shù)， 為 的密度函數(shù)，則第二節(jié) 生命表的構(gòu)造一、有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型1、de moivre模型（1729）2、gompertz模型（1825）3、makeham模型（1860）4、weibull模型（1939）二、生命表的起源 1、參數(shù)模型的缺點(diǎn) （1）至今為

3、止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個(gè)常用模型的擬合效果不令人滿意。（2）使用這些參數(shù)模型推測(cè)未來(lái)的壽命狀況會(huì)產(chǎn)生很大的誤差（3）壽險(xiǎn)中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類(lèi)壽命的分布。（4）在非壽險(xiǎn)領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。2、生命表的起源 （1）生命表的定義根據(jù)已往一定時(shí)期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計(jì)資料編制成的由每個(gè)年齡死亡率所組成的匯總表.（2）生命表的發(fā)展歷史1662年,jone graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時(shí)期的洗禮和死亡名單,寫(xiě)過(guò)生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。1693年，edmund halley,根據(jù)breslau城出生與下

4、葬統(tǒng)計(jì)表對(duì)人類(lèi)死亡程度的估計(jì)，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類(lèi)死亡年齡的分布。人們因而把halley稱為生命表的創(chuàng)始人。（3）生命表的特點(diǎn)構(gòu)造原理簡(jiǎn)單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場(chǎng)合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法） 三、生命表的構(gòu)造1、原理在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計(jì)算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計(jì)頻率）2、常用符號(hào)（1）新生生命組個(gè)體數(shù)： （2）年齡： （3）極限年齡： （4） 個(gè)新生生命能生存到年齡 的期望個(gè)數(shù)： （5） 個(gè)新生生命中在年齡 與 之間死亡的期望個(gè)數(shù)： 特別，當(dāng) 時(shí)，記作 （6） 個(gè)新生生命在年齡 與 區(qū)間共存活年數(shù)： （7） 個(gè)新生生命中能活到年齡 的個(gè)體的剩余壽

5、命總數(shù)： 四、選擇與終極生命表1、選擇-終極生命構(gòu)造的原因（1）需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會(huì)優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。（2）需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會(huì)隨時(shí)間而逐漸消失2、選擇-終極生命表的使用第三節(jié) 有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)一、使用背景生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時(shí)我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個(gè)整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定， 估計(jì)分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況 二、基本原理插值法三、常用假定1、均勻分布（uniform distribution）假定:(線形插值)2、恒定死亡效力（constant force）假定（幾

6、何插值）3、balducci假定（調(diào)和插值）四、三個(gè)假定下的生命表函數(shù)函數(shù)均勻分布假定恒定死亡效力假定balducci假定1.用附錄2示例生命表及有效年利率6%，計(jì)算現(xiàn)齡50歲人在20年后活著時(shí)應(yīng)付額1000的精算現(xiàn)實(shí)值。2.在上題條件下，計(jì)算50歲時(shí)1000到70歲時(shí)的精算積累值 。3.證明并解釋一下關(guān)系式4.在每一年齡死亡平均分布下的假設(shè)下，用示例生命表及有效年利率6%計(jì)算（1） .（2）x=20,50,80時(shí)的 提示：用（3.3.6）及（2.3.2）5.用第4題得到的值計(jì)算下列現(xiàn)實(shí)值隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差與變量系數(shù)/。（1）在20歲，50歲，80歲生效的個(gè)人終身生存年金，每年數(shù)額1000連續(xù)支

7、付。（2）一組生存年金共1800份，每份都在50歲生效，年金額1000連續(xù)支付。6.證明 可表示成，其中 基于利息效力2。7.計(jì)算 。8.如采用決定性（比率函數(shù)）觀點(diǎn)，連續(xù)生存年金可從（3.3.26）出發(fā)： .（1） 用積分因子 解以上微分方程式得出（3.2.1）。（2） 用積分因子 得出方程并作一個(gè)解釋。9.定義 并寫(xiě)出與（3.3.21）（3.3.24）相似的有關(guān) 公式。10.證明 11.證明并解釋以下關(guān)系（1） .（2） .12.從（3.4.11）出發(fā)導(dǎo)出（3.4.32）。13.公式是否正確？如不正確，請(qǐng)予以糾正。14.考慮,其中k是（x）的整值剩余壽命， 當(dāng) ， j=0,1,m-1,s=

8、t-k，用第二章習(xí)題15證明（1） .除 情況（概率為0）外， .這里方括號(hào)表示最大整數(shù)部分。15.在每個(gè)年齡中假定 h=0,1.,m-1,驗(yàn)證.16.寫(xiě)出（3.5.15）及（3.5.15）的傳統(tǒng)近似公式，并用（3.5.8）予以驗(yàn)證。17。證明與（3.5.3）相似的期末年金公式，并在每一個(gè)年齡死亡均勻分布的假設(shè)下，得出.18.證明與（3.5.4）相似的期末年金公式.并在每個(gè)年齡死亡均勻分布的假設(shè)下，得出，其中 .19.在每個(gè)年齡死亡均勻分布的假設(shè)下，,又根據(jù)，可得出請(qǐng)直接用 的表達(dá)式驗(yàn)證上述關(guān)系。20.（1）從（3.5.1）出發(fā)驗(yàn)證.（2）用（3.5.8）以及以上（1）中結(jié)果證明.（3）從（3

9、.3.2b）出發(fā)，對(duì)積分用梯形規(guī)則近似，得出（2）中結(jié)果。21.用（3.5.8）給出的傳統(tǒng)近似公式，建立（1） （2） .（3） .22.（1）建立用 表示 的公式。（2）根據(jù)附錄中示例生命表，按年利率6%計(jì)算： . 23.給出計(jì)算基數(shù)表示的公式：（1） . （2） （3） .（4） . （5） . （6） （7） . （8） .24.為估價(jià)歲入為b的期初年金，可使用特殊計(jì)算基數(shù) 及一般公式用 寫(xiě)出下列三種情況的公式(1) . （2） . （3） .25.考慮（?。┑臉?biāo)準(zhǔn)遞增定期生存年金;第1年歲入1，第2年歲入2，以此類(lèi)推到第n年歲入為止，且每年分m次期初支付，其精算現(xiàn)實(shí)值記作 ，證明 可按

10、以下方式表示：（1） .（2） （3） .（4） .26、考慮（x）的遞減定期生存年金：第1年歲入n，第二年歲入n-1，以此類(lèi)推倒第n年歲入1為止，且每年分m次期初支付，其精算現(xiàn)值記作（d ） ，證明可按以下方式表示: （1） .(2) .(3) .(4) nn (s ).27、在習(xí)題25中，如果歲入并不在x+n歲終止，而是當(dāng)（x）繼續(xù)或者保持定額歲入n，這種生存年金的精算現(xiàn)值記為(i ) ，證明(i ) 的以下表達(dá)式成立：(1) . (2) .(3) .(4) (s -s ).28驗(yàn)證公式： ，其中t是(x)的剩余壽命。用這個(gè)公式證明，這里 是t年時(shí)支付率為t連續(xù)支付終生年金的精算現(xiàn)值。29

11、（1）證明當(dāng)m=1時(shí)，公式（3.8.6）成為 （2）將（1）中公式用期末年金值來(lái)表示，得出 ， ， 并給出解釋。30對(duì)給定的n與x ，證明以下遞歸公式對(duì)h=0,1,.,n1成立： （1） （2） ，其中 31（1）在用綜合支付技巧估計(jì) 時(shí)，說(shuō)明現(xiàn)值隨機(jī)變量為 = ， 其中k，t 分別是（x）的整值與完全剩余壽命，并說(shuō)明可約化成 （2）證明 并得出 var 的一個(gè)表達(dá)式。32（1）說(shuō)明 的現(xiàn)值隨機(jī)變量為 并可約化成 。（2）證明 綜合題33在每一年齡的死亡均勻分布假設(shè)下，對(duì)0t1證明（1） （2） (3) (4) 34.得出下列（x）的期初生存年金求值公式，初始支付額為1，此后每年遞增額為 （1

12、）初始年支付額的3% （2）前一年支付額的3%35用積分表示 并證明 36給出下列按月支付的生存年金在70歲時(shí)的精算現(xiàn)值：從30 歲到40 歲每月底100 從40 歲到50歲每月底200從50 歲到60 歲每月底500 從60歲到70 歲每月底100037對(duì)于（35）的死亡即刻賠付的25年定期壽險(xiǎn)，受益額在35+t歲死亡情況下為 ， 0t25 ,導(dǎo)出凈躉繳保費(fèi)的簡(jiǎn)化表達(dá)式，并解釋所得結(jié)果。38對(duì)于（x）的死亡年末賠付的n年定期壽險(xiǎn)，受益額在第k+1年死亡的清況下為 ，0kn,導(dǎo)出凈躉繳保費(fèi)的簡(jiǎn)化表達(dá)式，并解釋所得結(jié)果。39導(dǎo)出下式的簡(jiǎn)化表達(dá)式： 40.將延期n年的年支付額為1的連續(xù)生存年金看作

13、理賠概率為 并具有隨機(jī)理賠額 的保險(xiǎn)，這里t的概率密度函數(shù)為 。 運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)理論中式（2.2.13）證明該保險(xiǎn)的方差等于 并驗(yàn)證它可以化成（3.3.20）。 41寫(xiě)出習(xí)題40中方差公式在離散情形的類(lèi)似公式。42設(shè) 是指示隨機(jī)變量， 。驗(yàn)證： （1）在(x)活到x+k歲時(shí)年支付 的生存年金的精算現(xiàn)值可寫(xiě)成 （2） jkcov jk(3) var .43.用左上標(biāo)2表示利息效力為 ，證明（1） （2）var 44（1）將年金系數(shù) 展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)（只求三項(xiàng)）， （2）當(dāng) 時(shí)以上所展開(kāi)式變成什么？45設(shè)g(x)是非負(fù)數(shù)，x是概率密度函數(shù)為f(x)的隨機(jī)變量，驗(yàn)證不等式 e k0并利用它證明 。461單位金額用于購(gòu)買(mǎi)某種受益組合，包括當(dāng)（x）活著時(shí)每年i的生存收入及（x）死亡時(shí)即刻支付j的保險(xiǎn)。寫(xiě)出這種組合的現(xiàn)值隨機(jī)變量并給出其均值和方差。47根據(jù)每一年死亡均勻分布假設(shè)，按示例生命表及實(shí)質(zhì)年利率6%計(jì)算 （1） （2） （3） 48當(dāng) .49. 設(shè)精算現(xiàn)值 與 是根據(jù)以下假定計(jì)算的： 在前n 年中年利率為i ，nm; 在剩余mn年中利率為 。用代數(shù)方法證明并解釋 （1） =1 （2） =1 50驗(yàn)證 ，其中 .解釋以上關(guān)系式。51如果例371中的年金支付在（1）10次遞增（2）20次遞增 之后保持固定，求年金的精算現(xiàn)值。52驗(yàn)證死亡效力增加一個(gè)