三角恒等變換之輔助角公式

1、三角恒等變換之輔助角公式輔助角公式 在三角函數(shù)中，有一種常見而重要的題型，即化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，進而求原函數(shù)的周期、值域、單調(diào)區(qū)間等.為了幫助學生記憶和掌握這種題型的解答方法,教師們總結(jié)出公式=或=,讓學生在大量的訓練和考試中加以記憶和活用.但事與愿違,半個學期不到,大部分學生都忘了,教師不得不重推一遍.到了高三一輪復習,再次忘記,教師還得重推!本文旨在通過輔助角公式的另一種自然的推導,體現(xiàn)一種解決問題的過程與方法,減輕學生的記憶負擔;同時說明“輔助角”的范圍和常見的取角方法,幫助學生澄清一些認識;另外通過例子說明輔助角公式的靈活應用,優(yōu)化解題過程與方法;最后通過例子說明輔助公式在

2、實際中的應用,讓學生把握輔助角與原生角的范圍關(guān)系,以更好地掌握和使用公式.一.教學中常見的的推導方法教學中常見的推導過程與方法如下1.引例例1 求證：sin+cos=2sin（+）=2cos（-）.其證法是從右往左展開證明,也可以從左往右“湊”,使等式得到證明,并得出結(jié)論:可見, sin+cos可以化為一個角的三角函數(shù)形式. 一般地,asin+bcos 是否可以化為一個角的三角函數(shù)形式呢? 2.輔助角公式的推導例2 化為一個角的一個三角函數(shù)的形式. 解: asin+bcos=(sin+cos), 令=cos,=sin,則asin+bcos=(sincos+cossin)=sin(+),(其中t

3、an=) 令=sin,=cos,則asin+bcos=(sinsin+coscos)=cos(-),(其中tan=)其中的大小可以由sin、cos的符號確定的象限,再由tan的值求出.或由tan=和(a,b)所在的象限來確定.推導之后,是配套的例題和大量的練習.但是這種推導方法有兩個問題:一是為什么要令=cos,=sin?讓學生費解.二是這種 “規(guī)定”式的推導,學生難記易忘、易錯!二.讓輔助角公式=來得更自然能否讓讓輔助角公式來得更自然些?這是我多少年來一直思考的問題.2009年春.我又一次代2008級學生時,終于想出一種與三角函數(shù)的定義銜接又通俗易懂的教學推導方法.r圖1O的終邊P(a,b)

4、x首先要說明，若a=0或b=0時，已經(jīng)是一個角的一個三角函數(shù)的形式，無需化簡.故有ab0.1.在平面直角坐標系中,以a為橫坐標,b為縱坐標描一點P(a,b)如圖1所示,則總有一個角,它的終邊經(jīng)過點P.設OP=r,r=,由三角函數(shù)的定義知sin=,cos=.所以asin+bcos=cos sin+sincos =.(其中tan=)圖2rOxy的終邊P(b,a)2.若在平面直角坐標系中,以b為橫坐標,以a為縱坐標可以描點P(b,a),如圖2所示,則總有一個角的終邊經(jīng)過點P(b,a),設OP=r,則r=.由三角函數(shù)的定義知 sin=,cos=. asin+bcos= =. (其中tan=) 例3 化

5、為一個角的一個三角函數(shù)的形式. 解:在坐標系中描點P(,1),設角的終邊過點P,則OP =r=2.sin=,cos=. =2cossin+2sincos=2sin().tan=.,=2sin().經(jīng)過多次的運用,同學們可以在教師的指導下,總結(jié)出輔助角公式asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=).或者asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=)我想這樣的推導,學生理解起來會容易得多,而且也更容易理解asin+bcos湊成(sin+cos)的道理,以及為什么只有兩種形式的結(jié)果.例4 化為一個角的一個三角函數(shù)的形式.解法一:點(1,-)在第四象限.OP=2.設角過P點

6、.則,.滿足條件的最小正角為,解法二:點P(-,1)在第二象限,OP=2,設角過P點.則,.滿足條件的最小正角為,三.關(guān)于輔助角的范圍問題由中,點P(a,b)的位置可知,終邊過點P(a,b)的角可能有四種情況(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).設滿足條件的最小正角為,則.由誘導公式(一)知其中，的具體位置由與決定，的大小由決定類似地，的終邊過點（，），設滿足條件的最小正角為，則由誘導公式有，其中，的位置由和確定，的大小由確定注意：一般地，；以后沒有特別說明時，角（或）是所求的輔助角四關(guān)于輔助角公式的靈活應用引入輔助角公式的主要目的是化簡三角函數(shù)式在實際中結(jié)果是化為正弦還是化為余弦要具體

7、問題具體分析，還有一個重要問題是，并不是每次都要化為的形式或的形式可以利用兩角和與差的正、余弦公式靈活處理例化下列三角函數(shù)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式（）；（）解：（）（）在本例第（）小題中，我們并沒有取點（，），而取的是點（，）也就是說，當、中至少有一個是負值時我們可以取（，），或者（，）這樣確定的角（或）是銳角，就更加方便例6 已知向量,求函數(shù)=的最大值及相應的的值.解: = = = = 這時.此處,若轉(zhuǎn)化為兩角和與差的正弦公式不僅麻繁,而且易錯,請讀者一試.五.與輔助角有關(guān)的應用題與輔助角有關(guān)的應用題在實際中也比較常見,而且涉及輔角的范圍,在相應范圍內(nèi)求三角函數(shù)的最值往往是個難點.NBMAQPO圖3書資料例7 如圖3,記扇OAB的中心角為,