全等三角形(常見輔助線)用[主要內(nèi)容]

1、專題學(xué)習(xí)專題學(xué)習(xí) -幾何證明中常見的幾何證明中常見的 “添輔助線添輔助線”方法方法 -“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 1青苗輔導(dǎo)1 連結(jié)連結(jié) 目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形 適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在兩個(gè)點(diǎn)存在兩個(gè)點(diǎn)A A和和B B 語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :連結(jié)連結(jié)ABAB 注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過(guò)程中描述添法在證明過(guò)程中描述添法 2青苗輔導(dǎo)1 連結(jié)連結(jié) 典例典例1: 1:如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D. AC B D 1. 1.連結(jié)連結(jié)ACAC

2、構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形 2. 2.連結(jié)連結(jié)BDBD 構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形 3青苗輔導(dǎo)1 連結(jié)連結(jié) 典例典例2: 2:如圖如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求證求證: :點(diǎn)點(diǎn)M M是是CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn). . A C B D 連結(jié)連結(jié)ACAC、ADAD 構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形 E M 4青苗輔導(dǎo)1 連結(jié)連結(jié) 典例典例3: 3:如圖如圖,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分別是分別是BDBD、CDCD 的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：AMBAMB ANCANC A CB D 連結(jié)

3、連結(jié)ADAD 構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形 NM 5青苗輔導(dǎo)1 連結(jié)連結(jié) 典例典例4: 4:如圖如圖,AB,AB與與CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC， OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的長(zhǎng)的長(zhǎng). . A C B D 連結(jié)連結(jié)BDBD 構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形O 6青苗輔導(dǎo)1 目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到距離相等距離相等 適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在一個(gè)點(diǎn)存在一個(gè)點(diǎn)A A和和一條線一條線MNMN 語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A作作AHAHMNMN 注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形

4、上添虛線 在證明過(guò)程中描述添法在證明過(guò)程中描述添法 角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 7青苗輔導(dǎo)1 角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 典例典例1: 1:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離的距離. . A C D 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D D作作DEABDEAB 構(gòu)造了構(gòu)造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等 B E 8青苗輔導(dǎo)1 角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 典例典例2: 2:

5、如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求證求證:AB=AC+DC.:AB=AC+DC. A C D 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D D作作DEABDEAB 構(gòu)造了構(gòu)造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等 B E 思考思考: : (1) (1)若若AB=15cm,AB=15cm,則則BEDBED的周長(zhǎng)是多少的周長(zhǎng)是多少? ? (2) (2)能否用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，在能否用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，在ABAB上截取上截取AE=ACAE=AC？ 9青苗輔導(dǎo)1 角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 典例典例3:

6、3:如圖如圖, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD. A C D 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E E作作EFBCEFBC 構(gòu)造了構(gòu)造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等 B F 思考思考: : 1. 1.有沒有其他輔助線的做法有沒有其他輔助線的做法 2. 2.你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ? E 10青苗輔導(dǎo)1 .角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 典例典例4: 4:如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB, DOE

7、 +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求證求證: PD=PE.: PD=PE. A C D 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB 構(gòu)造了構(gòu)造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等 B F 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ? E P G O 11青苗輔導(dǎo)1 目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等 適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)存在圖中已經(jīng)存在一條線段一條線段MNMN 和和垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)X X 語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :連結(jié)連結(jié)X

8、 XM M和和X XN N 注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過(guò)程中描述添法在證明過(guò)程中描述添法 .垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段 12青苗輔導(dǎo)1 如圖：如圖：PD、PE分別垂直平分線段分別垂直平分線段 AB、BC， 則則PA_PC A B C P D E 13青苗輔導(dǎo)1 問(wèn)題問(wèn)題1:1:在某一鄉(xiāng)村公路在某一鄉(xiāng)村公路L L的同側(cè)，有兩個(gè)村莊的同側(cè)，有兩個(gè)村莊A A、B B，為，為 了便于兩個(gè)村莊的人看病，鄉(xiāng)政府計(jì)劃在公路邊上修建了便于兩個(gè)村莊的人看病，鄉(xiāng)政府計(jì)劃在公路邊上修建 一所醫(yī)院，使得它到一所醫(yī)院，使得它到兩村莊的距離相等兩村莊的距離相

9、等，試問(wèn)醫(yī)院的院，試問(wèn)醫(yī)院的院 址址P P應(yīng)選在何處？應(yīng)選在何處？ L A B C D P 聯(lián)系生活聯(lián)系生活 14青苗輔導(dǎo)1 問(wèn)題問(wèn)題2:有三個(gè)村莊有三個(gè)村莊A、B、C，為了便于三個(gè)村莊的人，為了便于三個(gè)村莊的人 看病，鄉(xiāng)政府計(jì)劃修建一所醫(yī)院，使得它到看病，鄉(xiāng)政府計(jì)劃修建一所醫(yī)院，使得它到三個(gè)村莊三個(gè)村莊 的距離相等的距離相等，試問(wèn)醫(yī)院的院址，試問(wèn)醫(yī)院的院址P應(yīng)選在何處？應(yīng)選在何處？ A B C P 想一想，想一想，P點(diǎn)與點(diǎn)與BC有有 怎樣的關(guān)系？怎樣的關(guān)系？ D E F G 三角形三條邊的中垂三角形三條邊的中垂 線是交于一點(diǎn)的，這線是交于一點(diǎn)的，這 個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離 相等

10、相等 15青苗輔導(dǎo)1 目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等 適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)存在圖中已經(jīng)存在一條線段一條線段MNMN 和和垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)X X 語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :連結(jié)連結(jié)X XM M和和X XN N 注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過(guò)程中描述添法在證明過(guò)程中描述添法 .中線延長(zhǎng)一倍中線延長(zhǎng)一倍 16青苗輔導(dǎo)1 1. 1.已知，如圖已知，如圖ADAD是是ABCABC的中線，的中線， .中線延長(zhǎng)一倍中線延長(zhǎng)一倍 A B C D E )( 2 1 ACABAD求證： 延長(zhǎng)延長(zhǎng)ADAD到點(diǎn)到點(diǎn)E

11、 E，使，使DE=AEDE=AE， 連結(jié)連結(jié)CE.CE. 思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5，求，求ADAD的取值范圍？的取值范圍？ 17青苗輔導(dǎo)1 m = 42.35 m = 42.23 已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2 求證求證:AB=AC+CD A DB C E 1 2 在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)E使得使得AE=AC，連接，連接DE 截長(zhǎng)截長(zhǎng) F 在在AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F使得使得CF=CD，連接，連接DF 補(bǔ)短補(bǔ)短 18青苗輔導(dǎo)1 A 1 B C D 2 3 4 如圖所示，已知如圖所示，已知ADBC，1=2， 3=4，直線，直線DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E交交

12、AD于點(diǎn)于點(diǎn)D， 交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)C。求證：。求證：AD+BC=AB E F 在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)F使得使得AF=AD,連接連接EF 截長(zhǎng)補(bǔ)短 19青苗輔導(dǎo)1 例1 如圖，已知：在正方形ABCD中，BAC的平 分線交BC于E. 求證：AB+BE=AC A B C D F E G 截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng)補(bǔ)短法 20青苗輔導(dǎo)1 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法 對(duì)題目中出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的相等線段時(shí)，可對(duì)題目中出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的相等線段時(shí)，可 試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。 . 例3如圖所示，已知點(diǎn) 、 分別在正方形 的邊 與 上，并且 AF平分 EAD ，求證： BEDFAE A B C D E

13、 F G 21青苗輔導(dǎo)1 45EAF B D A C F E 如圖，已知在正方形中，在上， 在上， 求證： 22青苗輔導(dǎo)1 B A C A B C E D N M 如圖，ABC中，是邊上的中點(diǎn)， 于，交 的平分線 于，過(guò)作于，作于 求證： 23青苗輔導(dǎo)1 1. 1.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,則則DBEDBE的周長(zhǎng)是多少的周長(zhǎng)是多少? ? .“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)” BA C D E BE+BD+DE =B

14、E+BD+CD =BE+BC =BE+AC =BE+AE =AB 24青苗輔導(dǎo)1 2. 2.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o, D, D在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上, , E E在在ACAC的垂直平分線上的垂直平分線上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). . .“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)” B A C DE AD+AE+DE =BD+CE+DE =BC 25青苗輔導(dǎo)1 3. 3.如圖如圖,A,A、A A1關(guān)于關(guān)于OMOM對(duì)稱對(duì)稱, A, A、A A2關(guān)于關(guān)于ONON對(duì)稱對(duì)稱. .

15、若若A A1 A A2 =6cm, =6cm,求求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). . .“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)” B A C O MAB+AC+BC =A=A1 B+ A A2 C+BC =A=A1 A A2 A1 A2 N 26青苗輔導(dǎo)1 4. 4.如圖如圖, , ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分線的垂直平分線. . 若若AN=3cm, AN=3cm, ABMABM周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為13cm13cm，求，求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). . .“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)” B A C M AB+BC+AC =AB+ BM+MC+6 N =AB+ BM+AM+6 =13+6 27青苗輔導(dǎo)1 5. 5.如圖如圖, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分線，的角平分線，MN/BC.MN/BC. 若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為13cm13cm，求，求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). . .“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“等腰三角形性質(zhì)等腰三角形性質(zhì)” B A C P AB+AC+BC =AM+ BM+AN+NC+6 N =AM+ MP+AN+NP+6 =13+6 M =AM