一堂基于PISA的概念課實(shí)錄與點(diǎn)評(píng)：人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《多邊形》

1、類比引路 正反互助一堂基于pisa的概念課實(shí)錄與點(diǎn)評(píng)“類比是思維的引路人”，在概念教學(xué)中若適當(dāng)利用類比的方式，能有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維于最近發(fā)展區(qū)，便于概念的初步構(gòu)建，然后借助正反例，彼此依托，相互為用，能使概念的理解得到深入.當(dāng)然這個(gè)歷程不會(huì)一揮而就，需要師生、生生的相互碰撞、彼此爭(zhēng)論等成長過程，在歷經(jīng)磨礪后修成“正果”.這也是pisa測(cè)試給我們教學(xué)的啟示.以下以人教版7年級(jí)下多邊形第一課時(shí)為例做一闡述.一. 類比引路，辯駁中建構(gòu)播放圖片，定格圖形，學(xué)生觀察，增進(jìn)直觀.問題1：圖中你能抽象出你認(rèn)識(shí)的幾何圖形嗎？生全體：有，有三角形、四邊形、五邊形、八邊形師：四邊形、五邊形可用一個(gè)名稱表達(dá)，叫？生

2、眾：多邊形師：多邊形包含三角形嗎？生眾：包含，三角形屬于多邊形，問題2：你能類比三角形的概念，給多邊形以定義嗎？生1：多條線段首尾順次相連所構(gòu)成的圖形，叫多邊形生2：不對(duì)，應(yīng)該在同一平面內(nèi)師：為什么加這一個(gè)條件，而三角形概念中為什么沒加？生2：因?yàn)槿龡l線段只要首尾相接就會(huì)在同一平面內(nèi)，而其它多邊形不行師：你能舉出一個(gè)反例嗎？生2：能，你看（比劃著）a.dbc圖1生3：還不對(duì)，還得需要指明不在同一直線上的多條線段！師生：愕然！師：能舉一個(gè)反例說明嗎？生3（請(qǐng)求板演畫圖說明）：如圖1，ab、bc、cd、da四條線段順次連接，但沒有構(gòu)成四邊形全體同學(xué)鼓掌叫好！師：這個(gè)反例舉得好，這樣多邊形該怎樣定義

3、呢？生眾：在同一平面內(nèi)，由n條不在同一直線上的線段首尾順次相接所組成的圖形稱為n邊形.三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形.問題3：根據(jù)三角形學(xué)習(xí)獲得的經(jīng)驗(yàn)，同學(xué)們估計(jì)多邊形還需要明確哪些相關(guān)概念？生4：多邊形的邊、多邊形的角、多邊形的外角圖2圖3師：說得好，這其實(shí)就是類比的思想在起著作用，由于三角形是一個(gè)最基本、最簡(jiǎn)單的多邊形，三角形的相關(guān)概念也應(yīng)該能體現(xiàn)在多邊形中師：如圖2，五邊形abcde（借此說明多邊形的表示法：用頂點(diǎn)字母順次書寫，不能跳躍），誰能借助圖形說明五邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角？生5：頂點(diǎn)5個(gè)：a、b、c、d、e；邊有5條：ab、bc、cd、de、ae；內(nèi)角有5個(gè)：a、b、c、d、e；外角

4、在圖里面見不到，得需要做出來.師（示意上黑板板演）：生5：延長任何一條邊（如圖3），延長線與相鄰邊構(gòu)成的角就是，這樣的角可以作出5個(gè)生6：不對(duì)，應(yīng)該做出10個(gè)，不過其中的兩兩都分別相等問題4：我們知道，五邊形的邊是相鄰頂點(diǎn)間的線段，從完善的角度思考，還應(yīng)該研究？生眾：不相鄰頂點(diǎn)之間的線段師：對(duì)，這也是我們思考問題的常用方式求和諧.誰能命名這樣的線段應(yīng)該叫什么合適？生7：斜角線師（追問）：為什么？生7：因?yàn)檫@些線都斜著師（發(fā)現(xiàn)，畫出來的這類線確實(shí)都是斜的，感覺有點(diǎn)誤導(dǎo)，重新把五邊形調(diào)整了一下，讓be成水平狀，來一個(gè)不斜的消除錯(cuò)覺）：連接be，還斜嗎？生8（撓撓頭，自己否定）：看來這個(gè)名字不合適師

5、：誰再說說？生9：可以叫對(duì)接線嗎？師：理由？生9：因?yàn)檫@些線所連結(jié)的兩個(gè)頂點(diǎn)不相鄰，而是相對(duì)，所以才這樣猜的師：同學(xué)們感覺如何？生眾：可行師：說法確實(shí)合理，但為了表述更加明確，數(shù)學(xué)上稱之為“對(duì)角線”生眾（心有靈犀，點(diǎn)頭稱是）師：這是一般多邊形不同于三角形的一個(gè)地方，自然也成了我們今天研究的重點(diǎn).（師板書：對(duì)角線）（點(diǎn)評(píng)：教學(xué)至此，多邊形的相關(guān)概念在類比的引領(lǐng)下已經(jīng)悉數(shù)出場(chǎng)了，執(zhí)教者營造環(huán)境，誘使學(xué)生觀察、表述、畫圖、舉例，相互辯駁，思維聯(lián)動(dòng)，各個(gè)概念在執(zhí)教者的組織下形成并得以強(qiáng)化.）問題5：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，4邊形有多少條對(duì)角線？分成多少三角形？5邊形？6邊形？n邊形？（師組織小組討論）討論結(jié)果

6、：1條，2個(gè)三角形；2條，3個(gè)三角形；3條，4個(gè)三角形；從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對(duì)角線，分成（n-2）個(gè)三角形.師：你能確定一個(gè)n邊形一共有多少條對(duì)角線嗎？討論結(jié)果：n 邊形共有 條對(duì)角線（點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}5不但鞏固、深化了對(duì)對(duì)角線的認(rèn)識(shí)，揭示出多邊形對(duì)角線條數(shù)的一般結(jié)論，更重要的是為下一節(jié)課探尋多邊形的內(nèi)角和作了孕伏，這種瞻前顧后的“大局”意識(shí)非常重要，彰顯出執(zhí)教者的教學(xué)“大氣”.）二、四條線段足以撐起四邊形嗎？問題1：任意給出三條線段，能否構(gòu)成三角形？生眾：不能，需要滿足三邊屬性任意兩條線段的和大于第三條線段，否則，不能構(gòu)成師：舉個(gè)例子說明一下，好嗎？生10：長分別1，2，4的三條線

7、段就不行師：例子簡(jiǎn)單但不失典型性，很好問題2：那任何4條線段都能構(gòu)成四邊形嗎？生：一時(shí)語塞師：具體的考察一下如何？生：開始試生11：不一定，你看（板演：夸張地畫了一條長線段40，3條短線段5、10、15，形成反差，如圖4）圖4師：同學(xué)們看怎樣？能構(gòu)成四邊形嗎？生眾（大笑）：肯定不行師：這說明什么問題？生眾：構(gòu)成四邊形的線段也需要講條件！師：對(duì)，根據(jù)剛才同學(xué)的反例給予的啟示，結(jié)合三角形的構(gòu)成條件，我們猜想一下構(gòu)成四邊形的條件？生12：任意三邊之和大于第四邊，生13（反問）：這不和三邊關(guān)系一樣嗎？生14：只要保證三條較短線段的和大于最長線段即可.師（點(diǎn)睛）：是的，它類似于三角形的構(gòu)成條件，在識(shí)別時(shí)

8、，可借助生14的說法去確定，可縮短求解歷程.有了這個(gè)發(fā)現(xiàn)，我們就不愁判斷任何4條線段能否構(gòu)成四邊形了！師（追問）：5邊形的構(gòu)成條件我們能做出猜想嗎？6邊形呢？n邊形呢？生眾：（部分學(xué)生）任意n-1條邊之和大于第n邊；（部分學(xué)生）只要保證n-1條較短線段的和大于最長的線段即可.師：同學(xué)們使用類比，獲得兩種說法，都說得非常好，通過以上我們?cè)俅误w會(huì)了一般與特殊的辯證關(guān)系.小試牛刀：1長度為1 cm、2 cm、3 cm、4 cm的四條線段能構(gòu)成四邊形嗎？2若一個(gè)四邊形的三邊長為2cm、3cm、11cm，則它第四條邊長x的取值范圍是 .3246圖53.（2009年臺(tái)灣中考題）如圖5，用四個(gè)螺絲將四條不可

9、彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依序?yàn)?、3、4、6，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整。若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為何？（ ）a. 5 b. 6 c. 7 d. 10 答案：1.能；2. 6 cmx16 cm；3.c.（點(diǎn)評(píng)：學(xué)生畫龍老師點(diǎn)睛，體現(xiàn)了教為主導(dǎo)、學(xué)為主體的和諧，教材中并無本段內(nèi)容，但類似的問題在后續(xù)學(xué)習(xí)中時(shí)有出現(xiàn)，故而執(zhí)教者“風(fēng)物長宜放眼量”，以拓展為基發(fā)展學(xué)生的思維力，類比三角形構(gòu)成的條件探得多邊形各邊之間的關(guān)系.可見，執(zhí)教者組織的這段教學(xué)，一定程度地體現(xiàn)了“用教材教而不是教教材”的現(xiàn)代理念.其中小試牛刀中的3很好地聯(lián)通了四邊形

10、與三角形的互化關(guān)系，透出執(zhí)教者的良苦用心.）三：正反對(duì)照見真諦出示特殊多邊形圖片（圖6）圖6問題1：這些圖片集體呈現(xiàn)，較之前面的圖片有何差異？生15：正規(guī)，順眼師：對(duì)，這些圖片長得比較勻稱，但同學(xué)們知道它們叫什么嗎？生16：正正當(dāng)當(dāng)，應(yīng)該叫正多邊形吧？師：這位同學(xué)真會(huì)會(huì)意，的確叫正多邊形問題2：你能根據(jù)這些圖片說說怎樣給正多邊形一個(gè)界定？生17：各邊一樣長生18：不行，還需要各角一樣大，生19 ：沒必要，你看等邊三角形，不就是正三角形嗎，等邊三角形怎么定義的？不就是各邊都相等的三角形嗎？生18：你反問就能強(qiáng)詞奪理了，你舉的三角形只是一個(gè)特殊的圖形，不能代表全體生19（不服狀）：你說不行，舉個(gè)例

11、子讓我們看看生18：這還不好說，你看菱形，四條邊相等吧？是嗎？生19：還真是的（一番交鋒后，達(dá)成共識(shí)）各邊都相等、各角都相等的多邊形叫正多邊形.說明：有幾條邊就叫正幾邊形，如下：生20（冷不丁一句）：只有各角都相等不行嘛？生21（立刻回?fù)簦翰恍?，比如一般的長方形，四個(gè)角都是直角，行嗎？生20（頓悟）：噢！知道了圖7師：同學(xué)們你來我往，辯駁的精彩，舉出了很好的反例，讓同學(xué)們心服口服.現(xiàn)在，老師也有個(gè)疑問，除了剛才舉的反例，誰還能舉出其它的反例？這一下可難住了全體同學(xué)，學(xué)生一籌莫展，滿臉疑惑5分鐘后，終于有人發(fā)言了生22：先畫一個(gè)正五邊形，再把它壓扁了或拉長了，因?yàn)槲暹呅尉哂胁环€(wěn)定性，說著上黑板

12、畫圖示7圖8生眾：熱烈的掌聲生23（掌聲未息，快步登臺(tái)）：看我的反例：一個(gè)正方形上放一個(gè)正三角形，擦去重合的邊就行.（說著，畫出圖示8）生眾（唏噓一片）：呀！太經(jīng)典了師：這是兩個(gè)典型的各邊相等但不是正多邊形的反例，真了不起，不但五邊形的不穩(wěn)定性排上了用場(chǎng)，而且正多邊形的組合也展示了魅力.哪誰還能舉出另外一類：即滿足各角相等，但不是正多邊形的反例？圖9abcded/e/生24（穩(wěn)操勝券的神態(tài)）：這個(gè)好辦，我受同學(xué)22的啟發(fā)，把邊動(dòng)一動(dòng)就行了（圖9中的abcd/e/）（來了個(gè)大喘氣，學(xué)生都翹首以待）把邊（de）平移下來不就over了，生（大部分如夢(mèng)方醒）：對(duì)呀，平移能把角轉(zhuǎn)移啊，我們?cè)趺礇]想到呢！

13、（點(diǎn)評(píng)：執(zhí)教者瞅準(zhǔn)時(shí)機(jī)，在看似無疑處巧設(shè)疑問，觸動(dòng)了學(xué)生的思維神經(jīng)，把學(xué)生引上求索之路.本段教學(xué)的精彩就在于此！學(xué)生的一番唇劍舌槍，激烈的交鋒，在反正對(duì)照中，達(dá)成了視界的融合，對(duì)正多邊形的概念的內(nèi)涵與外延做了比較充分的交流，從學(xué)生的表情可以看出情緒的高漲，有效滲透了情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo).“真理愈辯愈明”，執(zhí)教者搭建了放飛學(xué)生思維的平臺(tái)，學(xué)生們爭(zhēng)先恐后登臺(tái)競(jìng)技，大展了個(gè)人風(fēng)采.）四、凹凸誰來見證？師（投影展示圖形）：觀察以下圖形，說說它們的異同？圖10圖11圖12圖13生25：圖10、11是四邊形，而圖12、13是5邊形生26：不對(duì)，圖13從外邊看是10邊形，里面是5邊形，還有三角形、四邊形，這還

14、真難說生27：圖13是個(gè)五角星，不過不標(biāo)準(zhǔn)生28：圖10、12都是往外鼓的，而圖11、13有的地方往里陷生29：圖10、12都是豐滿的，而圖11、13則顯得干癟師：說的都非常形象、具體，可見同學(xué)們的觀察之仔細(xì)，從數(shù)學(xué)的角度來看，幾邊形問題本節(jié)開始就解決了，現(xiàn)在我們從凸凹的角度加以區(qū)分（講解凸多邊形、凹多邊形）凸多邊形與凹多邊形圖14圖15在圖14（1）中，畫出四邊形abcd的任何一條邊所在的直線，整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖14（2）就不滿足上述凸多邊形的特征，因?yàn)槲覀儺媌d所在直線，整個(gè)多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，我們稱它為凹多邊形

15、.師：你能畫一個(gè)凹五邊形嗎？一人板演，其他同學(xué)畫在自己的練習(xí)本上，同位互查（巡視、指導(dǎo)中）生30：如圖15師：同學(xué)們畫得不錯(cuò)，看來識(shí)辨凹多邊形、凸多邊形沒太大問題.為了研究問題方便，以后沒有特別說明，多邊形是指凸多邊形.（點(diǎn)評(píng)：執(zhí)教者一個(gè)開放的發(fā)問，引發(fā)了學(xué)生的仁者見仁智者見智，發(fā)散了學(xué)生的思維，加深對(duì)這些圖形的多維認(rèn)識(shí)，最后落腳于“凹、凸”聚化了思維，概念水到渠成.如此的同中求異、異中求同的對(duì)比，給了學(xué)生話語權(quán)，拉長了獲知過程，見證了執(zhí)教者著力發(fā)展學(xué)生思維的育人理念）五、共話多邊形問題1：多邊形的定義及附件？問題2：多邊形的分類？問題3：構(gòu)成多邊形的條件？問題4：正多邊形的概念？問題5：整節(jié)

16、課我們經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想方法是？問題6：整節(jié)課我們多次用到的一種說明某一說法不合理的方法是？問題7：若你來設(shè)計(jì)后面的教材，你能做出怎樣的設(shè)想？（交流后達(dá)成共識(shí)）：?jiǎn)栴}1：（1）在同一平面內(nèi)，由n條不在同一直線上的線段首尾順次相接所組成的圖形稱為n邊形.（2）組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.（3）多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.（4）多邊形的邊和它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.（5）多邊形的對(duì)角線:連接多邊形的不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段.叫做多邊形的對(duì)角線.問題2：可分成凸多邊形和凹多邊形，沒有特別說明，均指凸多邊形問題3：只要保證n-1條短線段的和大于最長的線段即可.問題4：

17、各邊都相等、各角都相等的多邊形叫正多邊形.問題5：類比、轉(zhuǎn)化問題6：舉反例.問題7：安排多邊形的內(nèi)角和、外角和等的學(xué)習(xí).（點(diǎn)評(píng)：課堂小結(jié)是落葉歸根的“根”，執(zhí)教者通過問題串，引領(lǐng)學(xué)生共話多邊形，歷數(shù)了知識(shí)技能、思想方法，獲取成功之愉悅，實(shí)實(shí)在在地落成三維目標(biāo).其中的問題7，把類比方法進(jìn)一步遷移，在本節(jié)即將落幕時(shí)，為下一節(jié)課抹上一撇神秘.真可謂，課盡意綿.再次透射出執(zhí)教者敢于靈活駕馭教材的深厚功底）【總評(píng)】：1、秉承概念教學(xué)乃重中之重的理念.概念是數(shù)學(xué)的基石，是人進(jìn)行思維的基本單位，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，對(duì)概念的準(zhǔn)確把握可以說是衡量認(rèn)知水平的第一標(biāo)志. 李邦和院士一語道的：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不

18、是玩技巧技巧不足道也！”.有了這些認(rèn)知，如何將“知”落實(shí)在“行”上才是關(guān)鍵！教師往往在教上窮心竭力，而在學(xué)生的學(xué)上卻顯得有點(diǎn)綿軟，不經(jīng)意間就會(huì)忽略學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和認(rèn)知心理. 本節(jié)課不然，執(zhí)教者把重心放在引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)上，給了學(xué)生足夠的話語權(quán)，在還原概念的形成過程、關(guān)注學(xué)生是如何獲得數(shù)學(xué)概念、如何理解概念、以及概念與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)等的聯(lián)系上濃墨重彩，這種師生、生生的糾結(jié)、交互、碰撞，把徹徹底底的一節(jié)抽象乏味的概念課，賦予靈動(dòng)，煥發(fā)生機(jī)，從而澄明概念、深化概念.尤其是多邊形與正多邊形的兩個(gè)概念的教學(xué)，歷經(jīng)背景引入、豐富的例證、概括本質(zhì)特征、試下定義、概念辨析（正例、反例）等悉心打磨，從具體到抽象，從偏頗到完善，執(zhí)教者的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體參與和諧共進(jìn)，不時(shí)擦出智慧的火花，這種深度的參與，使課堂變得鮮活，各個(gè)概念在一波三折、多維互動(dòng)中落定.2、類比引領(lǐng)，凸顯其能.類比是數(shù)學(xué)的法寶.著名的數(shù)學(xué)大師波利亞曾說過“類比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”；著名的日本物理學(xué)家論及，類比是一種創(chuàng)造性的思維形式；天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)說過：“我診視類比勝于任何別的東西，它是最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的.”這些論斷都突出了類比的不菲作用