最近五全國大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競賽真題及答案(非數(shù)學(xué)類)

1、目錄第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷1第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷7第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷11第四屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷18第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷23（參加高等數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。）2009年 第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、填空題（每小題5分，共20分）1計算_，其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.解: 令，則， （*）令，則，2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足, 則_.解: 令，則，,解得。因此。3曲面平行平面的切平面方程是_.解: 因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，

2、因此，由，知，即，又，于是曲面在處的切平面方程是，即曲面 平行平面的切平面方程是。4設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則_.解: 方程的兩邊對求導(dǎo)，得因，故，即，因此二、（5分）求極限，其中是給定的正整數(shù).解 :因故因此三、（15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，為常數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.解 : 由和函數(shù)連續(xù)知，因，故，因此，當(dāng)時，故當(dāng)時，這表明在處連續(xù).四、（15分）已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.證 :因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在上連續(xù)，故由格林公式知（1）而關(guān)于和是對稱的，即知因此（2）因故由知即 五、（10分）已知，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.解

3、 設(shè)，是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，則和都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解，因此的特征多項式是，而的特征多項式是因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為，由和，知，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、（10分）設(shè)拋物線過原點.當(dāng)時,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解 因拋物線過原點，故，于是即而此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積即令，得即因此,.七、（15分）已知滿足, 且, 求函數(shù)項級數(shù)之和.解 ，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由知，于是下面求級數(shù)的和：令則即由一階線性非齊次微分方程公式知令，得，因此級數(shù)的和八、（10分

4、）求時, 與等價的無窮大量.解 令，則因當(dāng)，時，故在上嚴(yán)格單調(diào)減。因此即，又，所以，當(dāng)時, 與等價的無窮大量是。2010年 第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（參加高等數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。）一、（25分，每小題5分）（1）設(shè)其中求（2）求。（3）設(shè)，求。（4）設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。（5）求直線與直線的距離。解：（1）=(2) 令x=1/t,則原式=（3）二、（15分）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且且存在一點，使得。證明：方程在恰有兩個實根。解： 二階導(dǎo)數(shù)為正，則一階導(dǎo)數(shù)單增，f(x)先減后增，因為f(x)有小于0的

5、值，所以只需在兩邊找兩大于0的值。將f(x)二階泰勒展開：因為二階倒數(shù)大于0，所以，證明完成。三、（15分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線與在出相切，求函數(shù)。解：（這兒少了一個條件）由與在出相切得，=。上式可以得到一個微分方程，求解即可。四、（15分）設(shè)證明：（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)且時，級數(shù)發(fā)散。解：（1）0, 單調(diào)遞增當(dāng)收斂時，而收斂，所以收斂；當(dāng)發(fā)散時，所以，而，收斂于k。所以，收斂。（2）所以發(fā)散，所以存在，使得于是，依此類推，可得存在使得成立，所以當(dāng)時，所以發(fā)散五、（15分）設(shè)是過原點、方向為，（其中的直線，均勻橢球，其中（密度為1）繞旋轉(zhuǎn)。（1）求其轉(zhuǎn)動慣量；

6、（2）求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向的最大值和最小值。解：（1）橢球上一點p(x,y,z)到直線的距離由輪換對稱性，（2）當(dāng)時，當(dāng)時，六、(15分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線上，曲線積分的值為常數(shù)。（1）設(shè)為正向閉曲線證明（2）求函數(shù)；（3）設(shè)是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求。解：（1） l不繞原點，在l上取兩點a，b，將l分為兩段，再從a，b作一曲線，使之包圍原點。則有（2） 令由（1）知，代入可得上式將兩邊看做y的多項式，整理得由此可得解得：（3） 取為，方向為順時針2011年 第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（參加高等數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識，適當(dāng)

7、看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。）一 計算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求；解：（用兩個重要極限）：（2）.求；解：(用歐拉公式）令其中，表示時的無窮小量，（3）已知，求。解：二（本題10分）求方程的通解。解：設(shè)，則是一個全微分方程，設(shè)該曲線積分與路徑無關(guān)三（本題15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且均不為0，證明：存在唯一一組實數(shù)，使得。證明：由極限的存在性：即，又，由洛比達法則得由極限的存在性得即，又，再次使用洛比達法則得由得是齊次線性方程組的解設(shè)，則，增廣矩陣，則所以，方程有唯一解，即存在唯一一組實數(shù)滿足題意，且。四（本題

8、17分）設(shè)，其中，為與的交線，求橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值。解：設(shè)上任一點，令，則橢球面在上點m處的法向量為：在點m處的切平面為：原點到平面的距離為，令 則，現(xiàn)在求在條件，下的條件極值，令則由拉格朗日乘數(shù)法得：，解得或，對應(yīng)此時的或此時的或又因為，則所以，橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值分別為： ，五（本題16分）已知s是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分（）取上側(cè)，是s在點處的切平面，是原點到切平面的距離，表示s的正法向的方向余弦。計算：（1）；（2）解：（1）由題意得：橢球面s的方程為令則，切平面的法向量為，的方程為，原點到切平面的距離將一型曲面

9、積分轉(zhuǎn)化為二重積分得：記(2)方法一： 六（本題12分）設(shè)f(x)是在內(nèi)的可微函數(shù)，且，其中，任取實數(shù)，定義證明：絕對收斂。證明：由拉格朗日中值定理得：介于之間，使得，又得級數(shù)收斂，級數(shù)收斂，即絕對收斂。七（本題15分）是否存在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)f(x)，滿足，？請說明理由。解：假設(shè)存在，當(dāng)時，由拉格朗日中值定理得：介于0，x之間，使得，同理，當(dāng)時，由拉格朗日中值定理得：介于x，2之間，使得即，顯然，又由題意得即，不存在，又因為f(x)是在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)，即存在，矛盾，故，原假設(shè)不成立，所以，不存在滿足題意的函數(shù)f(x)。第四屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、（本大題共5小題，每小題6分

10、共30分）解答下列個體（要求寫出要求寫出重要步驟）(1) 求極限(2) 求通過直線的兩個互相垂直的平面和，使其中一個平面過點。(3) 已知函數(shù)，且。確定常數(shù)和，使函數(shù)滿足方程(4) 設(shè)函數(shù)連續(xù)可微，且在右半平面與路徑無關(guān)，求。(5) 求極限解(1) 因為 1分 而 ，且 3分所以 即 ， 故 2分(2) 過直線的平面束為 即 2分 若平面過點，代入的 ，即 ， 從而平面的方程為 2分 若平面束中與垂直，則 解得 ，從而平面的方程為 2分(3) ， 2分 2分要使 ，只有， 即 2分(4) 由 得 即 2分方程的通解為 3分由 得，故 1分(5) 因為當(dāng)時， 3分 2分 1分二、（本題10分）計

11、算解 ： 由于 3分應(yīng)用分部積分法，得 2分所以 2分當(dāng)時， ，令，由兩邊夾法則，得 3分注：如果最后不用夾逼法則，而用需先說明收斂。三、求方程的近似解，精確到0.001.解： 由泰勒公式 2分 令 得 ， 代入原方程得，即 4分 由此知 ， 4分四、（本題12分）設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，求，其中是曲線上點處的切線在軸上的截距。解：曲線上點處的切線方程為 令 ，則有，由此得 3分 且有 2分 由在的二階泰勒公式 2分 得 3分 所以 2分五、（本題12分）求最小實數(shù)，使得滿足的連續(xù)函數(shù)都 有 解： 由于 4分 另一方面 取，則 3分 而 3分 因此最小實數(shù) 2分六、（本題12分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，。區(qū)

12、域是由拋物面 和球面所圍起來的部分。定義三重積分 求的導(dǎo)數(shù)解法1： 記， 2分則在面上的投影為在曲線 上任取一點，則原點到點的射線和軸的夾角為 取，則對于固定的，考察積分差，這是一個在厚度為的球殼的積分，原點到球殼邊緣上的點的射線和軸夾角在與之間。我們使用球坐標(biāo)變換來做這個積分。由積分的連續(xù)性可知，存在，使得 4分這樣就有 當(dāng)時 ，故的右導(dǎo)數(shù)為 4分當(dāng)時，考察可以得到同樣的左導(dǎo)數(shù)，因此 2分解法2：令,則,其中， 2分故有 2分從而有 4分注意到，第一個積分為0，我們得到 4分七、（本題14分）設(shè)與為正項級數(shù)，證明： （1）若，則級數(shù)收斂； （2）若，且級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。證明：（1），則存

13、在正整數(shù)，對于任意的時， 4分 因而級數(shù)的部分和有上界，從而級數(shù)收斂； 4分（2）， 則存在正整數(shù)，對于任意的時， 3分有 于是由級數(shù)發(fā)散，得到級數(shù)發(fā)散。 3分第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、 解答下列各題（每小題6分共24分，要求寫出重要步驟）1.求極限.解 因為（2分）；原式(2分)；(2分)2.證明廣義積分不是絕對收斂的解 記，只要證明發(fā)散即可。（2分）因為。（2分）而發(fā)散，故由比較判別法發(fā)散。（2分）3.設(shè)函數(shù)由確定，求的極值。解 方程兩邊對求導(dǎo)，得 （1分）故，令，得或（2分）將代入所給方程得，將代入所給方程得，（2分）又，故為極大值，為極小值。（3分） 4.過曲線上的點a作切線

14、，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點a的坐標(biāo)。解 設(shè)切點a的坐標(biāo)為，曲線過a點的切線方程為（2分）；令，由切線方程得切線與軸交點的橫坐標(biāo)為。從而作圖可知，所求平面圖形的面積，故a點的坐標(biāo)為。（4分）二、（滿分12）計算定積分解 （4分） （2分）（4分） （2分）三、（滿分12分）設(shè)在處存在二階導(dǎo)數(shù)，且。證明 ：級數(shù)收斂。解 由于在處可導(dǎo)必連續(xù)，由得 （2分） （2分）由洛必塔法則及定義 （3分）所以 （2分）由于級數(shù)收斂，從而由比較判別法的極限形式收斂。（3分）四、（滿分12分）設(shè)，證明解 因為，所以在上嚴(yán)格單調(diào)增，從而有反函數(shù)（2分）。設(shè)是的反函數(shù)，則 （3分）又，則，所以（3分） （2分）五、（滿分14分）設(shè)是一個光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分。試確定曲面，使積分i的值最小，并求該最小值。解 記圍成的立體為v，由高斯公式 （3分）為了使得i的值最小，就要求v是使得的最大空間區(qū)域，即取 ，曲面 （3分） 為求最小值，作變換，則，從而 （4分）使用球坐標(biāo)計算，得 （4分）六、（滿分14分）設(shè)，其中為常數(shù)，曲線c為橢圓，取正向。求極限解 作變換（觀察發(fā)現(xiàn)或用線性代數(shù)里正交變換化二