中考數(shù)學(xué)信息題及其求解

1、中考數(shù)學(xué)信息題及其求解中考數(shù)學(xué)信息題及其求解河北 趙寶菊 信息題是近年中考中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，主要考查學(xué)生獲取信息、理解信息及應(yīng)用信息的能力，這類試題所給文字材料篇幅較長，信息量大由于大都和實際問題有關(guān)，所以它應(yīng)該屬于應(yīng)用題的范疇。也正因為文字敘述冗長，同時命題者又往往把有用信息與無用信息混雜在一起，故考生解題時往往難以駕馭。實際上只要按照閱讀理解-建立數(shù)學(xué)模型-求解的基本思路，這類問題并不難求解。本文對中考信息題作一歸類，并結(jié)合典型試題探討其求解方法。一、 推理型信息題這類問題往往給出足夠的信息，經(jīng)過簡單的推理即可解決，但要注意推理的準確性，這是正確解題的關(guān)鍵。例1 某音樂廳5月初決定在暑

2、假期間舉辦學(xué)生專場音樂會，入場券分為團體票和零售票，其中團體票占總票數(shù)的2/3。若提前購票，則給予不同程度的優(yōu)惠。在5月份內(nèi)，團體票每張12元，共售出團體票數(shù)的3/5；零售票每張16元，共售出數(shù)的1/2。如果在6月份內(nèi)，團體票按每張16元出售，并計劃在6月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應(yīng)按 每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持平？解析 本題貌似難題，但在理解題意的基礎(chǔ)上仔細推理并不難求解。 設(shè)總票數(shù)為a張，6月份售票應(yīng)按 每張x元定價,則有 5月份：團體票售出票數(shù)為，票款收入為零售票售出票數(shù)為，票款收入為 6月份：團體票所剩票數(shù)為，可收入為 零售票所剩票數(shù)為，可收入為 依題意，得 解這個方程

3、，得 x =19.2顯然，零售票應(yīng)按零售票應(yīng)按 每張19.2元定價才能使這兩個月的票款收入持平。二、 補充條件型： 顧名思義，這類問題往往缺少部分條件，考生須根據(jù)所給信息予以補充，具有開放性，即答案一般不唯一。例2 閱讀下面的文字后，解答問題。有這樣一道題目：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A(0,a),B(!,-2)_求證：這個二次函數(shù)圖像的對稱軸是直線x=2.題目中的橫線部分是一段被墨水污染了的無法辨認的文字.（1）根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式？若能，寫出求解過程；若不能，說明理由。（2）請你根據(jù)已有信息，在原題中的橫線上，添加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整

4、。解析 本題已知函數(shù)圖像經(jīng)過點A(0,a),B(!,-2)，則有 a=c, 2=abc b 又 二次函數(shù)圖像的對稱軸是直線x=2，則有 = 22a 解以上方程，得 a = 1, b =4, c =1故 能求出題目中二次函數(shù)的解析式，且所求解析式為 y= x24x 1當解析式求出只后，可供補充的內(nèi)容便多了。如：與軸的交點坐標為（0，1）；頂點坐標為（2，3）；a = 1或 b =4或 c =1；最值為3；b24ac= 12；不勝枚舉。三、 圖象信息題圖象信息題一般由圖象提供一組數(shù)據(jù)，要求考生通過讀圖，從圖中提取有用信息，通過圖象信息尋找數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并建立數(shù)學(xué)模型來求解。例3 以下是2002年

5、3月12日南國早報刊登的南寧市自來水價格調(diào)整表： 南寧市自來水價格調(diào)整表（部分） 單位：元/立方米 用水類別現(xiàn)行水價擬調(diào)整水價一、居民生活用水 072 1一戶一表第一解梯：月用水量在 030立方米/戶 082第二解梯：月用水量超過 30立方米/戶 123 2集體表略 則調(diào)整水價后某戶居民月用水量x（立方米）與應(yīng)交水費y(元)的函數(shù)圖像是（ ）： (A ) (B) (C) (D) 解析 由題中所給信息易知,當030時y=1.23x,故居民月用水量x與應(yīng)交水費y的函數(shù)圖像應(yīng)是（C）。 例4 小亮家最近購買了一套新房，準備用木質(zhì)地板鋪設(shè)居室，用瓷磚鋪設(shè)客廳。經(jīng)過市場調(diào)查得知，_鋪設(shè)木質(zhì)地板和鋪設(shè)瓷磚

6、的工錢不同。根據(jù)地面工程對所需費用（購買材料費和工錢）分別進行預(yù)算，通過列表，并用x(m2)表示面積，用y（元）表示鋪設(shè)費用，制成下圖。根據(jù)所給信息回答： （1）預(yù)算中居室費用 元/ m2, 客廳費用 元/ m2。 (2) 表示鋪設(shè)居室的費用y與面積x的函數(shù)關(guān)系是_,表示鋪設(shè)客廳的費用y與面積x的函數(shù)關(guān)系是_;(3)在小亮的預(yù)算中, 鋪設(shè)1 m2的瓷磚比鋪設(shè)1 m2的木質(zhì)地板工錢多5元,而購買1 m2的瓷磚是購買1 m2木質(zhì)地板費用的,那么,鋪設(shè)1 m2的木質(zhì)地板與1 m2的瓷磚的工錢各是多少? 購買1 m2的木質(zhì)地板與1 m2的瓷磚的費用各是多少元? 解析 由圖像提供的信息可明顯看出：居室面

7、積為30 m2，鋪設(shè)費用4050元；客廳面積為25m2，鋪設(shè)費用2750元，則有預(yù)算中居室費用為=135元/ m2, 客廳費用為 =110元/ m2。相應(yīng)地，鋪設(shè)居室的費用y與面積x的函數(shù)關(guān)系是y=135x,鋪設(shè)客廳的費用y與面積x的函數(shù)關(guān)系是y=110x.設(shè) 鋪設(shè)1 m2的木質(zhì)地板工錢為a元,則鋪設(shè)1 m2的瓷磚工錢為a+5b元；又設(shè)購買1 m2的木質(zhì)地板的費用為b元，則購買1 m2的瓷磚的費用為b元，據(jù)已知條件應(yīng)有 a+b=135 ; ( a+5)+b=110，解之得 a = 15 b = 120 這說明，鋪設(shè)1 m2的木質(zhì)地板工錢是15元，鋪設(shè)1 m2的瓷磚的工錢是15+5=20元；購買

8、1 m2的木質(zhì)地板的費用為120元，購買1 m2的瓷磚的費用是120 = 90元。四、圖表信息題所謂圖表信息題，是指通過圖表給出信息，因此正確讀表及理解是解題的關(guān)鍵。例5 南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運往B市銷售，共有飛機、火車、汽車三種運輸方式，現(xiàn)只可選擇其中的一種，這三種運輸工具的主要參考數(shù)據(jù)如下： 運輸工具途中速度（千米小時）途中費用（元千米）裝卸時間（小時） 裝卸費用（元）汽車50821000火車100442000飛機2001621000若這批水果在運輸（包括裝卸）過程中的損耗為200元/小時，設(shè)A、B兩地間的距離為x千米。 （1）如果用S1、S2、S3分別表示使用汽車、火車、飛機運

9、輸時的總支出費用（包括損耗）， 求出S1、S2、S3與x間的函數(shù)關(guān)系式。 （2）應(yīng)采用哪種運輸方式，才能使運輸時的總支出費用最小？解析 如上所述，首先要建立數(shù)學(xué)模型，即建立一個求費用與損耗之和的函數(shù)關(guān)系式。設(shè)AB兩地距離為x千米，則采用三種運輸工具時運輸過程中的費用和時間可列表如下：運輸工具途中費用（元）途中時間（小時）汽車8x1000x502火車4x2000x1004飛機16x1000x2002分別用 S1、S2、S3 表示汽車、火車、飛機運輸時的費用總支出，則有S1=8x1000（x502）300即S1=14x1600 同理，S2=7x3200 ；S3=17.5x1600。因為x0 故 S

10、1S3 恒成立；當S1S2時，有x16007；當S2S3 時，有 x320021 ，因而：（1）當x16007千米時，S1S2 ，S1S3，即用汽車運輸較好；（2）當 x=16007 千米時，S1=S2S3 ，即用汽車或火車運輸都較好；（3）當 x16007千米時，S1S2 ，S3S2 ，即用火車運輸較好。五、 其它類型信息題：除上述幾種信息題外，還有的試題不僅具備信息題的基本特點，同時也給出計算過程中可能用到的公式，這樣求解的繁雜性予以化解，難度也隨之下降。所以，我們要注意靈活地使用這些公式。例6 在計算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21時，我們發(fā)現(xiàn)：從第一個數(shù)開始，以后的每

11、個數(shù)與它的前一個數(shù)的差都是一個相同的定值。具有這種規(guī)律一列數(shù)，除了直接相加外，我們還可以用公式S=na來計算他們的和。（公式中的 n表示數(shù)的個數(shù)，a表示第一個數(shù)的值,d表示這個相差的定值） 10(101)那末3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=1032 2用上面的知識解決下列問題：為保護長江，減少水土流失，我市某縣決定對原有的坡荒地進行退耕還林。從1995年起在坡荒地上植樹造林，以后每年又比上一年多植相同面積的樹木改造坡荒地，由于每年因自然災(zāi)害、樹木成活率、人為因素等的影響，都有相同數(shù)量的新坡荒地產(chǎn)生，下表為1995、1996、1997三年的坡荒地面積和植樹的面積的統(tǒng)計。假設(shè)坡

12、荒地全部種上樹后，不再水土流失造成新的坡荒地，問到哪一年，可以將全縣所有坡荒地全部種上樹木？ 1995年 1996年 1997年 每年植樹的面積（畝） 1 000 1 400 1 800植樹后坡荒地的實際面積（畝） 25 200 24 000 22 400解析 從表中可知 ，1995年植樹1 000畝，以后每年均比上一年多植400畝樹，而1995年實有坡荒地25 200畝，植樹1 400畝后，實有坡荒地減少25 20024 000=1 200畝，即樹木實際成活1 200畝，因此每年新產(chǎn)生的坡荒地為本1 4001 200= 200畝。設(shè)從1996年起（1996年算第1年），到第n年全縣的所有坡荒地全部種上樹木，則