15機械振動習題解答

1、第十五章機械振動一選擇題1. 對一個作簡諧振動的物體，下面哪種說法是正確的？（）A. 物體在運動正方向的端點時，速度和加速度都達到最大值；B. 物體位于平衡位置且向負方向運動時，速度和加速度都為零；C. 物體位于平衡位置且向正方向運動時，速度最大，加速度為零；D. 物體處負方向的端點時，速度最大，加速度為零。 解：根據(jù)簡諧振動的速度和加速度公式分析。答案選C。2. 下列四種運動（忽略阻力）中哪一種不是簡諧振動？（）A. 小球在地面上作完全彈性的上下跳動；B. 豎直懸掛的彈簧振子的運動；C. 放在光滑斜面上彈簧振子的運動；D. 浮在水里的一均勻球形木塊，將它部分按入水中，然后松開，使木塊上下浮動

2、。 解：A中小球沒有受到回復力的作用。答案選A。3. 一個輕質彈簧豎直懸掛，當一物體系于彈簧的下端時，彈簧伸長了I而平衡。則此系統(tǒng)作簡諧振動時振動的角頻率為（）5.如圖所示，質量為m的物體，由勁度系數(shù)為kl和k2的兩個輕彈簧連接，在光滑解 由kl=mg可得k=mg/l，系統(tǒng)作簡諧振動時振動的固有角頻率為故本題答案為B。4. 一質點作簡諧振動（用余弦函數(shù)表達），若將振動速度處于正最大值的某時刻取作 t=0，則振動初相為（)A.nB. 0C.nD. n22解由xAcos( t )可得振動速度為vdxA sin（ t）。速度正最大時dt有 cos(t )0 , sin( t)1，若 t=o.則n。2

3、故本題答案為A。導軌上作微小振動，其振動頻率為（）A.B.mkik2mkik2C.選擇題5圖D.2 n mkk21解：量分別為ki.k22 n m（kik2）設當m離開平衡位置的位移為x,時，勁度系數(shù)為ki和k2的兩個輕彈簧的伸長Xi 和 X2,顯然有關系此時兩個彈簧之間、Xi X2 X第二個彈簧與和物體之間的作用力相等。因此有kixik2 x2d2x mrdt2k1x1由前面二式解出xik2xkik2，將X1代入第三式，得到d2x將此式與簡諧振動的動力學方程比較，并令選擇題6圖A. vC. vrki k21 ki k22 n , mki .k2B. vD. v1 kik22 n m1 ；ki

4、 .k22 n m(kik2)kik2xkik22ki.k2,-，即得振動頻率m(kik2)i ；ki.k22 n m(ki k2) 所以答案選D。6.如題圖所示，質量為 m的物體由勁度系數(shù)為 ki和k2的兩個輕彈簧連接，在光滑 導軌上作微小振動，則該系統(tǒng)的振動頻率為（）解：設質點離開平衡位置的位移是X,假設X0，則第一個彈簧被拉長 X,而第二個彈簧被壓縮X,作用在質點上的回復力為（kix+ k2X）。因此簡諧振動的動力學方程d2x mpdt21k1k22 n , m(kik2)x令 2 k1k2m所以答案選B。7.彈簧振子在光滑水平面上作簡諧振動時，彈性力在半個周期內所作的功為，即vA. k

5、A2 B. (1/2 )kA2C. (1/4) kA2D. 0解：每經過半個周期，彈簧的彈性勢能前后相等，彈性力的功為0，故答案選D。8.加為原來的A. 2E彈簧振子作簡諧振動，總能量為E,若振幅增加為原來的4倍，則它的總能量為B. 4EC. E2倍，振子的質量增()D. 16E解：因為1 2-kA2，所以答案選B。29.已知有同方向的兩簡諧振動，它們的振動表達式分別為0.25 cmx1 5cos(10t 0.75 ncm； x2 6cos(10t則合振動的振幅為A. 61 cmB. -11 cmC.11cmD. 61cm解 A .A2 A；2A1A2 cos( 21) 52622 5 6 c

6、os(0.25n 0.7561所以答案選A。10.程應為：一振子的兩個分振動方程為X1 - 4 cos 3 t , X2 - 2 cos (3 t + n )，則其合振動方( )A.C.解：x - 4 cos (3 t + n )B.x - 4 cos (3 tn )x - 2 cos (3 t n )D.x - 2 cos 3 tx -x 1+ x 2- 4 cos 3 t +2 cos (3 t+ n)- 4 cos 3 t 2cos 3 t- 2 cos 3 t所以答案選D。A和B ;先使頻率為 800Hz797Hz音叉B和C同)D.797 HzA和音叉C同時振動時,1H z，顯然音叉C

7、的頻率11.為測定某音叉C的頻率，可選定兩個頻率已知的音叉的音叉A和音叉C同時振動，每秒鐘聽到兩次強音；再使頻率為 時振動，每秒鐘聽到一次強音，則音叉C的頻率應為：(A. 800 H zB. 799 H zC. 798 H z解：拍的頻率是兩個分振動頻率之差。由題意可知：音叉 拍的頻率是2 Hz，音叉B和音叉C同時振動時，拍的頻率是 應為798 H z。所以答案選Co 二填空題n 2 x作用下沿 x軸運動，其運動的周期1. 一質量為 m的質點在力F =為 o2. 如圖，一水平彈簧簡諧振子振動曲線如圖所示，振子處在位移為零，速度為3A、加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)，對應曲線上的 點，振子處在位移

8、的絕對值為A、速度為零、加速度為3 2A和彈性力為kA的狀態(tài)，則對于曲線上的 點。解：b ; a、e o填空題2圖3. 一簡諧振動的振動曲線如圖所示，相應的以余弦函數(shù)表示的該振動方程為x =_ m o解：0.04 cos t ) o4. 一物體作簡諧振動，其振動方程為 x = 0.04 cos (5 n t / 3 n / 2 ) m。(1) 此簡諧振動的周期T =(2) 當t = 0.6 s時，物體的速度 v =o解：(1)由 5 n / 3 =2 n / T,得到 T= 1.2s; (2) v= 0.04 5n /3si n (5 n t / 3 n / 2 ), 當 t = 0.6 s

9、時，v = 0.209 m . s -。5. 一質點沿x軸做簡諧振動，振動中心點為x軸的原點。已知周期為T,振幅為A,(1)若t =0時刻質點過x=0處且向x軸正方向運動，則振動方程為 ; (2)若t =0時質點位于x=A/2處且向x軸負方向運動，則振動方程為 oAcos(2/2); (2)A cos(2% T |)6. 圖中用旋轉矢量法表示了一個簡諧振動，旋轉矢量的長度為 0.04m ,旋轉角速度3 = 4n rad/s，此簡諧振動以余弦函數(shù)表示的振動方程為x=。 、解：t=0時x=0 , v0，所以振動的初相位是n /2。故x | o廠Jxt = 0填空題6圖n= 0.04cos(4冗 t

10、 -) 7. 質量為m的物體和一個彈簧組成的彈簧振子，其固有振動周期為 T,當它作振幅為A的簡諧振動時，此系統(tǒng)的振動能量E = 解：因為k m 2 m4，所以E 1 kA2 2冗2m篤。T22T28. 將質量為0.2 kg的物體，系于勁度系數(shù)k = 19 N/m的豎直懸掛的彈簧的下端。假定在彈簧原長處將物體由靜止釋放，然后物體作簡諧振動，則振動頻率為 振幅為解: 1.55 Hz ;2X0 v(2=0.103m(1)在s時速度為零；(2)在s時動能取大；(3)在s時加速度取正的取大值。:(1)0.5(2n+1),n=0,1,2,3 ；9.已知一簡諧振動曲線如圖所示，由圖確定:解(2) n, n=

11、0,1,2,3；(3) 0.5(4n+1) , n=0,1,2,3。x(m)填空題9圖10. 一質點作簡諧振動，振幅為A,當它離開平衡位置的位移為x -時,2t(s)其動能Ek和勢能Ep的比值Ep解勢能E p如2-kA281 2,總機械能為E -kA2，動能Ek23 kA28EkEp11.兩個同方向同頻率簡諧振動的表達式分別為2x16.0 10 2 cos(- t ) (SI) , x2T 4動的表達式為(SI)。解 本題為個同方向同頻率簡諧振動的合成。(1)解析法合振動為X為X2 ,22 n nx 6.0 10 2 cos( t )T 422 n210 5 cos( t) sin( t)TT

12、4.04.010 2 costT2,2 n,10 cos( tn(si)n42 n7.2 10 cos( t T，則其合振其中11.3(2)旋轉矢量法如圖所示，用旋轉矢量 Ai和A分別表示兩個簡諧振動xi和X2,合振動為Ai和A2的合矢量A，按矢量合成的平行四邊形法則A 10 2. 62427.2 10 2 m，tanA1 sin 1A2 sin 21A1 cos 1A2 cos 2511.3故合振動的表達式為22 n 一 小、x 7.2 10 cos( t 11.3 )三計算題1.已知一個簡諧振動的振幅A = 2 cm，圓頻率3 = 4 n s 1,以余弦函數(shù)表達運動規(guī)律時的初相位 =n /

13、 2。試畫出位移和時間的關系曲線(振動曲線) 。解：圓頻率3 = 4 n S 1,故周期T=2 n / 3 = 2 n /4 n =0.5s，又知初相位 =n / 2,故 位移和時間的關系為 x = 0.02COS (4 n t + n / 2) m，振動曲線如下圖所示。x(m)0.020.250.50t(s)0.022. 一質量為0.02kg的質點作簡諧振動，其運動方程為x = 0.60 cos(5 t n /2) m。求：(1)質點的初速度;(2)質點在正向最大位移一半處所受的力。解：(1)dx vdtn、3.0s in (5t)2nV03.0sin() 3.0 m/s2(2)F ma m

14、 xx=A/2=0.3 m 時，F(xiàn) 0.02 520.30.15 N。3. 一立方形木塊浮于靜水中，其浸入部分高度為a。今用手指沿豎直方向將其慢慢壓下，使其浸入水中部分的高度為b，然后放手讓其運動。試證明：若不計水對木塊的粘滯阻力，木塊的運動是簡諧振動并求出周期及振幅。 證明：選如圖坐標系：，靜止時：mg任意位置時的動力學方程為:mg gxSgaSdx2m2dt2將(1)代入 得 gS(x a)dx2m 2dt2(1).2,2d xd y令 y x a，貝U 22dt2dt2，上式化為:gSydyj2m一dt2令2 gS得：頭 2y 0-m dt上式是簡諧振動的微分方程，它的通解為：y Aco

15、s（ t 0）所以木塊的運動是簡諧振動振動周期：Tt 0 時，Xo0振幅:Ab a8cm?，F(xiàn)在這根彈簧下端懸掛4. 在一輕彈簧下懸掛 mo=ioog的物體時，彈簧伸長m=250g的物體，構成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動4cm，并給以向上的21cm/s的初速度（令這時t=0）.選x軸向下，求振動方程解：在平衡位置為原點建立坐標，由初始條件得出特征參量。彈簧的勁度系數(shù)k 叫g / l。當該彈簧與物體 m構成彈簧振子，起振后將作簡諧振動，可設其振動方程為:x Acos t 角頻率為 . k / m代入數(shù)據(jù)后求得7 rad s 1以平衡位置為原點建立坐標，有：x0 0.04 m, v00.21

16、m s 1據(jù) A . X。2 (V0 / )2 得：A 0.05 m據(jù) cos 1 X 得0.64 rad,由于 v0 0,應取 0.64 radA于是，所求方程為：x 0.05cos(7t 0.64) m據(jù) cos 1 x得/ 2 ,由于v0 0,應取 / 2A于是，其振動方程為：x20.06cos(10t/2) m1）振動5. 已知某質點作簡諧運動，振動曲線如題圖所示，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求（表達式，（2）與P點狀態(tài)對應的相位，（3）與P點狀態(tài)相應的時刻。解（1 ）設振動表達式為x = A cos （ t+ ）由題圖可見，A=0.1m ,當t = 0時，有X00.1 cos 0.05m,這樣得

17、到n。由振3動曲線可以看到，在 t = 0時刻曲線的斜率大于零，故t =0時刻的速度大于零，由振動表達式 可得V0 =2 sin 0即sin 0。所以V m = v 0,= 0此時小球的動能 Ek0 = m vo2 / 2。經過1 / 3秒后，速度為 v = v0 c o s 2 n / ( 3T) = vo /2。其動能2 2Ek = m v / 2 = m v0 / 8 所以Ek / E0 = 1/ 4，即動能是原來的1/ 4倍。9. 一質點作簡諧振動，其振動方程為：x = 6.0 X 10-2 cos ( n t / 3 n / 4) m。(1) 當x值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半

18、？(2) 質點從平衡位置移動到此位置所需最短時間為多少？解：(1)勢能Ep=kx2/ 2，總能量E =kA2/2。根據(jù)題意，kx2/ 2 =kA2 /4,得到x A/ .24.24 10 2m，此時系統(tǒng)的勢能為總能量的一半。(2)簡諧振動的周期 T = 2 n /o = 6 s，根據(jù)簡諧振動的旋轉矢量圖，易知從平衡位 置運動到x A/ .2的最短時間t為T / 8，所以t = 6 / 8 = 0.75 s10. 如圖所示，勁度系數(shù)為 k,質量為m0的彈 簧振子靜止地放置在光滑的水平面上，一質量為m的子彈以水平速度 v1射入m0中，與之一起運動。 選m、m0開始共同運動的時刻為t = 0，求振動

19、的固有角頻率、振幅和初相位。解：碰后振子的質量為m+ m0，故角頻率k設碰撞后系統(tǒng)的速度為v0碰撞過程中動量守恒，故得到vomvi 。系統(tǒng)的初，m0 m11始動能為（m m）v0，在最大位移處全部轉換為彈性勢能kA2，即振幅22Amomk vo2 mmv1. k(mom). k(mom)令振動方程為xAcos( t),則速度v 空Asin(dtt)。當 t=o 時，A cosx o, v0Asi nnvo0，可解出初相位一211. 一個勁度系數(shù)為 k的彈簧所系物體質量為 m0，物體在光滑的水平面上作振幅為 A的簡諧振動時，一質量為 m的粘土從高度h處自由下落，正好在（a）物體通過平衡 位置時，

20、（b）物體在最大位移處時，落在物體m0上。分別求：（1）振動的周期有何變化？ （ 2）振幅有何變化？解：（1 ）物體的原有周期為To 2 n m/k ,粘土附上后，振動周期變?yōu)? n （mo m）/k，顯然周期增大。不管粘土是在何時落在物體上的，這一結論都正 確。V0變?yōu)閂,根據(jù)動量守（2）設物體通過平衡位置時落下粘土，此時物體的速度從 恒定律，得到又設粘土附上前后物體的振幅由 有1 2 mo Vo21(mo2A22 1m)v kA2由以上三式解出 AmomomA0，m2movvo物體在最大位移處時落下粘土,12.如題圖所示，一勁度系數(shù)為 為m1的物體，放在光滑的水平面上。 的定滑輪與m1相連

21、，求其系統(tǒng)的振動圓頻率。kA 丄2 2k的輕彈簧，一端固定在墻上，另一端連結一質量將一質量為m2的物體跨過一質量為 m，半徑為R2kA，此時振幅不變。解 方法一：以彈簧的固有長度的端點為坐標原點，向右為正建立坐標 S。對m1和m2應用牛頓第二定律、對 m應用剛體定軸轉動定律，得到TikS m1ad2Sm2gT2m2ad2S-mR22解上面的方程組得(mim2-m)筲 k(S2 dt2m2g嚴)令x S寧，上式簡化為標準的振動方程d2x dt2mikxm2 m /2系統(tǒng)的振動圓頻率k,m1 m2m/2方法二：在該系統(tǒng)的振動過程中，只有重力和彈簧的彈性力做功，因此該系統(tǒng)的機械能守恒。1 & kS2

22、1 2 m1v21 212Jm?v2 2m2gS 0將-和JR丄mR2代入，2得到-kS222dS、2m2m)()dtm2gS 0將上式對時間求一階導數(shù)，得到2(mi m2 如栄 k(S 于)0上式和解法一的結果一樣。同樣，圓頻率為mi m2m/2(T2TJR J加速度和角加速度之間具有關系a 1 d2SR R dF13. 一物體同時參與兩個同方向的簡諧振動：xi= 0.04 cos (2 n t + n /2) m ; X2 = 0.03cos (2n t + n ) m。求此物體的振動方程。解：這是兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成，合成后的振動仍為同頻率的簡諧振 動。設合成運動的振動方程為：x = A cos(3 t + )則A 2 = A i2 +A 22 +2 A iA 2 cos( 21)式中2 i = n n / 2 = n / 2。代入上式得22A 435 cm又A1 sin 1 A2 sin 24tan =A1 cos 1 A2 cos 23