等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)和題型歸納

1、等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)和題型歸納 1 / 91 / 91 等差數(shù)列 一等差數(shù)列知識點(diǎn)：一等差數(shù)列知識點(diǎn)： 知識點(diǎn)知識點(diǎn) 1 1、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的定義: : 如果一個數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列 就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 d 表示 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 知識點(diǎn)知識點(diǎn) 2 2、等差數(shù)列的判定方法、等差數(shù)列的判定方法: : 定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭

2、 頭 頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 n adaa nn 1 n a 等差中項(xiàng)：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 n a 21 2 nnn aaa n a 知識點(diǎn)知識點(diǎn) 3 3、 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式: : 如果等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則等差數(shù)列的通項(xiàng)為 n a 1

3、 ad 該公式整理后是關(guān)于 n 的一次函數(shù) 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 dnaan) 1( 1 知識點(diǎn)知識點(diǎn) 4 4、等差數(shù)列的前、等差數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和項(xiàng)和: : 2 )( 1n n aan S d nn naSn 2 ) 1( 1 對于公式 2 整理后是關(guān)于 n 的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù) 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 知識點(diǎn)知識點(diǎn) 5 5、 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭

4、 頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭等差中項(xiàng) 等差中項(xiàng): : 如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng) 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭即： 或aAbAab 2 ba A baA2 在一個等差數(shù)列中，從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng) 與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng) 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭

5、頭 頭頭 頭 頭 知識點(diǎn)知識點(diǎn) 6 6、等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì): : 等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)， n an m am 且，公差為，則有nm ddmnaa mn )( 對于等差數(shù)列，若，則 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 n aqpmn qpmn aaaa 也就是： 23121nnn aaaaaa 若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前 n 項(xiàng)的和，那么， n a n S * Nk k S kk SS 2 成等差數(shù)列 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭

6、頭頭 http:/ http:/ 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭頭 頭 頭如下圖所示： kk SS 23 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 10、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：若項(xiàng)數(shù)為，則，且n * 2n n 21nnn Sn aa ，若項(xiàng)數(shù)為，則，且， SSnd 偶奇 1 n n Sa Sa 奇 偶 * 21nn 21 21 nn Sna n SSa 奇偶 （其中，） 1 Sn Sn 奇 偶 n Sna 奇 1 n Sna 偶 等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)和題型歸納 2 / 92 / 92 二、題型選析：二、題型選析： 題型一、計(jì)算

7、求值（等差數(shù)列基本概念的應(yīng)用）題型一、計(jì)算求值（等差數(shù)列基本概念的應(yīng)用） 1、.等差數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為 a-6，2a -5， -3a +2，則 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2在數(shù)列an中，a1=2，2an+1=2an+1，則 a101的值為 （） A49 B50 C51 D52 3等差數(shù)列 1，1，3，89 的項(xiàng)數(shù)是（ ） A92 B47 C46 D45 4、已知等差數(shù)列中，的值是( ) n a 12497 , 1,16aaaa則 ( ) A 15 B 30 C 31 D 64 5. 首項(xiàng)為24 的等差數(shù)列，從第 10 項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是

8、（ ） A.d B.d3 C. d3 D.d3 3 8 3 8 3 8 6、.在數(shù)列中，且對任意大于 1 的正整數(shù) ，點(diǎn)在直 n a3 1 an),( 1nn aa03 yx 上，則=_. n a 7、在等差數(shù)列an中，a53，a62，則 a4a5a10 8、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（ ） n an n S則 432 , 3, 1Saa （A）12（B）10（C C）8（D）6 9、設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，則_. n a)Nn( 2aa , 7 a n1n1 且滿足 1721 aaa 10、已知an為等差數(shù)列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，則 a5 = _ 11、已知數(shù)列的通項(xiàng) an= -5n+

9、2,則其前 n 項(xiàng)和為 Sn= . 12、設(shè)為等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，14，則. n S n a 4 S30SS 710 9 S 題型二、等差數(shù)列性質(zhì)題型二、等差數(shù)列性質(zhì) 1、已知an為等差數(shù)列，a2+a8=12,則 a5等于（ ） (A)4 (B)5(C)6(D)7 2、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ） n S n an 7 35S 4 a A B C D8765 3、 若等差數(shù)列中，則 n a 3710114 8,4,aaaaa 7 _.a 4、記等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為，若，則該數(shù)列的公差 d=（ ） n a n S4 2 S20 4 S A7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差數(shù)

10、列中，已知，則 n 為（ ） n a 3 1 a14aa 52 33an （A）48 （B）49 （C）50 （D）51 6.、等差數(shù)列an中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 項(xiàng)和 Sn=100,則 n=（ ） (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、設(shè) Sn是等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，若（ ） n a 5 9 3 5 , 9 5 S S a a 則 等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)和題型歸納 3 / 93 / 93 A1 B1 C2 D 2 1 8、已知等差數(shù)列an滿足 1231010 則有( ) A11010 B21000 C3990 D5151 9、如果，為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，

11、則( ) 1 a 2 a 8 a0d （A） （B） （C）+ （D）= 1 a 8 a 45 a a 8 a 1 a 45 a a 1 a 8 a 4 a 5 a 1 a 8 a 45 a a 10、若一個等差數(shù)列前 3 項(xiàng)的和為 34，最后 3 項(xiàng)的和為 146，且所有項(xiàng)的和 為 390，則這個數(shù)列有（ ） （A）13 項(xiàng) （B）12 項(xiàng) （C）11 項(xiàng) （D）10 項(xiàng) 題型三、等差數(shù)列前題型三、等差數(shù)列前 n n 項(xiàng)和項(xiàng)和 1、等差數(shù)列中，已知，則其前項(xiàng)和 n a 12310 aaaap 98nnn aaaq n n S 2、等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 （ ）, 4 , 1 , 2 A.

12、B. C. D. 43 2 1 nn73 2 1 nn43 2 1 nn73 2 1 nn 3、已知等差數(shù)列滿足，則 （ ） n a0 99321 aaaa A. B. C. D. 0 991 aa0 991 aa0 991 aa50 50 a 4、在等差數(shù)列中， n a78,15 21321 nnn aaaaaa155 n S 則 。n 5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若（ ） n a n S 246 2,10,SSS則等于 A12 B18 C24 D42 6、若等差數(shù)列共有項(xiàng)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為 44，偶數(shù)項(xiàng)的和為 33，12 n * Nn 則項(xiàng)數(shù)為 （ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

13、 7、 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 n an n S 3 9S 6 36S 789 aaa 8、 若兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別是，已知，則等于（ n a n bn nn ST， 7 3 n n Sn Tn 5 5 a b ） 7 2 3 27 8 21 4 題型四、等差數(shù)列綜合題精選題型四、等差數(shù)列綜合題精選 1、等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和記為 Sn.已知 n a.50,30 2010 aa （）求通項(xiàng)； （）若 Sn=242，求 n. n a 2、已知數(shù)列是一個等差數(shù)列，且，。 n a 2 1a 5 5a （1）求的通項(xiàng)；（2）求前 n 項(xiàng)和的最大值。 n a n a n a n S 等差數(shù)列

14、知識點(diǎn)總結(jié)和題型歸納 4 / 94 / 94 3、設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知， n a n S n an7 7 S ，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求。75 15 S n T n Sn n n T 4、已知是等差數(shù)列，；也是等差數(shù)列， n a2 1 a18 3 a n b4a 22 b 。 3214321 aaabbbb （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和的公式； n bn n S （2）數(shù)列與是否有相同的項(xiàng)？ 若有，在 100 以內(nèi)有幾個相同項(xiàng)？若沒有，請說明理由。 n a n b 5 5、設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng) a1及公差 d 都為整數(shù)，前 n 項(xiàng)和為 Sn. ()若 a11=0,S14=98,求數(shù)列

15、an的通項(xiàng)公式； ()若 a16，a110，S1477，求所有可能的數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 6、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為( )yf x ( ) 62fxx n a ，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。 ()求數(shù)列的通項(xiàng)公式； n S( ,)() n n SnN ( )yf x n a ()設(shè),是數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù) m； 1nn n aa 3 b n T n b 20 n m T nN 五、等差數(shù)列習(xí)題精選 1、等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，則它的第 5 項(xiàng)為（ ） n ax12 x24 x A、 B、 C、5 D、4 55 x12 x 2、設(shè)等

16、差數(shù)列中，,則的值等于（ ） n a17, 5 94 aa 14 a A、11 B、22 C、29 D、12 3、設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若， n a 123 15aaa 123 80a a a 則( ) 111213 aaa A B C D1201059075 等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)和題型歸納 5 / 95 / 95 4、若等差數(shù)列的公差，則 （ ） n a0d （A） （B） 5362 aaaa 5362 aaaa （C） （D） 與的大小不確定 5362 aaaa 62a a 53a a 5、 已知滿足，對一切自然數(shù)均有，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值 n an 1nn aa 2 n ann 范圍

17、是（） 0003 6、等差數(shù)列為 （ ） daaadaan成等比數(shù)列，則若公差中， 5211 , 0, 1 (A) 3 (B) 2 (C) (D) 2 或22 7、在等差數(shù)列中，則 n a)(,qppaqa qp qp a A、 B、 C、0 D、qp )(qp pq 8、設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)和為 12，前三項(xiàng)的積為 48，則它的首項(xiàng)是 n a A、1 B、2 C、4 D、8 9、已知為等差數(shù)列， 135246 105,99aaaaaa ，則 20 a 等于（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D.7 10、已知 n a為等差數(shù)列，且 7 a2 4 a1, 3 a0,則公差 d

18、 A.2 B. 1 2 C. 1 2 D.2 11、在等差數(shù)列 n a中， 28 4aa,則 其前 9 項(xiàng)的和 S9等于 （ ） A18 B 27 C 36 D 9 12、設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S，若 3 9S ， 6 36S ，則 789 aaa（） A63 B45 C36 D27 13、在等差數(shù)列中， n a78,15 21321 nnn aaaaaa155 n S 則 。n 14、數(shù)列是等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和可以表示為 （ ） n an A. B. CBnAnSn 2 BnAnSn 2 C. D. CBnAnSn 2 0aBnAnSn 2 0a 等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)和題型歸納

19、6 / 96 / 96 小結(jié)小結(jié) 1、等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則 A 叫做與的等差中項(xiàng)，且, ,a A bab 2 ab A 2、為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為， （公差為） ；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，2 , ,2ad ad a ad add ,（公差為 2）3 ,3ad ad ad add 3、當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，0d 11 (1) n aanddnadn 且斜率為公差；若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若d0d 0d 公差，則為常數(shù)列。0d 4、當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有mnpq qpnm aaaa2mnp .2 m

20、np aaa 5、若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 n a n b n ka nn kapbkp 、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列； * ( ,) p nq ap qN 232 , nnnnn SSSSS n a a 等差數(shù)列參考答案等差數(shù)列參考答案 題型一：計(jì)算求值題型一：計(jì)算求值 題號題號 1234567 答案答案 B BD DC CA AD D3n3n2 2-49-49 題號題號 891011121314 答案答案 C C1531531515-(5n-(5n2 2+n)/2+n)/25454 等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)和題型歸納 7 / 97 / 97 題型二、等差數(shù)列的性質(zhì)題型二、等差

21、數(shù)列的性質(zhì) 1 1、C C 2 2、D D 3 3、1212（a a3 3+a+a7 7-a-a10 10+a +a11 11- - a a4 4=8+4=a=8+4=a7 7=12=12） 4 4、C C 5 5、C C 6 6、B B 7 7、A A 8 8、C C 9 9、B B 1010、A A 題型三、等差數(shù)列前題型三、等差數(shù)列前 n n 項(xiàng)和項(xiàng)和 1 1、5n(p+q)5n(p+q) 2 2、B B 3 3、C C 4 4、n=10n=10 5 5、2424 6 6、S S 奇奇/S /S 偶偶=n/n-1=4/3, =n/n-1=4/3, n=4n=4 7 7、4545 8 8、

22、D D（a a5 5/b/b5 5=S=S9 9/T/T9 9） 題型四：等差數(shù)列綜合題精選題型四：等差數(shù)列綜合題精選 1 1、解：（）由得方程組,50,30,) 1( 20101 aadnaan 4 分 解得 所以 .5019 ,309 1 1 da da . 2 ,12 1 da.102 nan （）由得方程242, 2 ) 1( 1 nn Sd nn naS 10 分 解得 .2422 2 ) 1( 12 nn n).(2211舍去或nn 2、解：（）設(shè)的公差為，由已知條件，得， n ad 1 1 1 45 ad ad 解出，所以 1 3a 2d 1 (1)25 n aandn （） 2

23、 1 (1) 4 2 n n n Snadnn 2 4(2)n 所以時(shí)，取到最大值2n n S4 3、解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則 n addnnnaSn1 2 1 1 ，7 7 S75 15 S 即 , 7510515 , 7217 1 1 da da , 57 , 13 1 1 da da 解得 ，。 ，2 1 a1d1 2 1 21 2 1 1 ndna n Sn ， 數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為， 2 1 1 1 n S n S nn n Sn 2 2 1 等差數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)和題型歸納 8 / 98 / 98 。 nnTn 4 9 4 1 2 4 4、解：（1）設(shè)an的公差為 d1，

24、bn的公差為 d2 由 a3=a1+2d1得 8 2 a d 13 1 a 所以，所以 a2=10, a1+a2+a3=3068n) 1n(82an 依題意，得解得，所以 bn=3+3(n-1)=3n 30d 2 34 4b 6db 21 21 3d 3b 2 1 . 2 3 2 3 2 )( 2 1 nn bbn S n n （2）設(shè) an=bm,則 8n-6=3m, 既，要是式對非零自然數(shù) m、n 成立，只需 8 )2m(3 n m+2=8k,所以 m=8k-2 ， Nk Nk 代入得，n=3k, ,所以 a3k=b8k-2=24k-6,對一切都成立。 Nk Nk 所以，數(shù)列與有無數(shù)個相同的項(xiàng)。 n a n b 令 24k-6100,得又，所以 k=1,2,3,4.即 100 以內(nèi)有 4 個相同項(xiàng)。, 12 53 k Nk 5、解：（）由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0，故解得 d=2,a1