20102013北約自主招生數(shù)學(xué)筆試試題及答案(精校版+完整版)

1、2010年“北約”自主招生數(shù)學(xué)試題1（僅文科做），求證：2為邊長為的正五邊形邊上的點證明：最長為（25分）3為上在軸兩側(cè)的點，求過的切線與軸圍成面積的最小值（25分）4向量與已知夾角，在時取得最小值，問當時，夾角的取值范圍（25分）5（僅理科做）存不存在，使得為等差數(shù)列（25分）2011北約自主招生數(shù)學(xué)試題1、已知平行四邊形的其中兩條邊長分別是3和5，一條對角線長是6，求另一條對角線的長。2求過拋物線2，交點的直線方程。3、等差數(shù)列滿足=，這個數(shù)列的前n項和為，數(shù)列中哪一項最小，并求出這個最小值。4、ABC的三邊a,b,c滿足a+b2c，A,B,C為ABC的內(nèi)角，求證：C。 5、是否存在四個正

2、實數(shù)，它們的兩兩乘積分別是2,3,5,6,10,16？6、和是平面上兩個不重合的固定圓，C是該平面上的一個動圓，C和都相切，則C的圓心的軌跡是何種曲線？說明理由。7、求f(x)=的最小值。 2012年“北約”自主招生數(shù)學(xué)試題1、求的取值范圍使得是增函數(shù)；2、求的實數(shù)根的個數(shù)；3、已知的4個根組成首項為的等差數(shù)列，求；4、如果銳角的外接圓的圓心為，求到三角形三邊的距離之比；5、已知點，若點是圓上的動點，求面積的最小值。6、在中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個數(shù)？7、求使得在有唯一解的；8、求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個角都相等，則它為正五邊形；9、求證：對于任意的正整數(shù)，必可

3、表示成的形式，其中2013年北約自主招生數(shù)學(xué)試題1以和為兩根的有理系數(shù)多項式的次數(shù)最小是多少？A2 B3 C5 D6 2在的棋盤中停放著3個紅色車和3個黑色車，每一行、每一列都只有一個車，共有多少種停放方法？3已知，求的值E4如圖，ABC中，AD為BC邊上的中線，DM、DN分別為ADB、ADC的角平分線，試比較BMCN與MN的大小關(guān)系，并說明理由5設(shè)數(shù)列滿足，前項和為，求6模長為的復(fù)數(shù)滿足，求7最多有多少個兩兩不等的正整數(shù)，滿足其中任意三數(shù)之和都為素數(shù)8已知，為2013個實數(shù)，滿足，且，求證9對于任意的，求的值10已知有個實數(shù)，排列成階數(shù)陣，記作使得數(shù)陣的每一行從左到右都是遞增的，即對任意的，

4、當時，有；現(xiàn)將的每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列，形成一個新的階數(shù)陣，記作，即對任意的，當時，有，試判斷中每一行的各數(shù)的大小關(guān)系，并加以證明2010年“北約”自主招生數(shù)學(xué)解析1（僅文科做），求證：【解析】 不妨設(shè)，則，且當時，于是在上單調(diào)增即有同理可證，當時，于是在上單調(diào)增。在上有。即。注記：也可用三角函數(shù)線的方法求解2為邊長為的正五邊形邊上的點證明：最長為（25分）【解析】 以正五邊形一條邊上的中點為原點，此邊所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系當中有一點位于點時，知另一點位于或者時有最大值為；當有一點位于點時，；當均不在軸上時，知必在軸的異側(cè)方可能取到最大值（否則取點關(guān)于

5、軸的對稱點，有）不妨設(shè)位于線段上（由正五邊形的中心對稱性，知這樣的假設(shè)是合理的），則使最大的點必位于線段上且當從向移動時，先減小后增大，于是；對于線段上任意一點，都有于是由，知不妨設(shè)為下面研究正五邊形對角線的長如右圖做的角平分線交于易知于是四邊形為平行四邊形由角平分線定理知解得3為上在軸兩側(cè)的點，求過的切線與軸圍成面積的最小值（25分）【解析】 不妨設(shè)過點的切線交軸于點，過點的切線交軸于點，直線與直線相交于點如圖設(shè)，且有由于，于是的方程為；的方程為 聯(lián)立的方程，解得對于，令，得；對于，令，得于是不妨設(shè)，則 不妨設(shè)，則有 6個 9個 又由當時，處的等號均可取到注記：不妨設(shè)，事實上，其最小值也可用

6、導(dǎo)函數(shù)的方法求解由知當時；當時則在上單調(diào)減，在上單調(diào)增于是當時取得最小值4向量與已知夾角，在時取得最小值，問當時，夾角的取值范圍（25分）【解析】 不妨設(shè)，夾角為，則，令其對稱軸為而在上單調(diào)增，故當時，解得當時，在上單調(diào)增，于是不合題意于是夾角的范圍為5（僅理科做）存不存在，使得為等差數(shù)列（25分）【解析】 不存在；否則有，則或者若，有而此時不成等差數(shù)列；若，有解得有而，矛盾！2011北約自主招生數(shù)學(xué)試題解析1、已知平行四邊形的其中兩條邊長分別是3和5，一條對角線長是6，求另一條對角線的長。解：由對角線的平方和等于四邊的平方和：所以36+=2(9+25)，=32，x=4。2求過拋物線2，交點的

7、直線方程。解：，7y=6x+1，6x+7y1=0為所求。3、等差數(shù)列滿足=，這個數(shù)列的前n項和為，數(shù)列中哪一項最小，并求出這個最小值。解：d=，當n=，即n=6時最小，最小為。4、ABC的三邊a,b,c滿足a+b2c，A,B,C為ABC的內(nèi)角，求證：C。解：ab，cosC=，所以C。 5、是否存在四個正實數(shù)，它們的兩兩乘積分別是2,3,5,6,10,16？解：設(shè)存在四個正實數(shù)分別為abcd，依題意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，=1，b=2，c=3，d=5，而cd=1516，故不存在。或解：abcd=32，而，不滿足，故不存在。6、和是平面上兩個不重合的固定圓

8、，C是該平面上的一個動圓，C和都相切，則C的圓心的軌跡是何種曲線？說明理由。解：設(shè)兩定圓的半徑分別為，動圓C的半徑為R。當相交時a).C與它兩都外切，軌跡是線段的垂直平分線去掉兩圓的公共弦；b).C與它兩都內(nèi)切，軌跡是線段的垂直平分線；c).C與兩圓一個內(nèi)切，一個外切時，|=R，|=+R，|+|=，軌跡是以為焦點的橢圓。時a).C與它兩都外切，軌跡是線段的垂直平分線去掉兩圓的切點；b).C與它兩都內(nèi)切，軌跡是線段的垂直平分線；c).C與兩圓一個內(nèi)切，一個外切時，軌跡是直線，去掉和兩圓的切點。相離時a).C與它兩都外切，軌跡是線段的垂直平分線；b).C與它兩都內(nèi)切，軌跡是線段的垂直平分線；c).

9、C與兩圓一個內(nèi)切，一個外切時，|=|+，|=，軌跡是以為焦點的雙曲線。當，不妨設(shè)相交時a).C與它兩都外切，|=|，軌跡是以為焦點的雙曲線中(對應(yīng)焦點)的一支，去掉兩圓公共區(qū)域的部分；b).C與它兩都內(nèi)切，|=|，或|=|軌跡是以為焦點的雙曲線中(對應(yīng)焦點)的一支； c).C與兩圓一個內(nèi)切，一個外切時，|=|，軌跡是以為焦點的橢圓。 時a).C與它兩都外切，|=|，軌跡是以為焦點的雙曲線中(對應(yīng)焦點)的一支，去掉兩圓的切點；b).C與它兩都內(nèi)切|=|，軌跡是以為焦點的雙曲線中(對應(yīng)焦點)的一支；c).C與兩圓一個內(nèi)切，一個外切時，|=|，軌跡是直線，去掉和兩圓切點。相離時a).C與它兩都外切，

10、|=|，軌跡是以為焦點的雙曲線中(對應(yīng)焦點)的一支；b).C與它兩都內(nèi)切，|=|，軌跡是以為焦點的雙曲線中(對應(yīng)焦點)的一支；c).C與兩圓一個內(nèi)切，一個外切時，|=|，軌跡是以為焦點的雙曲線。內(nèi)切時a).C與它兩都外切，軌跡是射線在兩圓切點以外部分；b).C與它兩都內(nèi)切，軌跡是以兩圓切點為端點，方向是，去掉和兩圓切點的射線。c).C與兩圓一個內(nèi)切，一個外切時，軌跡是以為焦點的橢圓，去掉兩圓的切點。內(nèi)含時a).C與它兩都內(nèi)切，軌跡是以為焦點的橢圓；b).C與兩圓一個內(nèi)切，一個外切時，軌跡是以為焦點的橢圓。7、求f(x)=的最小值。 解：f(x)=|+|+|+|+|+|+|，一共有1+2+320

11、11=10062011個絕對值，則是偶數(shù)個，故中間第5032011個和第5032011+1個之間取得最小值；設(shè)第5032011個絕對值是|，1+2+3，n(n+1)10062011=2023066，14221423=2023506，取n=1421。第5032011個和第5032011+1個絕對值是|，|+|+|+|=(|+|21422|+|31422|+|20111422|)=(1421+1420+1419+1+0+1+2+3+589)=()=(1010331+173755)=。920431+173755+17171717171717171717171717171717171717171717

12、171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717171717172012年“北約”自主招生數(shù)學(xué)試題解析2013年北約自主招生數(shù)學(xué)試題解析1 解析 顯然為滿足要求的多項式，其次數(shù)為5若存在次有理系數(shù)多項式以和為兩根，則必含有因式，即最小次數(shù)為5故選C2解析 先排3個紅色車，從6行中任取3行，有種取法；

13、在選定的3行中第一行有6種停法，第一行選定后第二行有5種停法，第二行選定后第三行有4種停法；紅車放定后，黑車只有6種停法故停放方法共種故選D3解析 ，又由，有或當時，有，； 當時，E4如圖，ABC中，AD為BC邊上的中線，DM、DN分別為ADB、ADC的角平分線，試比較BMCN與MN的大小關(guān)系，并說明理由解析 延長ND至E，使NDED，連結(jié)BE、ME，則BEDCND，MEDMND，MEMN，由BMBEEM，得BMCNMN5解析 ，；由 ，有時，于是，特征方程有重根2，可設(shè)，將，代入上式，得，于是，6解析 取，便能得到1下面給出證明，于是 17解析 設(shè)滿足條件的正整數(shù)為個考慮模3的同余類，共三類，記為， 則這個正整數(shù)需同時滿足不能三類都有；同一類中不能有3個和超過3個否則都會出現(xiàn)三數(shù)之和為3的倍數(shù)故 當時，取1，3，7，9，其任意三數(shù)之和為11，13，17，19均為素數(shù)，滿足題意， 所