二次根式教材分析

1、二次根式教材分析、本章地位與作用本章內容屬于“數(shù)與代數(shù)”的基礎內容，既是“整式”、“分式”之后引入的第三類重要代數(shù)式，也是“實數(shù)”之后對“數(shù)”的認識的深化本章內容具有極強的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”之前，意在為解二次方程做好準備；本學期安排本章在“勾股定理”之前，能為解任意直角三角形的三邊數(shù)值掃清障礙.、知識網絡歸納1三、課標及中考要求【課標要求】了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）力口、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算.（不要求進行根號下含字母的二次根式的四則運算，如a3b ,【中考要求】考試要求AB二次根式及其性

2、質了解二次根式的概念，會確定二次根式有意義的條件能根據二次根式的性質對代數(shù)式作簡單 變形；能在給定條件下，確定字母的值二次根式的化簡和運算理解二次根式的加、減、乘、除運算法則會進行二次根式的化簡，會進行二次根式的混合運算（不要求分母有理化）參考了之前幾次同題教材分析稿，例題也大多沿用之四、課時安排建議21 . 1 二次根式約2課時21 . 2二次根式的乘除約2課時21 . 3二次根式的加減約34課時數(shù)學活動與小結約2課時五、全章教學建議1. 注意本章內容的“工具性” 二次根式相關知識的學習是為后續(xù)勾股定理、 二次方程的學習打基礎， 因此應重點落實二次根式的性質、化簡和計算( 特別是實數(shù)的化簡和

3、計算)的準確性，提高學生的計算能 力盡管課本中的例題相對簡單，但不要忽視它們在學生建立知識結構的過程所起的過渡作用.非實驗班不建議在此補充涉及代數(shù)式化簡、運算技巧的內容(如分母有理化等)，相應地，學探診測試6第6題及之后的題目可不作為基本教學要求.2. 從提出二次根式的概念開始，就注意強化“二次根式在一定條件下才有意義”這一觀念避免教 材第7頁小貼士“在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)”給學生帶來的誤解和誤導.總 有為數(shù)不少的學生將二次根式有意義的“非負性”條件誤記為“正性”條件，可能與此有關.3. 注意對“實數(shù)”一章知識的復習，體現(xiàn)“數(shù)式通性”的原則；注意與“整式”、“分式”相

4、關知識 的聯(lián)系，相關結論可以類比記憶.4. 注意教材和學探診中，有些題目需要用到勾股定理，可先回避.六、各小節(jié)教學建議21 . 1 二次根式(1 )實例引入，注意復習開平方、算術平方根的概念和符號表示.(2 )二次根式的形式定義：建議不要把精力放在辨別一個式子是否為二次根式上，而應該側重于理解被開方數(shù)是非負數(shù)(不要誤記為正數(shù))的要求.例如，2 是二次根式嗎？按本人的理解，42作為單獨一個數(shù)應屬于單項式，非二次根式.學探診92頁第6題：下列各式中，一定是二次根式的是：(A)-32( B)(-0.3)2( C).-2( D) x ,答案B.本人認為題干應該改為“下列各二次根式一定有意義的是”總之，

5、真正該提醒學生的是“數(shù)式通性”：如果被開方數(shù)是一個常數(shù)，那么它不可以是負數(shù)；如果被開方數(shù)含字母，那么它有取值范圍的限制(與分式類似)(3) 二次根式(根號)的雙重非負性：a 0, (a 0)；(4) 教材要求掌握的公式：(. a)2 =a (a _0) , aa (a _0),建議授課時提高要求，理解并掌握丁孑=a =丿a(a.-a(a 0)-a2與C_a)2的對比： 運算順序不同：(、.a)2是先求算術平方根再平方，.a2是先平方再求算術平方根; a的取值不同： (a)2 中a的取值是a 0，而.a2中a的取值是任意實數(shù)； 運算結果不同：(ja)2=a( aO);恃=心|=丿*色0).、一a

6、(a c 0)(5)代數(shù)式的概念：建議適當補充一些代數(shù)式的書寫規(guī)范(如果之前沒有講過)例1 :當x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義？(1) +JX - 1 ;(2) 、1 - X ;( 3) ； ( 4).X -1 X -1答案：(1) X _1 ；(2) X 乞1 ；(3) X 1 ；(4) X_O 且 X=1 .提高題：求下列函數(shù)解析式中自變量x的取值范圍:(1)y =穴T2 3 -2x ；1(2) y =. 丄；x+1(3)答案：(1)21y =|x| -2312 乞x； (2) x 乞0 且 x=1； (3) x_ 且 x = 2 ；22(4)全體實數(shù).例2 :若x、y為實數(shù)

7、，且y= .、x _2 +、2_x + 3.求yx的值.(yx=9)例3 :判斷下列等式是否成立:(1)(=19 (-19)2 =19答案：(1 )V； (2)X；(3)(4)例4 :已知a,b,c為三角形的三邊,(6)a 二- a2 (a _ 0)(5)X； (6 )V.).(a b _c)2. (b -c - a)2, (b c -a)2(a b c)21 . 2二次根式的乘除(1)從具體到抽象，歸納得出乘法公式:、a、b 二.ab(a _ 0,b _ 0)理解二次根式乘除運算法則的合理性：可與anbn =(ab)n做形式上的類比;可以利用算術平方根的定義進行推理證明:_0,、,b 一0

8、,_L2.22taba 一 b ab 且從公式的適用范圍看，包括了某些字母取0的情況；為降低難度，如果遇到純二次根式化簡問題，可以默認為字母都表示正數(shù);當涉及字母的取值范圍問題時，不能認為字母都是正數(shù).(2)公式的逆用：ab 、a 、b(a _0, b _0)；.能利用這條性質對二次根式進行化簡注意學生不易理解“開得盡方的因數(shù)或因式”的含義，教材在第8頁小貼士的解釋：可以開方后移到根號外的因數(shù)或因式在這里，不妨多舉一些例子， 讓學生明確在化簡時，一般先將被開方數(shù)進行因數(shù)分解或因式分解，然后再將能開得盡方的因數(shù)或因式開出來.初步總結乘法運算的結果應滿足以下兩個要求: 結果是一個二次根式，或單項式

9、乘以二次根式；也可能沒有根號，只是單項式；根號下不再 有“開得盡的因數(shù)或因式”.(3)除法公式及逆用：、af(a_O,b 0), a=a(a_O,b . 0)Vb bbTb注意b 0的條件；an fa可以通過歸納、或證明、或類比得出此公式；bn e丿對于二次根式的除法運算和二次根式的化簡，應讓學生一題多解，一方面是熟悉二次根式性質、 運算法則和方法，另一方面，通過一題多解，總結做題經驗，使運算更靈活、更簡潔.女口逅1 _ 35.1515.住V 3 2 ；V2 J2J2 3222卩=2沢丄=空=后；2、卩=妊卩=戸=后.,2 2 、2 2 2 2如果學生覺得不易靈活運用，也可總結為更易操作的“算

10、法”：,a型即a型，所有a的轉化為a =再化簡； b . b. b. b c .b . b b用具體的實例歸納總結出把一個二次根式化為最簡二次根式的方法技巧如：當被開方數(shù)較大時， 可用分解因數(shù)的辦法將被開方數(shù)盡可能寫成完全平方數(shù)的乘積形式.至此學生應能對12,1, .125,等常見數(shù)值進行化簡.總之，學生在化簡運算的簡潔性和準確性上都容易出現(xiàn)問題，因此建議在教學過程中先要求學生觀察二次根式的特點，根據其特點分析運用哪條性質、哪種方法來解答，每步運算的根據的什么，培養(yǎng)學生的 分析能力和觀察能力，以及計算的目的性和條理性.(4)最簡二次根式的概念：不要求學生背出定義，關鍵是遇到實際式子能夠加以判斷

11、，讓學生在練習中熟 悉這個概念，同時明確二次根式的運算結果應化為最簡二次根式.例5 :計算：例6 :化簡：(5).28 ；(9)、16ab例7 :計算：(1)23c ；1、27;(1) ,8 ;( 2);(3)(6) . 32 ;(7).48 ;(5)(6) 3(10)計算:(1) 2、2,312 ；(3) 、14 2、.7 ；.18 ；(8)(4)2450 ；(2)3(3)(4)25 y9x2 ；(7)匹;(27(9)3個有效數(shù)字).已知 2.414 ,求 7200,(0.0002, ,(0.72 的近似值(保留21 . 3二次根式的加減(1)教材采用了“被開方數(shù)相同的最簡二次根式”的說法；

12、為簡潔明了，建議還是類比同類項的概念給出“同類二次根式”的概念，能通過實例判斷幾個二次根式是不是同類二次根式，注意強調先化簡的重要性. 例如，分成幾個小問題： 把被開方數(shù)都是整數(shù)的放在一個小題中， 把被開方數(shù)都是分數(shù)的放在一個小題中， 把被開方數(shù)帶有簡單字母的放在一個小題中， 把字母次數(shù)略高于 2的放在一個小題中，使問題的解決有一個由淺入深的漸進過程，最終再給出類似a 1和12孑 的例子.(2 )明確二次根式的加減法運算的實質就是合并同類二次根式，這與整式加減的實質類似加減法的練習 也同樣可細分成幾個層次進行教學例如： 不需要化簡能直接進行相加減的， 需要化簡但被開方數(shù)都是簡單整數(shù)的， 被開方

13、數(shù)都是有理數(shù)但既有整數(shù)又有分數(shù)的， 被開方數(shù)含有字母的，等等.加減運算中常出現(xiàn)的錯誤類型有： 運算結果含有 J28或類似的式子; 運算過程中有 J4十9 = 2 + 3或J? =J3或類似的問題；片444_2 運算過程中有.23 =5或1 _、2 =12或類似的問題.33（4 ）二次根式的混合運算.教材利用小貼士類比了它與實數(shù)、整式運算的聯(lián)系：第14頁：“在有理數(shù)范圍內成立的運算律，在實數(shù)范圍內仍成立”；第17頁：“在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然適用”.分析式子結構，明確運算順序；關注乘法公式和運算律的應用；計算少跳步，避免類似5 .3 5-3 =16 , 2.2 .2=8之

14、類的典型錯誤.(3)12、8 ,18 -1 . 32 .24 (5)廖+ (-1 )-2遼2(7)花一 2衛(wèi)血2、5一1 例11計算：例10計算：（1） 8 - 2（2） 4、5、45 - 84、. 2（4）2 12 - 4；3、48 ；（6）（冗十 1）。-73(1) (5 . 48 -6、274.15 .3(3)1 .10 (3、,15 一5、6)5(5)(8. 48)( . 2 -、12) -(、2 - 3)2(7)(9)(435)2(3.10)15(3 -、10)15(6)(2、33、2)(23 -3、,2)(5 i 6)(5、2 - 2、3)(8)(10) (2 ,3 3 V6)(2

15、、3-3、2二)(11).2 亠一1(,31)J3 +1(12)33,33b(7ab) 3“(13)(4bbva3b)-(3-.a9ab)i T十J3、-1-方1+i1 2)1 2丿(14)2(15)(16) . ab a b + a b 2 (a0, b0)Yb 斗a Vb a例12一個長方體的長為2-. 2cm，寬為 3cm，高為,2cm，則它的表面積為 cm2，體積為cm3 .( 8 6.6 , 4.3 )例13若8-.帀 的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則2ab_b2二. (5)(9)(允許寫成9919的形式)n個9例18觀察下列等式:占 1(2 1)(、2 -1).3.2(、.3.2)

16、(、3- . 2)3)=(-3)( .4回答下列問題：利用你觀察到的規(guī)律，化簡:章節(jié)復習及綜合(1)條件求值類題目:例14甲、乙兩人對題目求值：丄 a2 2，其中a = ”有不同的解答，a5甲的解答：，! a2_2=1,(_a)2= auZa49，a V aa aa a a 5乙的解答： 丄 + J丄十a2 _2 = + 寸(a)2 = + a = a=1，a aa , a a a 5誰的解答是錯誤的？為什么？例 15( 1)如果 a +b =4 Ja + 2%；b -5，那么 a + 2b =.(2)若實數(shù)x, y滿足-x 2 y2 - 2、. 3 y 3 = 0，則xy的值是 . 例16

17、已知：a = 10 ,求a2 2的值.(6)aa 已知：x =丄. 7 5 , y =丄_ 7 - .一 5 ,求 x2 -xy + y2 的值. (11 )222(2)尋找規(guī)律、現(xiàn)場學習類：例17已知下列等式：.9 9 19 =10,. 99 99 199 = 100 ,. 999 999 1999 = 1000 ,計算:1 _一1 _J122請根據以上規(guī)律寫出第 n（n 一 1）個不等式，并證明你的結論.計算下列算式:逅+1 73+0 T3+V2 石+陽 肓+府 應+航1 110099101.100(101 _、.2 9 )（3 ）化簡和運算技巧（注意隱含條件：字母的取值范圍）例24（1）已知a0，化簡二次根式. _a3b的正確結果是（）.A a、., abB. - a . abC. a. ab例25(1)例26計算例27(1)例28(1)把mJ1根號外的因式移到根號內，得（m已知已知).Cx+y=6 , xy=6，求的值；（平方法， 晶） y Y xx + y= 8, xy=8，求 xx的值.(-4.2 ).3 2 . 5