高等數(shù)學第六版(同濟版)第九章復習資料

1、高等數(shù)學第六版(同濟版)第九章復習資料第九章 多元函數(shù)微分法及其應用引入：在上冊書中，我們學習了一元函數(shù)微積分學，所討論的對象都只有一個自變量的函數(shù)，而在實際應用中，研究的問題往往要涉及多方面的因素，反映在數(shù)量上就是一個變量要依賴幾個自變量，即數(shù)學上的多元函數(shù)，從這節(jié)課開始，我們進入多元函數(shù)微積分學的學習階段.先來學習多元函數(shù)微分學. 由于從一元函數(shù)到二元函數(shù)，單與多的差異已能充分體現(xiàn)，我們由二元函數(shù)入手來研究多元函數(shù)微分學，然后把相關(guān)概念及性質(zhì)推廣到三元、四元直至元函數(shù)上去.第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念一、平面點集的相關(guān)概念1. 平面點集：具有性質(zhì)例如：，其中點表示點.2. 鄰域：.(1).

2、鄰域：(2). 去心鄰域：3. 坐標面上的點與平面點集的關(guān)系：(1). 內(nèi)點：若，使，則稱為的內(nèi)點.(2). 外點：若，使，則稱為的外點.(3). 邊界點：若，且，則稱為的邊界點.邊界：的邊界點的全體稱為它的邊界，記作.(4). 聚點：若，則稱為的聚點.導集：的聚點的全體稱為它的導集.注：1. 若為的聚點，則可以屬于，也可以不屬于.2. 內(nèi)點一定是聚點；外點一定不是聚點；邊界點也不總是聚點，如孤立的邊界點.例如：；.4. 一些常用的平面點集：(1). 開集：若點集的點都是其內(nèi)點，則稱為開集.(2). 閉集：若點集的邊界，則稱為閉集. (開集加邊界)(3). 連通集：若中任何兩點都可用屬于的折線

3、連接，則稱為連通集.(4). 開區(qū)域：連通的開集稱為開區(qū)域，也稱為區(qū)域.(5). 閉區(qū)域：開區(qū)域加上其邊界稱為閉區(qū)域.例如：為區(qū)域. 為閉區(qū)域.(6). 有界集：若，使，則稱為有界集.(7). 無界集：若，使，則稱為無界集.二、維空間：對取定的自然數(shù)，稱元數(shù)組的全體為維空間，記為.注：前述的鄰域、區(qū)域等相關(guān)概念可推廣到維空間.三、多元函數(shù)的概念1. 定義：，或，其中.因 映 自變 變量 射 量定義域：.值 域：.注：可推廣：元函數(shù)：，.例: 1. ，.2. ，.2. 幾何表示：函數(shù)對應空間直角坐標系中的一張曲面:.四、二元函數(shù)的極限1.定義：設(shè)函數(shù)的定義域為，點為的聚點，若，滿足，則稱為當時的

4、極限，記作，稱之為的二重極限.例1. 設(shè)，求證.證明：，要使不等式成立，只須取， 于是，總有，即.例2. 證明不存在，其中.證明：當沿直線趨于時，總有，隨著的不同而趨于不同的值，故極限不存在.例3. 求極限.解：.五、二元函數(shù)的連續(xù)性1. 二元函數(shù)的連續(xù)性:設(shè)函數(shù)的定義域為，點為的聚點，且，若，則稱在點連續(xù).2. 二元函數(shù)的間斷點: 設(shè)函數(shù)的定義域為，點為的聚點，若在點不連續(xù)，則稱為的間斷點.注：間斷點可能是函數(shù)有定義的孤立點或無定義的點.3. 性質(zhì)：設(shè)為有界閉區(qū)域.(1). 有界性：， ，有.(2). 最值性：，使得，有.(3). 介值性：，使得.4. 二元連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)(1). 和、差

5、、積仍連續(xù)；(2). 商 (分母不為零) 連續(xù)；(3). 復合函數(shù)連續(xù).5. 二元初等函數(shù)及其連續(xù)性(1). 二元初等函數(shù)：由二元多項式和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合所構(gòu)成的、并用一個式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).(2). 二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).例4. 求.解：令，則.例5. 求.解：(分子有理化) .第二節(jié) 偏導數(shù)引入：在一元函數(shù)微分學中，我們研究了一元函數(shù)的變化率導數(shù)，并利用導數(shù)研究了函數(shù)的性態(tài).對于多元函數(shù)，我們也要討論它的變化率，但由于多元函數(shù)的自變量不止一個，所以多元函數(shù)的變化率要比一元函數(shù)的變化率復雜得多.我們還是以二元函數(shù)為例來研究多元函數(shù)的變化率，

6、先把二元函數(shù)中某一自變量暫時固定，再討論二元函數(shù)關(guān)于另一個自變量的變化率，這就是數(shù)學上的偏導數(shù).一、偏導數(shù)的相關(guān)概念1. 偏導數(shù)：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，把暫時固定在，而在處有增量時，相應地有增量.若極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點處對的偏導數(shù)，記為；或.注: 1. .2. .2. 偏導函數(shù)：若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點處對或偏導數(shù)存在，則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù),也簡稱為偏導數(shù)，記為或；或.注：可推廣：三元函數(shù)在點處對的偏導數(shù)定義為.例1. 求在處的偏導數(shù).解：先求偏導函數(shù)：，.再求偏導數(shù)：，.例2. 求的偏導數(shù).解：，.例3. 求的偏導數(shù).解：.由輪換對稱性可知，.3. 偏導數(shù)的幾何意義(1).

7、 偏導數(shù)是曲線在點處的切線關(guān)于軸的斜率.(2). 偏導數(shù)是曲線在點處的切線關(guān)于軸的斜率.4. 函數(shù)偏導數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系：函數(shù)偏導數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)之間無必然的蘊含關(guān)系.(1). 函數(shù)在點處偏導數(shù)存在，但它在點卻未必連續(xù).例如：函數(shù)在點的兩個偏導數(shù)都存在，即，.但二重極限不存在，故在點不連續(xù).(2). 函數(shù)在點連續(xù)，但它在點處卻未必存在偏導數(shù).例如：函數(shù)在點連續(xù)，但它在點對及的偏導數(shù)都不存在，這是因為：，即在點對及的偏導數(shù)都不存在.二、高階導數(shù)1.二階偏導數(shù)：若函數(shù)對及的偏導數(shù)及對及的偏導數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導數(shù).記作：； ；(二階純偏導數(shù))；. (二階混合偏導數(shù)) (二階純偏導

8、數(shù))注：1. 一般地，二元函數(shù)的階偏導數(shù)的偏導數(shù)稱為它的階偏導數(shù).2. 二階以及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).3. 二元函數(shù)的階偏導數(shù)至多有個.例4. 設(shè)，求它的二階偏導數(shù).解：；.總結(jié)：從這一例題，我們看到：，即兩個二階混合偏導數(shù)相等，與求導順序無關(guān).那是不是每個二元函數(shù)都有這樣的相等的二階混合偏導數(shù)呢？我們說不是的，例如：，在點，有，事實上，；.而，.于是，即.那么滿足什么條件得二元函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)與求導順序無關(guān)呢？有下面的定理：2. 二階混合偏導數(shù)的性質(zhì)定理：若函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)與在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則它們在內(nèi)必相等，即.注：1. 可推廣：高階混合偏導數(shù)在連續(xù)的條件下與求導順序

9、無關(guān).2. 一般地，若二元函數(shù)的高階混合偏導數(shù)都連續(xù)，則的階偏導數(shù)只有個.第三節(jié) 全微分一、全微分的相關(guān)概念1. 偏增量：稱為函數(shù)對的偏增量;稱為函數(shù)對的偏增量.2. 偏微分：稱與為對及的偏微分.注：，. 但在實際應用中，往往要知道函數(shù)的全面的變化情況，即當自變量有微小增量、時，相應的函數(shù)增量與自變量的增量、之間的依賴關(guān)系，這涉及到函數(shù)的全增量.3. 全增量：稱為函數(shù)在點對應于自變量增量、的全增量. 一般來講，計算全增量是比較困難的，我們總希望像一元函數(shù)那樣，利用、的線性函數(shù)來近似代替函數(shù)的全增量，為此，引入了全微分.4. 全微分：若函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在的全增量可表示為，其中、不依賴

10、于、，而僅與、有關(guān)，則稱在點可微分，而稱為在點的全微分，記作，即.若在區(qū)域內(nèi)每一點都可微分，則稱在內(nèi)可微分.注：. 我們知道，當一元函數(shù)在點的微分存在時，那么，當二元函數(shù)在點的全微分存在時，、又為何值呢？下面討論二元函數(shù)可微分與連續(xù)、可微分與偏導數(shù)存在的關(guān)系，從中得到、的值.二、二元函數(shù)可微分與偏導數(shù)存在、可微分與連續(xù)的關(guān)系1函數(shù)可微分的必要條件定理1.若函數(shù)在點可微分，則它在點的兩個偏導數(shù)及必定存在，且在點的全微分.證明：由于在點可微分，則有，其中，當時，有，從而，即，同理可得，于是.特殊地，令，有，從而有，同理令，有，從而有.于是有，也稱之為二元函數(shù)微分學的疊加原理.注：定理說明：函數(shù)可微

11、分，一定可偏導，且全微分可用偏導數(shù)表示. 但反之未必，即偏導數(shù)存在，函數(shù)未必可微分.例如：在點處兩個偏導數(shù)都存在，且，但在點卻不可微分.事實上，假設(shè)在點可微分，則，又，從而，當時.而，有不存在，更談不上等于0，從而假設(shè)不成立，即在點不可微分.2. 函數(shù)可微分的必要條件定理2若函數(shù)在點可微分，則它在點連續(xù).證明：由于在點可微分，有，其中，于是有，.又的全增量為，從而，即，這說明在點連續(xù).注：函數(shù)連續(xù)，未必可微分.例如：函數(shù)在點連續(xù)，但由于偏導數(shù)不存在，從而不可微分.3. 函數(shù)可微分的充分條件定理3若函數(shù)的偏導數(shù)與在點都連續(xù)，則在點可微分.注：反之未必.例如：在點可微分，但與在點都不連續(xù).(1).

12、先說明在點可微分.設(shè)，因為，令，由于，其中，于是，由全微分的定義知在可微分.(2). 再說明偏導數(shù)及在點不連續(xù).易知 ,由于不存在，從而在點不連續(xù).同理可知在點也不連續(xù).例1. 計算函數(shù)的全微分.解：.例2. 計算函數(shù)在點處的全微分.解：由于，有，所以.例3. 計算的全微分.解： .第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則一、一元函數(shù)與多元函數(shù)復合的情形定理1.若函數(shù)及在點都可導，函數(shù)在對應點具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在點可導，且.(全導數(shù)公式)注：可推廣：，復合而成的函數(shù)在點可導，且.二、多元函數(shù)與多元函數(shù)復合的情形定理2. 若函數(shù)及在點具有對及的偏導數(shù)，函數(shù)在對應點具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在點的兩

13、個偏導數(shù)都存在，且；.注：可推廣：由，復合而成的函數(shù)在點兩個偏導數(shù)都存在，且；.三、其它情形1. 函數(shù)在點對及的偏導數(shù)都存在，函數(shù)及在點可導，在點具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在點的兩個偏導數(shù)都存在，且 ；.2. 函數(shù)在點具有對及的偏導數(shù)，在點具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在點的兩個偏導數(shù)都存在，且 ；.例1. 設(shè)，而，求及.解：；.例2.設(shè)，而，求及.解：；.例3. 設(shè)，而，求求導數(shù).解：.四、全微分形式不變性:若函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)，則有全微分.若函數(shù)及也具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)的全微分為，有，稱此性質(zhì)為全微分形式不變性.事實上：.例4. 利用全微分形式不變性求與，其中，.解：由于，而 ，于是，即

14、，比較兩端、的系數(shù)得：，.第五節(jié) 隱函數(shù)的求導公式一、隱函數(shù)：稱對應關(guān)系不明顯，而是隱含在方程(方程組)中的函數(shù)(函數(shù)組)為由方程(方程組)確定的隱函數(shù)(隱函數(shù)組).注：并不是每一個方程都能確定一個隱函數(shù)，例如：.二、隱函數(shù)存在定理1.由一個方程確定的隱函數(shù)定理1.若函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)，且，則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)可導的函數(shù)，滿足，且.注：若的二階偏導數(shù)也連續(xù)，則有 .定理2. 若函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)，且，則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)，滿足，且，.例1. 設(shè)，求及.解：令，則，從而.例2.設(shè)，求.解：設(shè)，則，于

15、是，從而.2.由方程組確定的隱函數(shù)組定理3. 若函數(shù)與在點的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，又，且函數(shù)行列式在點不等于零，則方程組在點的某一鄰域內(nèi)恒能確定唯一一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)組，且 ，；，.例3. 設(shè)，求、和.解：設(shè)方程組，兩端對求導得：或，在的條件下，有，；同理可得 ，.第六節(jié) 多元函數(shù)微分學的幾何應用一、一元向量值函數(shù)及其導數(shù)1. 一元向量值函數(shù)的定義： ，(數(shù)集)，.注：1. 在中，.2. 向量值函數(shù)稱為曲線的向量方程.2. 一元向量值函數(shù)的極限：設(shè)向量值函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常向量，：滿足，總有，則稱為當時的極限，記作.注：存在、都存在.3. 一元向

16、量值函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)向量值函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，若，則稱向量值函數(shù)在點連續(xù).注：在點連續(xù)、點連續(xù).4.一元向量值函數(shù)的導數(shù)(導向量)：設(shè)向量值函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，若存在，則稱此極限值為在點的導數(shù)或?qū)蛄?，記作?注：1. 在點可導、點都可導. .2. 一元向量值函數(shù)的導向量的幾何意義：是向量值函數(shù)的終端曲線在點處的一個切向量,其指向與的增長方向一致.例1.設(shè)，求.解：.例2.設(shè)空間曲線的向量方程為，求曲線在點相應的點處的單位切向量.解：由于，有，進而，于是為指向與的增長方向一致的單位切向量.為指向與的增長方向相反的單位切向量.二、空間曲線的切線與法平面1. 參數(shù)式情形：設(shè)空間曲線

17、的參數(shù)方程為，假設(shè)、以及在上可導，且三個導數(shù)不同時為零.(1). 切線：曲線上的一點處的切線方程為：，參數(shù)對應點.推導：由于曲線的參數(shù)方程為，記向量值函數(shù)，由向量值函數(shù)導數(shù)的幾何意義知：向量即為曲線在其上的點處的一個切向量，從而曲線在其上的點處的切線方程為：.(2). 法平面：通過曲線上的點而與曲線在點處的切線垂直的平面方程稱為曲線在點處的法平面，方程為.其中法向量為.2. 特殊式情形：設(shè)空間曲線的方程為，且、在點處可導，曲線的方程可改寫為，為參數(shù)，從而曲線在點處的切線與法平面方程分別為：(1). 切線方程：.(2). 法平面方程：.3. 一般式(隱函數(shù))情形：設(shè)曲線的方程為，為曲線上的一點，

18、又設(shè)、有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，且，這時方程組在點的某一鄰域內(nèi)確定了一組隱函數(shù)，從而曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，于是切向量為.(1). 切線方程：.(2). 法平面方程：.例3. 求曲線在點處的切線與法平面方程.解：在方程組兩端對求導，得，整理得，于是，；，故切向量為，從而所求切線方程為：，或.法平面方程為或.三、曲面的切平面與法線1.定義(1). 切平面：若曲面上通過點的一切曲線在點的切線都在同一個平面上，則稱此平面為曲面在點的切平面.(2). 法線：通過點且與切平面垂直的直線稱為曲面在點的法線.2. 切平面與法線方程(1). 一般式情形：設(shè)曲面的方程為，點為其上一點，且函數(shù)的偏導數(shù)在點連續(xù).

19、切平面方程：；法線方程：.推導：在曲面上過點任意引一條曲線，設(shè)其參數(shù)方程為，且函數(shù)、以及在都可導，對應點，有方程，兩端對求導，在處，有.記.又為曲線在點處的切向量，由上式可知，即曲面上通過點的任意一條曲線的切向量都垂直于同一個向量，從而這些切線都在同一平面上，即曲面在點的且平面存在，該切平面以向量為一法線向量.(2). 特殊式 (顯函數(shù)) 情形：曲面：，且函數(shù)的偏導數(shù)在點連續(xù).切平面方程：.法線方程：.推導：記，有，故有法向量.例4. 求球面在點處的且平面及法線方程.解：設(shè)，有，故所求切平面的法向量為，于是所求切平面方程為：，即，法線方程為：，即.例5. 求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面即法線方程.

20、解：設(shè)，有，于是所求切平面的法向量為.從而所求切平面方程為，即，法線方程為.第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度引入:由函數(shù)在點的偏導數(shù)的幾何意義可知：偏導數(shù)、只是函數(shù)過點沿平行坐標軸法線的變化率.但在實際應用中，往往要求我們知道函數(shù)在點沿任意確定的方向的變化率，以及沿什么方向函數(shù)的變化率最大，這就涉及到函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度.一、方向?qū)?shù)1. 定義：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，為過點的射線()上另一點，且.若極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)，記作.注：若函數(shù)在點的偏導數(shù)存在，且，則.若函數(shù)在點的偏導數(shù)存在，且，則.2. 方向?qū)?shù)的存在性定理：若函數(shù)在點可微分，則函數(shù)在點沿任意方向的方向?qū)?shù)都

21、存在，且有，其中、的方向余弦.注：1. 可推廣：若函數(shù)在點可微分，則在點沿方向的方向?qū)?shù)為.2. 方向?qū)?shù)存在，函數(shù)未必可微分.例如：在點沿方向的方向?qū)?shù)都存在，但在點不可微分.事實上：由于，從而在點沿方向的方向?qū)?shù)都存在.但在點的兩個偏導數(shù)都不存在，從而不可微分.例1. 求函數(shù)在點處從點到方向的方向?qū)?shù).解：由題可知方向就是向量的方向，有. 又 ，故所求方向?qū)?shù)為.例2.求在點沿方向的方向?qū)?shù)，其中的方向角分別為.解：由題可知與方向同向的單位向量為，又，故所求方向?qū)?shù)為.二、梯度1.梯度的定義：設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，對每一個點，稱向量為函數(shù)在點的梯度，記作，或，即.注：可推廣

22、：.2.梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系(1).沿梯度方向，方向?qū)?shù)達到最大值；(2).梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值.推導：設(shè)，若函數(shù)在點可微分，則在點沿方向的方向?qū)?shù)為.1. 當時，.這說明函數(shù)在一點的梯度是這樣一個向量，它的方向是在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值.2. 當時，有與的方向相反，函數(shù)減小最快，在這個方向上的方向?qū)?shù)達到最小值，.3. 當時，有與的方向正交，函數(shù)的變化率為零，即.例3. 求.解：令，有，于是.例4.設(shè)，求(1). 在處增加最快的方向以及沿這個方向的方向?qū)?shù)；(2). 在處減少最快的方向以及沿這個方向的方向?qū)?shù)；(3). 在處變化率為零的方向.解：(1

23、). 在點處沿的方向增加最快，由于，故所求方向可取為，方向?qū)?shù)為.(2). 在點處沿的方向減少最快，故所求方向可取為，方向?qū)?shù)為.(3). 在點處沿垂直于的方向變化率為零，故所求方向為或.第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法引入：在一元函數(shù)微分學中，我們討論了一元函數(shù)的極值和最值問題，但在許多實際問題中，往往會遇到多元函數(shù)的極值和最值問題，我們以二元函數(shù)為例來討論多元函數(shù)的極值與最值問題.一、二元函數(shù)的極值與最值1. 極值：二元函數(shù)的定義域為，為的內(nèi)點，若存在的某個鄰域，且，都有(),則稱在點有極大值(極小值).點稱為函數(shù)的極大值點(極小值點).統(tǒng)稱極大值、極小值為極值；使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的

24、極值點.2. 最值：設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在，都有(),則稱為在上的最大值(最小值).注：1. 極值是一個局部概念，最值是一個整體概念. 2. 極值與最值的關(guān)系：極值可以是最值，但最值未必是極值.例1. 函數(shù)在點取得極小值，也是最小值.例2. 函數(shù)在點取得極大值，也是最大值.例3.函數(shù)在點既不取得極大值，也不取得極小值. 由此可見，并不是每一個函數(shù)在其定義域上都有極值點，那么什么樣的點可能是函數(shù)的極值點呢？又如何判斷函數(shù)在該極值點處取得極大值還是極小值呢？下面我們來學習極值點的必要條件和充分條件，從中得到這些問題的答案.二、極值點的條件定理1. 若函數(shù)在點具有偏導數(shù)，且在點處取得極值，則有，.

25、注：1. 稱使成立的點為的駐點或穩(wěn)定點.2. 可偏導函數(shù)的極值點一定是其駐點，但反之未必.例如：函數(shù)，在點是其駐點，但在點卻不取得極值. 那么什么樣的駐點才能是極值點呢？下面的極值點的充分條件回答這一問題，并給出求極值的方法.定理2. 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且具有一階以及二階連續(xù)偏導數(shù)，又，令，則在處是否取得極值的條件如下：(1). 時具有極值，且當時有極大值，當時有極小值.(2). 時沒有極值.(3). 時是否取得極值不定，需另行討論.3.求極值的步驟第一步：求偏導數(shù)，解方程組，得的所有駐點.第二步：對每一駐點，求二階偏導數(shù)的值、.第三步：考察的符號，判斷是否為極值，若是極值，判斷出是極

26、大值還是極小值.例4.求函數(shù)的極值.解：解方程組，得駐點，.又，.(1). 在點處，且，故在處取得極小值.(2). 在點處，故不是極值.(3). 在點處，故不是極值.(4). 在點處，且，故在處取得極大值.例5. 求函數(shù)的極值.解：由方程組得兩個駐點， . 又；(1). 在點處， ，有，故在點取極小值. (2). 在點處，有，由于，而在的某個鄰域內(nèi)既有大于0的值，也有小于0的值，例如，而.故在取不到極值. 注：可偏導函數(shù)的極值點一定是其駐點，但函數(shù)的極值點也可以在其不可偏導點處取得，例如：在取得極大值，但不是的駐點.三、函數(shù)最值的求法 在一元函數(shù)微分學中，我們利用函數(shù)極值求函數(shù)的最值，這一方法仍然適用于多元函數(shù). 設(shè)函數(shù)