《橢圓的標準方程》教學設(shè)計

1、橢圓的標準方程教學設(shè)計金鄉(xiāng)縣第一中學 劉明科一、指導思想與理論依據(jù)1. 新課程標準理念高中數(shù)學新課程標準指出： “強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化。高中數(shù)學課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，讓學生體會蘊涵在其中的思想方法?！痹凇皺E圓及其標準方程”的引入與推導中，遵循學生的認識規(guī)律，通過動手實踐、觀察思考、合作交流、應(yīng)用反思等過程，讓學生逐步將認識由感性上升到理性，把學生學習知識當作認識事物的過程來進行教學，努力揭示知識的發(fā)生、發(fā)展過程。2. 建構(gòu)主義理論建構(gòu)主義認為：知識不是通過教師講授得到的，而是學習者在一定的情境即社會文化背景下，借助其他人（包括教師和學習伙伴）的幫助

2、，充分利用各種學習資源（包括文字教材、音像資料、多媒體課件、軟件工具以及從Internet上獲取的各種教學信息等等），通過意義建構(gòu)而獲得。由于學習是在一定的情境下借助其他人的幫助即通過人際間的協(xié)作活動而實現(xiàn)的意義建構(gòu)過程，因此建構(gòu)主義學習理論認為“情境創(chuàng)設(shè)”、“協(xié)作學習”、“會話交流”是學習環(huán)境的基本要素。二、教學背景分析1. 教材分析解析幾何是數(shù)學一個重要的分支，它溝通了數(shù)學內(nèi)數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。平面解析幾何問題，就是借助建立適當?shù)淖鴺讼?，科學合理地把幾何問題代數(shù)化，運用代數(shù)的方法來研究幾何問題。在必修2中學生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法，并在平面直角坐標系中

3、研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形。在選修1中，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題。本章所研究的三種圓錐曲線都是重要的曲線，因為對這幾種曲線研究的問題基本一致，方法相同，所以教材對這三種圓錐曲線的學習的重點放在了橢圓上，通過求橢圓的標準方程，是學生掌握推導出這一類軌跡方程的一般規(guī)律和化簡的常用方法。因此，“橢圓及其標準方程”起到了承上啟下的重要作用。2. 學情分析知識方面（1）在必修2第二章里學生已經(jīng)學習了直線和圓的方程，并初步熟悉了求曲線方程的一般方法和步驟，具備主動探究橢圓知識的基礎(chǔ)；（2）根據(jù)日常生活中的經(jīng)驗，學生對橢圓有了一定的認識，但仍沒有上升到成為“概念”的

4、水平，將感性認識理性化將會是對他們的一個挑戰(zhàn)；（3）在初中階段沒有涉及過含兩個字母、兩個根式的方程化簡問題；自身特征方面（1）我所教授的班級是文科班，他們普遍對數(shù)學有一定的畏難情緒，但是他們思維比較活躍，對新鮮事物有一定的好奇心和探索欲望，對老師的講授敢于質(zhì)疑，有自己的想法和主見，愿意自己去探索是什么和為什么。并且具備了初步的探索能力；（2）對數(shù)學概念的學習只是停留在表面，對概念的形成過程不重視，所以無法深刻理解；（3）對于較復(fù)雜的計算問題，往往不知如何動手或懶得動手，計算能力較弱。但他們同時又樂于小組合作學習，學習氣氛濃厚；3. 教學方法及手段新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生學習的引

5、導者、組織者、合作者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、共同發(fā)展的過程。本節(jié)課采用讓學生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導的教學方法，并以多媒體手段輔助教學，使學生經(jīng)歷實踐、觀察、交流、分析、概括等理性思維的基本過程，切實改進學生的學習方式，使學生真正成為學習的主人。根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用幾何畫板的動態(tài)作圖優(yōu)勢為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持。三、教學目標及重難點1. 教學目標知識與技能（1）掌握橢圓的定義；（2）理解橢圓標準方程的推導過程，掌握橢圓標準方程的兩種形式，會運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；過程與方法（1）經(jīng)歷從具體情境中抽象出

6、橢圓模型的過程，逐步提高學生的觀察、分析、歸納、類比、概括能力；（2）通過橢圓標準方程的推導，進一步掌握求曲線方程的一般方法坐標法，并滲透數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法。情感、態(tài)度與價值觀在動手折紙得出橢圓的定義的學習過程中，培養(yǎng)學生思維的嚴密性；親身經(jīng)歷橢圓標準方程的獲得過程，感受數(shù)學的對稱、簡潔、和諧美，同時養(yǎng)成扎實嚴謹?shù)膶W習習慣，增強學生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神。2. 教學重難點重點：橢圓的定義和橢圓標準方程的兩種形式難點：橢圓的標準方程的建立和推導四、教學流程示意圖五、教學過程設(shè)計教學環(huán)節(jié)教師為主活動學生為主活動設(shè)計意圖情景引入【折紙活動】請拿出預(yù)先準備的圓形紙片（圓心

7、為O，F(xiàn)是圓內(nèi)異于圓心的一點），將圓紙片翻折，使翻折上去的圓弧通過F點，將折痕用筆畫上顏色，繼續(xù)上述過程，繞圓心一周，觀察所得到的圖形。動畫演示折紙的過程。【提問】在我們的日常生活中，橢圓隨處可見。你能舉出橢圓形的例子嗎？在肯定學生的回答后，老師加以補充。比如：嫦娥二號繞月球運行的是橢圓形的軌道；斜著切起出來的四色卷是橢圓的；裝飾品項鏈中間的飾物是橢圓形的；由此可見，橢圓是我們生活中一種重要的曲線。引出課題橢圓及其標準方程。 動手實踐，課前完成學生展示成果學生踴躍回答通過折紙游戲充分調(diào)動學生的學習興趣，激發(fā)學生的探究心理。為引出新知做鋪墊。通過舉例和展示生活中橢圓形的圖片，讓學生認識到橢圓和日

8、常生活關(guān)系密切。概念形成 讓我們回到折紙活動中，看看得到的橢圓究竟是怎樣形成的。我們不妨來分析其中的一個折疊過程。此時圓周上的點A與點F重合，連結(jié)OA，交折痕BC于點M，那么點M的軌跡是什么？（動畫演示）【提問】也就是說，橢圓就是滿足一定條件的點M的軌跡，那么點M滿足什么條件呢？如學生有困難，可按如下提示鋪設(shè)認知階梯：1. 如何用數(shù)學語言表達點A與定點F重合? 2. 線段垂直平分線上的點有什么幾何性質(zhì)?3. 動點M與定點之間有什么關(guān)系?【提問】你能否給橢圓下個定義？預(yù)設(shè)：與兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓教師引導，學生補充“平面內(nèi)”。【提問】要成為橢圓的定義，必須保證它足夠嚴謹，經(jīng)

9、得起推敲。那么這個常數(shù)是任意實數(shù)嗎？有什么限制條件嗎？預(yù)設(shè)：學生可能會遇到障礙，此時教師提醒：如何體現(xiàn)點在圓的內(nèi)部？【提問】繼續(xù)深化問題：如果常數(shù)，常數(shù)時，將是什么樣的情形？回答：就是剛才得到的橢圓學生以組為單位，合作探究，教師巡視指導點A與定點F2關(guān)于折痕軸對稱，折痕即對稱軸是線段AF的垂直平分線到線段兩個端點距離相等與兩個定點O、F的距離之和等于半徑OA預(yù)設(shè)：點在定圓 的內(nèi)部即點到圓心的距離小于圓的半徑，也就是在定義中需要加上“常數(shù)”的限制。常數(shù)，軌跡是線段；常數(shù)，軌跡不存在；通過分析動點與定點的關(guān)系，使學生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認識，培養(yǎng)思維的

10、嚴謹性經(jīng)概括總結(jié)后得到：【板書】文字語言：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于定長（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。數(shù)學語言：概念深化1. 已知、是定點，動點滿足，則點M的軌跡是（ ）A橢圓 B. 直線 C.圓 D.線段2已知是兩個定點，以線段為一邊畫三角形，試問滿足條件“的周長為20”的頂點的軌跡是什么樣的圖形？為什么？認真思考后回答學生初步理解了橢圓的概念，接下去還必須消化、鞏固。怎么消化鞏固？基于“雙基”和學生的認知規(guī)律，這里設(shè)計了兩道比較基礎(chǔ)的題目（第1題是自編題，第2道選自課本 2.1.1練習B第2題）。理解數(shù)學往往不可能一次完成，通過這兩道

11、題，學生來“做”數(shù)學，在“做”的過程中，認識到對橢圓定義的理解，一要抓住橢圓上的點所滿足的條件，二要注意定義中對“常數(shù)”的限定，從而進一步加深對橢圓概念的理解。方程推導我們已經(jīng)知道，在直角坐標平面上直線和圓都有相應(yīng)的方程，從而就可以用代數(shù)的方法來研究它們的幾何性質(zhì)、位置關(guān)系等。那么如何求橢圓的方程呢？【提問】求圓的方程的一般步驟是什么？ 建系設(shè)點：【提問】根據(jù)簡單和優(yōu)化的原則，如何建立平面直角坐標系？以兩定點、所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系（如圖）設(shè)，為橢圓上的任意一點，則、又設(shè)與、的距離的和等于 集合表示：由橢圓定義得：動點M的集合為： 坐標化：用含有動點坐標的方程表示：

12、 化簡：預(yù)案：移項后兩次平方法引導學生觀察橢圓圖形和推導出的橢圓方程的系數(shù)，學生容易發(fā)現(xiàn)實際上對應(yīng)圖形中的特殊線段，不妨令其為，則有，類比由化簡為截距式方程的方法將方程繼續(xù)化簡得到橢圓的標準方程【板書】橢圓的標準方程1 焦點在軸上的橢圓的標準方程： ，焦點是、這里?！咎釂枴咳绻裹c在軸上，橢圓的方程又是什么呢？2 焦點在軸上的橢圓的標準方程： 焦點是、這里。引導學生比較歸納出兩種標準方程的區(qū)別?？偨Y(jié)歸納：在兩種標準方程中，因為,所以可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上?！揪毩暋壳笙铝蟹匠瘫硎镜臋E圓的焦點坐標：（1） （2）建系設(shè)點集合表示坐標化化簡證明（一般省略）回答建立如圖坐標系：小

13、組交流，嘗試化簡觀察方程的特點，得出標準方程。記筆記思考交流，并回答思考交流，并回答通過對必修2中坐標法研究曲線性質(zhì)方法的復(fù)習，讓學生認識到本節(jié)課研究橢圓的一般方法和思路。在標準方程的推導過程中，問題的設(shè)問讓學生認識到在推導方程的過程中進行等價變形的重要性，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學演算習慣。提高運算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神；感受數(shù)學的簡潔美、對稱美讓學生對橢圓的兩種標準方程有個清晰的認識，體會問題的本質(zhì)所在，只是位置的不同，圖形是一樣的，為后面的應(yīng)用做準備初步應(yīng)用例1 根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程。（1） 兩個焦點的坐標分別是（-3,0），（3,0），橢圓上一點P與兩焦點的距離的和等于8；（2）

14、兩個焦點的坐標分別是（0，-4），（0,4），并且橢圓經(jīng)過點（）（3） 已知橢圓的焦距是6，橢圓上的一點到兩焦點距離的和等于10學生思考后回答例1（1）（2）小題是教材上的例題，設(shè)計目的：一是進一步理解橢圓的焦點位置與橢圓標準方程的關(guān)系（注意焦點在軸還是在軸上），掌握運用待定系數(shù)法求解橢圓標準方程的方法；二是加深學生對橢圓定義的理解與運用，學會運用橢圓定義求解橢圓標準方程。（3）小題是對（1）（2）的變式題，其目的是對學生進行分類討論數(shù)學思想的滲透，達到拓展知識、提高能力的目的。閱讀課本33頁內(nèi)容。閱讀課本橢圓的生成方式有多種，課本33頁給出了我們另外一種生成的方式，學生通過閱讀這部分內(nèi)容，再

15、一次感受橢圓的形成過程。目標檢測1. 已知橢圓的焦點坐標為和，且經(jīng)過點，求橢圓的標準方程。2. 設(shè)是橢圓上一點，是橢圓的焦點。如果點與焦點的距離為4，那么點與焦點的距離是多少？ 學生獨立完成這兩道題考查的知識點和方法與本節(jié)課所講解的內(nèi)容完全一致，通過這兩個小題對學生進行檢測，一方面可以加深學生對本節(jié)課的理解，同時也能夠及時反饋出學生對本節(jié)課知識和方法的落實情況，便于及時調(diào)整。歸納小結(jié)【課堂總結(jié)】1 知識層面2 方法層面3 學習反思學生小結(jié)歸納，不足的地方老師補充說明。讓學生自己小結(jié)，不僅僅總結(jié)知識，更重要的是總結(jié)數(shù)學思想方法，這樣可幫助學生自行構(gòu)建知識體系，理清知識脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學習習慣。作業(yè)布置1.必做題：課本 第1、2題2. 思考題：（2）已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于M、N兩點，則的周長為 ;（3）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是 .分層次布置作業(yè)