“華約”自主招生數(shù)學試題及解答(20102012)

1、2010年“華約”自主招生試題解析一、選擇題1設復數(shù)，其中為實數(shù)，若的實部為2，則的虛部為（ A ）（A） （B） （C） （D）2設向量，滿足，則的最小值為（D ）誰言書生無用，筆下亦顯英雄！悲劇的開端，往往也是榮耀的起點。悲劇，還是榮耀，只取決于你，取決于你是否堅強。（A）2 （B） （C）1 （D）3。缺4。缺5在中，三邊長，滿足，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）6如圖，的兩條高線交于，其外接圓圓心為，過作垂直于，與相交于，則與面積之比為（ ）（A） （B） （C） （D）7設過點且平行于軸的直線與曲線的交點為，曲線過點的切線交軸于點，則的面積的最小值是（ ）（A）1 （B）

2、 （C） （D）8設雙曲線，橢圓若的短軸長與的實軸長的比值等于的離心率，則在的一條準線上截得線段的長為（ ）（A） （B）2 （C） （D）49欲將正六邊形的各邊和各條對角線都染為種顏色之一，使得以正六邊形的任何3個頂點作為頂點的三角形有3種不同顏色的邊，并且不同的三角形使用不同的3色組合，則的最小值為（ ）（A）6 （B）7 （C）8 （D）910設定點是以點為中心的正四面體的頂點，用表示空間以直線為軸滿足條件的旋轉，用表示空間關于所在平面的鏡面反射，設為過中點與中點的直線，用表示空間以為軸的180旋轉設表示變換的復合，先作，再作。則可以表示為（ ）（A） （B） （C） （D）二、解答題1

3、1在中，已知，外接圓半徑（）求角的大??；（）求面積的最大值12設為拋物線上不同的四點，關于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點處的切線設到直線，直線的距離分別為，已知（）判斷是銳角三角形直角三角形鈍角三角形中的哪一種三角形，并說明理由；（）若的面積為240，求點的坐標及直線的方程13（）正四棱錐的體積，求正四棱錐的表面積的最小值；（）一般地，設正棱錐的體積為定值，試給出不依賴于的一個充分必要條件，使得正棱錐的表面積取得最小值14假定親本總體中三種基因型式：的比例為且數(shù)量充分多，參與交配的親本是該總體中隨機的兩個（）求子一代中，三種基因型式的比例；（）子二代的三種基因型式的比例與子一代的三種

4、基因型式的比例相同嗎？并說明理由15設函數(shù)，且存在函數(shù)，滿足（）證明：存在函數(shù)滿足；（）設證明：2010年五校合作自主選拔通用基礎測試數(shù)學參考答案一、選擇題AD C ABDBD二、解答題11解：（）由得 所以即因為為內角所，（）又由余弦定理得，即又，所以有，當且僅當即為等邊三角形時，的面積取得最大值12解：（）設則由可知的斜率因此可以設直線方程為把代入，整理得所以因為都不平行于軸，所以直線斜率之和為可知直線的傾角互補，而平行于軸，所以平分作為垂足則可得由已知，可得，所以所以為直角三角形（）如圖，根據(jù)的結果，可以設直線的方程分別為把分別代入，得所以由已知可知，所以解得，所以或當取時，求得，又斜率

5、，所以直線方程為,即同理，當取時，直線方程為13解：（）設正四棱錐的底面正方形的邊長為，高為則正四棱錐的體積正四棱錐的表面積 從而 令設則令解得當時，當時，當時取得最小值正四棱錐的表面積的最小值為4.（）一般地，設正棱錐的底面正邊形的中心到各邊的距離為，高為，則正邊形的體積正棱錐的表面積由（）知，當時，正棱錐的表面積取得最小值。由于正棱錐的表面積與底面機之比為可知使正棱錐的表面積取得最小值得一個充分必要條件是正棱錐的表面積是地面積的4倍。解：（）參與交配的兩個親本（一個稱為父本，一個稱為母本）的基因型式的情況，及相應情況發(fā)生的概率和相應情況下子一代的基因型式為，的概率如下表：父本、母本的基因型

6、式相應情況出現(xiàn)的概率子一代基因為的概率子一代基因為的概率子一代基因為的概率父母父母父母父母父母父母父母父母父母子一代的基因型式為的概率為 . 由對稱性知子一代的基因型式為的概率為 . 子一代的基因型式為的概率為 若記，則， ，子一代三種基因型式：，的比例為. （）由（）可知子二代的基因型式為，的比例為，其中 ，.由，可得，.故子二代三種基因型式，的比例為，與子一代基因型式的比例相同. 15解法一： （）令，代入化簡得 由于等式對所有成立，可知解得 令，代入，化簡得所以存在使得 （）令注意到，由（）知， 化為可知從而統(tǒng)一寫為從而有 解法二：（）同解法一，可求出 取則所以 （）由， 得 （1） 把

7、（1）式兩邊都加上2得： （2） 把（1）式兩邊都減去2得： （3） 若存在，使，由（3）可知 與矛盾 所以不存在，使 （2）式除以（3）式得 因為 所以所以所以 所以 解法三：（）由解法一得， 由 （1） 易看出（1）式中即得所以存在，即（）用數(shù)學歸納法（1）當時，顯然成立（2）易得，（）假設當時，命題成立即則當時，當時，當時，只需證即證即證即證即證即，而此式是假設成立的所以（2）成立由（1），（2）可知，原命題成立2011年“華約”自主招生試題解析一、選擇題1.設復數(shù)z滿足|z|0）,使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 解：(I)如圖，利用雙曲線的定義，將原題轉化為：在P

8、 F1 F2中，E為PF1上一點，PE PF2，E F1 2a，F(xiàn)1 F2 2c，求.設PE PF2 EF2 x，F(xiàn) F2 ， ，.E F1 F2為等腰三角形，于是，.FEPF12aP2cF22x(II) 此解法可能有誤15.將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以pn表示未出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率.(I)求p1，p2，p3，p4；(II)探究數(shù)列 pn的遞推公式，并給出證明；(III)討論數(shù)列 pn的單調性及其極限，并闡述該極限的概率意義.分析與解：(I)顯然p1p21，；又投擲四次連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的情況只有：正正正正或正正正反或反正正正，故.(II)共分三種情況：如果第n次出現(xiàn)反面，那么前n次不

9、出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率；如果第n次出現(xiàn)正面，第n1次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n2次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是；如果第n次出現(xiàn)正面，第n1次出現(xiàn)正面，第n2次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n3次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是.綜上，.（），(III)由(II)知，（），有（）所以時，pn的單調遞減，又易見p1p2p3p4.時，pn的單調遞減，且顯然有下界0，所以pn的極限存在.對兩邊同時取極限可得.其統(tǒng)計意義：當投擲的次數(shù)足夠多時，不出現(xiàn)連續(xù)三次正面向上的次數(shù)非常少，兩者比值趨近于零.201

10、2年“華約”自主招生試題解析2012年自主招生華約聯(lián)考數(shù)學試題解答（前4題）暢銷5年，備考首選各選所需，全程導航自主招生三大系列備考指南系列 全國重點高校自主招生備考指南高一、高二基礎版從高一開始行動起來！專為高一、高二學生設計，細致分析自主招生關鍵信息，深入講解自主招生備考方略。全國重點高校自主招生備考指南華約+卓越聯(lián)盟版全國重點高校自主招生備考指南北約版（含復旦千分考）政策、選校、筆試、面試，一本全搞定！細致分析政策信息，解答歷年考生的常見問題教你鎖定目標高校，匯編盟內高校的關鍵信息參照歷年真題的題型、知識分布、難度范圍，編制仿真模擬卷，供你沖刺練兵指點面試要津，列舉面試真題、模擬題，助你

11、順利闖過最后關卡高效備考系列 名牌大學自主招生高效備考(高三學生適用)為優(yōu)秀高中生量身定制，分學科深入導航分學科側重補充中學教材上未涉及的但在自主招生筆試中經(jīng)?？嫉降闹匾R以清華北大復旦交大等校的歷年考題為例展示這些知識和原理的運用輔以一線教師精選的試題供參加自主招生考試的學生訓練使用同步輔導系列重點推薦新書 名牌大學自主招生同步輔導(高一、高二學生適用)按照學科，又分上下冊 每冊書大體按小專題(講)編寫，次序與學校教學內容的次序大體相同，上冊內容緊扣高一教材，下冊內容緊扣高二教材。每個專題都包含以下部分：知識歸納將高考教材中已有的相關知識作簡要總結，重點突出教材中不太講或略講的，但自主招生

12、中?？嫉闹R內容。并做到每個知識點都配有相應的例題，以加深學生對這部分知識的理解。真題精析主要選取與本專題知識相關的一些名校自主招生試題，通過相應的分析和點評，讓學生體會到自主招生在知識和能力兩方面是怎樣考查學生的。鞏固練習結合本專題的知識內容選取若干練習題供學生復習鞏固應用，題目分A、B兩級，難度有所區(qū)分。配有答案與提示，方便學生使用。序號書名作者1名牌大學自主招生高效備考數(shù)學范端喜2名牌大學自主招生高效備考物理張大同 范小輝3名牌大學自主招生高效備考化學施華4名牌大學自主招生高效備考英語劉驍5全國重點高校自主招生備考指南（高一、高二基礎版）高三教育工作室6高考導航全國重點高校自主招生備考指南（高三沖刺版）（華約+卓越聯(lián)盟版）高