IIR濾波器的DSP實現(xiàn)

1、IIR濾波器的DSP實現(xiàn) IIR濾波器的DSP實現(xiàn) IIR濾波器與FIR濾波器相比，具有相位特性差的缺點，但其結(jié) 構(gòu)簡單、運算量小，具有經(jīng)濟、高效的特點，并且可以用較少的階 數(shù)獲得很高的選擇性。 一、IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu) 01 ( )()() NM ii ii y nb x nia y ni X（n）為輸入序列，y（n）為輸出序列。 0 iii abaFIR和 為濾波器系數(shù)。若所有系數(shù) 為 ，則為濾波器。 FIR濾波器具有無限長的單位脈沖響應(yīng)，在結(jié)構(gòu)上存在反饋回路， 具有遞歸性，即IIR濾波器的輸出不僅與輸入有關(guān)，還和過去的輸出有 關(guān)。 01 12 ( )( )(1)() (1)(2)()

2、N M y nb x nb x nb x nN a y na y nanM 在0初始條件下，進(jìn)行Z變換，得到 1 01 12 12 ( )( )( )( ) ( )( )( ) N N M M Y zb X zb z X zbX z a z Y za z Y za zY z 若N=M，則傳遞函數(shù)為 1 01 1 1 ( ) ( ) ( )1 N N N N bb zb zY z H z X za za z 上式可寫為 1 01 1 1 1 ( ) NN N Ni NN i Ni b zb zbzz H zC za zazp i p i zN具有 和 個極點 ，若極點位于單位圓外將導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定

3、。 1,( )0, 1,( ), i i IIR pnh n pnh n 對于濾波器，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件如下： 若當(dāng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定； 若當(dāng)時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 IIR濾波器的形式 1、直接型（也稱直接I型） 2、標(biāo)準(zhǔn)型（也稱直接II型） 3、變換型 4、級聯(lián)型 5、并聯(lián)型 （一）二階IIR濾波器 二階IIR濾波器，又稱為基本節(jié)，分為直接型、標(biāo)準(zhǔn)型和 變換型。對于一個二階IIR濾波器，其輸出可以寫成： 01212 ( )( )(1)(2)(1)(2)y nb x nb x nb x na y na y n 1、直接型（直接I型） 直接I型二階IIR濾波器 直接I型二階濾波器還可用如下結(jié)果實現(xiàn) 2 0 2

4、0 ( )() ( )( )() i i j j y nbw ni w nx nb w nj 前向通道： 反饋通道： 2、標(biāo)準(zhǔn)型（直接II型） 直接II型二階IIR濾波器的這種結(jié)構(gòu)使用的延遲單元最少， 得到了廣泛的應(yīng)用，稱之為標(biāo)準(zhǔn)型IIR濾波器 3、變換型 與標(biāo)準(zhǔn)型IIR濾波器相比，延遲單元的數(shù)目和乘法的次數(shù)不 變，但只需要三次累加。這種結(jié)構(gòu)最大的優(yōu)點是內(nèi)部節(jié)點溢出 的可能性小，從而得到廣泛的應(yīng)用。 （二）級聯(lián)型IIR濾波器 一個高階IIR濾波器，可以由多個基本節(jié)級聯(lián)組成，其傳遞 函數(shù)可以表示為 12 ( )( )( )( ) k H ZCH z HzHz ( ) i H z式中可以是一階或二

5、階的傳遞函數(shù)，其級聯(lián)型濾波器的 結(jié)構(gòu)如圖所示： 由兩個基本節(jié)級聯(lián)的四階IIR濾波器結(jié)構(gòu)圖如下： （三）并聯(lián)型IIR濾波器 用一階或二階基本節(jié)并聯(lián)同樣可以實現(xiàn)高階IIR濾波器，其 傳遞函數(shù)可以表示為 12 ( )+( )+( )+( ) k H ZC H zHzHz ( ) i H z式中可以是一階或二階的傳遞函數(shù)，其并聯(lián)型濾波器的 結(jié)構(gòu)如圖所示： 二、IIR濾波器的設(shè)計 IIR濾波器的設(shè)計利用模擬濾波器原型，借鑒成熟的模擬濾波器 的設(shè)計結(jié)果進(jìn)行雙線性變換，將模擬濾波器變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的 數(shù)字濾波器，即根據(jù)模擬設(shè)計理論設(shè)計出滿足要求的傳遞函數(shù)H(s)， 然后將H(是）變化成傻子濾波器的傳遞函數(shù)

6、H(z)。 設(shè)計IIR濾波器的基礎(chǔ)是設(shè)計模擬濾波器的原型，原型濾波器有： 巴特沃思（Butterworth）濾波器，其幅度響應(yīng)在通帶內(nèi)具有最平 特性； 切比雪夫（Chebyshev）濾波器，在通帶內(nèi)具有等波紋特性，且階 數(shù)小于巴特沃思濾波器； 橢圓（Elliptic）濾波器，在通帶和阻帶內(nèi)具有等波紋特性，且 階數(shù)最小。 將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器常用的方法是雙線性變換，其 作用是完成從s平面到z平面的一個映射。其關(guān)系為： 1 1 1 1 z s z s z s 雙線性變換的基本性質(zhì)如下： s平面上的jw映射到z平面的單位圓上； s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)； s平面的右半平面映射到

7、z平面的單位圓外； 考慮到s平面上虛軸映射為z平面的單位圓，令 A sj z D 代表一個可變的模擬頻率。其 平面上相應(yīng)的數(shù)字頻率為 D jT ze /2/2/2 /2/2/2 1() 1() DDDD DDDD jTjTjTjT A jTjTjTjT eeee j eeee 可得： arctan 2 D A T ( )( ) jT D A sj z e H sH z 模擬頻率和數(shù)字頻率之間的對應(yīng)關(guān)系為 模擬頻率和數(shù)字頻率之間的映射關(guān)系如下圖 010/ 4 / 4/ 2 ADs ADss s 當(dāng)在之間變化時，在之間變化，為采樣頻率；當(dāng) 1時，在之間。雙線性變換會造成頻率失真，通常 采用預(yù)畸變來

8、補償頻率失真。 / 1 1 1 2 3 4 z = A D A A s s z A s z H s HH 雙線性變換設(shè)計步驟如下： 、選擇一個合適的模擬傳遞函數(shù)H(s); 、對截止頻率或預(yù)定的數(shù)字頻率進(jìn)行預(yù)畸變，并根據(jù)公式求得 相應(yīng)的模擬頻率 、用對H(s)中的頻率進(jìn)行換算，即： H(s) 、計算 （z） （ ） s s /20 =1rad /sf =z =1rad /s,1/f0.1s 1 1 H(s)= s+1 2 1 0.11 =arctanarctan 2220 3( ) 11 ( )() 120 A W W A A A s sss B BT T H s H s ss D D D 例：

9、設(shè)計一個低通濾波器，帶寬，采樣頻率10H 。 解：根據(jù)給定的指標(biāo)，令=。 、選擇一個滿足帶寬條件的低通模擬濾波器，其傳遞函數(shù)為： 、根據(jù)公式,對進(jìn)行預(yù)畸變，求。 、由對進(jìn)行校正 11 11 1 4( ) 1 ( )()() 201 1 2119 zz ss Azz H z s H zH s z z 、根據(jù)公式，求期望的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)，有： 三、IIR濾波器的MATLAB設(shè)計 1、butter函數(shù) 功能：用于設(shè)計Butterworth濾波器 語法：b,a=butter(n,Wn); b,a=butter(n,Wn,ftype); 說明：butter函數(shù)可以設(shè)計低通、帶通、高通和帶阻數(shù)字濾波

10、器，其特性可使通帶 內(nèi)的幅度響應(yīng)最大限度地平坦，但會損失截止頻率處的下降斜度，使幅度響應(yīng)衰減 較慢。 b,a=butter(n,Wn)可以設(shè)計截止頻率為Wn的n階低通Butterworth濾波器，其中截止 頻率Wn應(yīng)滿足0Wn1，Wn=1相當(dāng)于0.5fs（采樣頻率）。當(dāng)Wn=W1,W2時， butter產(chǎn)生一個2n階的數(shù)字帶通濾波器，其通帶為w1WW2 （一）巴特沃思濾波器設(shè)計 b,a=butter(n,Wn,ftype)可以設(shè)計高通或帶阻濾波器。 當(dāng)ftype=high時，可以設(shè)計截止頻率為Wn的高通濾波器， 當(dāng)ftype=stop時，可設(shè)計帶阻濾波器，此時Wn=W1,W2， 阻帶為w1WW

11、s時，為高通濾波器，當(dāng)Wp、Ws為二元矢量時，則為帶通或帶阻濾波器，此 時，Wn也為二元矢量。 利用buttord函數(shù)可以得到Butterworth數(shù)字濾波器的最小階數(shù)n，并使通帶（0，Wp）內(nèi) 的波紋系數(shù)小于Rp，阻帶（Ws，1）內(nèi)衰減系數(shù)大于Rs。buttord函數(shù)還可以得到截止頻率 Wn，在利用butter函數(shù)可以產(chǎn)生滿足指定性能的濾波器。 例1：設(shè)計一個帶通IIR濾波器，通帶范圍100250Hz，帶通的波紋 系數(shù)小于3dB，帶外50Hz處的衰減30dB。 解：根據(jù)給出的濾波器的性能，首先利用buttord函數(shù)確定最小 階數(shù)n，然后利用butter函數(shù)來實現(xiàn)，程序如下： wp=100 2

12、50/500; ws=50 300/500; n,wn=buttord(wp,ws,3,30); b,a=butter(n,wn); freqz(b,a,512,1000); b = 0.0011 0 -0.0078 0 0.0235 0 -0.0392 0 0.0392 0 -0.0235 0 0.0078 0 -0.0011 a = 1.0000 -4.9274 13.2492 -24.7665 35.6652 -41.2958 39.3815 -31.2358 20.6830 -11.3623 5.1147 -1.8355 0.5032 -0.0955 0.0102 1 01 1 1 (

13、 ) ( ) ( )1 N N N N bb zb zY z H z X za za z 1、cheby1函數(shù) 功能：用于設(shè)計Chebyshev I型濾波器（通帶等波紋） 語法：b,a=cheby1(n,Rp，Wn); b,a=cheby1(n,Rp，Wn,ftype); 說明：cheby1函數(shù)可以設(shè)計低通、帶通、高通和帶阻Chebyshev I型數(shù)字濾波器，其 通帶內(nèi)為等波紋，阻帶內(nèi)為單調(diào)。 Chebyshev I型的下降斜度比Chebyshev II型大，當(dāng) 其代價是在通帶內(nèi)波紋較大。 b,a=cheby1(n,Rp，Wn)可以設(shè)計n階低通Chebyshev I型數(shù)字濾波器，其中Rp用來確

14、定通 帶內(nèi)的波紋，Wn為該濾波器的截止頻率。 當(dāng)Wn=W1,W2時，cheby1函數(shù)可產(chǎn)生一個2n階的數(shù)字帶通濾波器，其通帶 w1WW2。 b,a=cheby1(n,Rp，Wn,ftype)可用來設(shè)計n階高通或帶阻濾波器，其中Rp和Wn同上， ftype的定義與butter函數(shù)相同。 （二）切比雪夫濾波器設(shè)計 切比雪夫（Chebyshev）濾波器分為Chebyshev I型和Chebyshev II型兩種 類型，分別具有通帶等波紋和阻帶等波紋性能 2、cheby1ord函數(shù) 功能：用于選擇Chebyshev I型濾波器的階數(shù) 語法：語法：n,Wn=cheby1ord(Wp，Ws，Rp，Rs);

15、 說明：cheby1ord函數(shù)可以在給定濾波器性能的情況下，選擇Chebyshev I數(shù)字濾波器 的最小階數(shù)，其中Wp和Ws分別是通帶和阻帶的截止頻率，其值為0Wp（或Ws）1，Rp 和Rs分別是通帶和阻帶的波紋系數(shù)和衰減系統(tǒng)。 n,Wn=cheby1ord(Wp，Ws，Rp，Rs)可以得到高通、帶通和帶阻濾波器的最小階數(shù)。 利用cheby1ord函數(shù)，除了可以得到Chebyshev I數(shù)字濾波器的最小階數(shù)n外，還可以得 到截止頻率Wn，再利用cheby1函數(shù)可以產(chǎn)生滿足指定性能的濾波器，是了不起通帶（0， Wp）內(nèi)的波紋系數(shù)小于Rp，阻帶（Ws，1）內(nèi)衰減系數(shù)大于Rs。 例2：設(shè)計一個低通C

16、hebyshec I型濾波器，通帶范圍0100Hz，通 帶的波紋3dB，阻帶衰減-30dB，數(shù)據(jù)采樣頻率為1000Hz。 Wp=100/500; Ws=200/500; n,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,3,30); b,a=cheby1(n,3,Wn); freqz(b,a,512,1000) 解：利用cheb1ord函數(shù)和cheby1函數(shù)設(shè)計濾波器，程序如下： b = 0.0066 0.0198 0.0198 0.0066 a = 1.0000 -2.3605 2.1018 -0.6884 3、cheby2函數(shù) 功能：用于設(shè)計Chebyshev II型濾波器（阻帶等波紋） 語法：b,

17、a=cheby2(n,Rp，Wn); b,a=cheby2(n,Rp，Wn,ftype); 說明：cheby2函數(shù)與cheby1函數(shù)基本相同，只是用cheby2函數(shù)設(shè)計濾波器，其通 帶內(nèi)為單調(diào)的，阻帶內(nèi)為等波紋，由Rs指定阻帶內(nèi)的波紋。 Cheby2函數(shù)可以設(shè)計低通、帶通、高通和帶阻Chebyshev II型數(shù)字濾波器 4、cheby2ord函數(shù) 功能：用于選擇Chebyshev II型濾波器的階數(shù) 語法： n,Wn=cheb2ord(Wp，Ws，Rp，Rs); 說明：cheb1ord函數(shù)與cheb1函數(shù)類似，可以利用該函數(shù)確定Chebyshev II數(shù)字濾波器 的最小階數(shù)和截止頻率Wn。 例

18、3：設(shè)計一個Chebyshec II型帶通濾波器，通帶范圍100250Hz， 通帶的波紋3dB，帶外50Hz處阻帶衰減-30dB，數(shù)據(jù)采樣頻率為 1000Hz。 Wp=100 250/500; Ws=50,300/500; n,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,3,30); b,a=cheby2(n,3,Wn); freqz(b,a,512,1000)ba b = 0.6388 -0.9650 -0.1847 -0.1252 1.2822 -0.1252 -0.1847 -0.9650 0.6388 a = 1.0000 -1.8644 0.6070 -0.4181 1.4568 -0.31

19、35 -0.3794 -0.4839 0.4094 （三）橢圓濾波器設(shè)計 1、ellip函數(shù) 功能：用于設(shè)計Elliptic（橢圓）濾波器 語法：b,a=ellip(n,Rp,Rs,Wn); b,a=ellip(n, Rp,Rs,Wn,ftype); 說明：ellip函數(shù)與cheby1、cheby2函數(shù)類似，可以設(shè)計低通、帶通、高通和帶阻 數(shù)字濾波器，參數(shù)Rp、Rs分別用來指定通帶波紋和阻帶波紋，Wn指定濾波器的 截止頻率，n為濾波器階數(shù)。 與Butterworth和Chebyshev濾波器相比，ellip函數(shù)可以得到下降斜度更大、 衰減更快的濾波器，當(dāng)通帶和阻帶均為等波紋。通常情況下，橢圓濾

20、波器能以最 低的階數(shù)實現(xiàn)指定的性能。 b,a=ellip(n, Rp,Rs,Wn)可以設(shè)計n階低通或帶通濾波器，當(dāng)Wn=W1,W2時，可設(shè) 計帶通濾波器。 b,a=ellip(n, Rp,Rs,Wn,ftype)可設(shè)計n階高通或帶阻濾波器。 當(dāng)ftype=high時，可設(shè)計截止頻率為Wn的高通濾波器；當(dāng)ftype=stop，且Wn=W1,W2 時，可設(shè)計帶阻濾波器，阻帶為w1W EPROM PAGE0 .data : EPROM PAGE0 DX : align(4) DARAM PAGE1 DY : align(4) DARAM PAGE1 DB : align(4) DARAM PAGE1

21、 DA : align(4) DARAM PAGE1 .vectors : VECS PAGE0 相 應(yīng) 的 鏈 接 命 令 文 件： （二）高階IIR濾波器的實現(xiàn) 一個高階IIR濾波器可以由若干個二階基本節(jié)相級聯(lián)或并聯(lián)構(gòu)成。由于調(diào)整 每個二階基本節(jié)的系數(shù)，只涉及這個二階基本節(jié)的一對極點和零點，不影響其 他極點和零點，因此用二階基本節(jié)構(gòu)成的IIR濾波器便于系統(tǒng)的性能調(diào)整，受量 化噪聲影響小，因而得到廣泛的應(yīng)用。 下面以四階橢圓低通濾波器為例，介紹高階濾波器的設(shè)計方法。 先求出四階橢圓低通濾波器的傳遞函數(shù)H(z) 再分解成兩個級聯(lián)的二階基本節(jié)，分別求出系數(shù)，保存在iir_coff中 循環(huán)執(zhí)行兩次

22、二階基本節(jié)，分別求出系數(shù)，得到一個濾波后的值。 處理的采樣點數(shù)由K_FRAME_SIZE決定。 二階基本節(jié)采用標(biāo)準(zhǔn)型二階IIR濾波器結(jié)構(gòu) 反饋通道： w(n)=x(n)+a1w(n-1)+a2w(n-2) 前向通道： y(n)=b0w(n)+b1w(n-1)+b2w(n-2) 由上式對二階IIR濾波器進(jìn)行編程，其中乘法-累加運算可采用單操作數(shù)指令 或雙操作數(shù)指令，數(shù)據(jù)和系數(shù)可存放在DARAM中。 .mmregs .include “main.inc” iir_table_star .sect “iir_coff” ; 第一個二階基本節(jié)系數(shù) .word -26778 ;a2 .word 2952

23、9 ;a1/2，對大于1的系數(shù)定標(biāo) .word 19381 ; b2 .word -23184 ;b1 .word 19381 ;b0 ; 第一個二階基本節(jié)系數(shù) .word -30479 ;a2 .word 31131 ;a1/2，對大于1的系數(shù)定標(biāo) .word 11363 ; b2 .word -20735 ;b1 .word 11363 ;b0 iir_table_end iir_coff_table .usect “coff_iir”,16 iir_d .usect “iir_vars”,3*2 iir_y .usect “iir_vars”,1 .def iir_init .def i

24、ir_task ; 初始化程序，用于初始化數(shù)據(jù)緩沖區(qū)和系數(shù)緩沖區(qū) iir_d .usect “iir_vars”,3*2 iir_y .usect “iir_vars”,1 .sect “iir” iir_init: STM #iir_coff_table,AR1 ;AR1指向iir_coff_table RPT # K_FRAME_SIZE-1 ;將系數(shù)移到數(shù)據(jù)寄存器 MVPD #iir_table_start,*AR1+1 STM #iir_d,AR2 ;AR2指向iir_d RPTZ A,#5 ;數(shù)據(jù)初始化 STL A,*AR2+ ; 使w(n)w(n-1)w(n-2) 為0 RET ;

25、 IIR濾波器處理程序 .sect “iir” iir_task: STM #in_buf,AR3 ;AR3指向采樣數(shù)據(jù)入口 STM #out_buf,AR4 ; AR4指向采樣數(shù)據(jù)出口 STM #K_FRAME_SIZE-1,BRC ;設(shè)置采樣點的個數(shù) RPTB iir_filter_loop-1 ;由采樣點的個數(shù)進(jìn)行濾波 LD *AR3+,8,A ;裝載輸入數(shù)據(jù) iir_filter: STM #iir_d+5,AR2 ;AR2指向w(n)w(n-1)w(n-2) STM #iir_coff_table,AR1 ;AR1指向a2,a1/2,b2,b1,b0 STM #K_BIQUD-1,A

26、R0 ;設(shè)定二階基本節(jié)的個數(shù) feedback_path: MAC *AR1+,*AR2-,A ;A=x(n)+a2*w(n-2) MAC *AR1,*AR2,A ;A=x(n)+a2*w(n-2)+a1*w(n-1)/2 MAC *AR1+,*AR2-,A ;A=x(n)+a2*w(n-2)+a1*w(n-1) STH A,*AR2+ MAR *AR2+ forward_path: MPY *AR1+,*AR2-,A ;A=b2*w(n-2) MAC *AR1+,*AR2-,A ; A=b2*w(n-2)+b1*w(n-1) DELAY *AR2- ;w(n-2)=w(n-1) eloop: BANZD feedback_path,*AR0- ;二階節(jié)未計算完，則循環(huán) MAC *AR1+,*AR2,A ;A=b2*w(n-2)+b1*w(n-1)+b0*w(n) DELAY *AR2- ;w(n-1)=w(n) STH A,iir_y LD iir_y,2,A ;定標(biāo)輸出數(shù)據(jù) STL A,*AR4+ ;存儲濾波結(jié)果 iir_filter_loop RET .end 程序說明： 在程序中，