3.1.3兩個(gè)向量的數(shù)量積(用)

1、3.1.3 空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算 教學(xué)過(guò)程 一、幾個(gè)概念一、幾個(gè)概念 1 1） 兩個(gè)向量的夾角的定義兩個(gè)向量的夾角的定義 ba baAOBbOBaOA Oba , , ., 記作： 的夾角，與叫做向量則角作 ，在空間任取一點(diǎn)量如圖，已知兩個(gè)非零向 O O A A B B a a b b 夾夾 角角 的的 頂頂 點(diǎn)點(diǎn) 為為 兩兩 個(gè)個(gè) 向向 量量 的的 起起 點(diǎn)點(diǎn) ba,01 ）范圍：注意：（ abba,)2( (3), 2 ,0 , a b abab a bab a bab 如果 則稱(chēng) 與 互相垂直，并記作： 如果，則 與 同向 如果，則 與 反向 2 2）兩個(gè)向量的數(shù)量積）兩個(gè)向

2、量的數(shù)量積 注意：注意： 兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量. 零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。 bababa ba babababa aaOAaOA ,cos , ,cos, , 即記作： 的數(shù)量積，叫做向量，則已知空間兩個(gè)向量 記作：的長(zhǎng)度或模的長(zhǎng)度叫做向量則有向線(xiàn)段設(shè) 3 cos, a b a b a b （ ）公式變形： 向量夾角公式： 二、二、. .空間向量的數(shù)量積性質(zhì)空間向量的數(shù)量積性質(zhì) | ,cos)4 )3 0)2 ,cos) 1 22 2 ba ba ba aaaaaa baba eaaea 注意：注意：性質(zhì)性

3、質(zhì)2 2）是證明）是證明兩向量垂直兩向量垂直的依據(jù)；的依據(jù)； 性質(zhì)性質(zhì)3 3）是）是求向量的長(zhǎng)度（模）求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)；的依據(jù)； （）性質(zhì)是（）性質(zhì)是求兩個(gè)向量夾角求兩個(gè)向量夾角的依據(jù)；的依據(jù)； 對(duì)于非零向量對(duì)于非零向量 ，有：，有：,a b 三三. .空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律 注意：注意： 分配律） 交換律） ()(3 ()2 )()() 1 cabacba abba baba 數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律 )()cbacba（ 22 2 22 222 2 12 (2) (3)222 a baba b a b a bab a b cabca b

4、b cc a （）（） （） （） 結(jié)論： 課堂練習(xí)課堂練習(xí) ._, 2, 2 2 ,22. 1 所夾的角為則 已知 ba baba )()5 )()4 )()()3 )()()()2 )(00, 01 . 2 22 2 22 qpqpqp baba qpqp cbacba baba 或則若） 判斷真假： 數(shù)量積的應(yīng)用 數(shù)量積的應(yīng)用（一）求線(xiàn)線(xiàn)角 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 課本92頁(yè)1. 例例1 1已知在平行六面體中，已知在平行六面體中，, , , , 求對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)。求對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)。 ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC A D C B A D C B

5、 數(shù)量積的應(yīng)用（二）求線(xiàn)段長(zhǎng)度 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 課本92頁(yè)3. O AC B () | |cos| |cos | |cos 證證明明：因因?yàn)闉镺A BCOA OCOB OA OCOA OB OAOCOAOB OAOB | |cos 0 OAOB OABC OABCOBOC AOBAOCOABC 例例1 1、已已知知空空間間四四邊邊形形， ，求求證證： 數(shù)量積的應(yīng)用（二）證明垂直 P O A l a 證明：證明： 如圖如圖,已知已知:,POAOllOA射射影影且且 求證：求證：lPA 在直線(xiàn)在直線(xiàn)l上取向量上取向量 ,只要只要證證 a 0a PA () 0 a PAaPOOA a POa OA

6、 ,aPAl 即即PA.PA. 為為 P O A l a 0,0a POa OA 逆命題成立嗎? P O A l a 在正方體在正方體AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的射影上的射影 C B A1 B1 C1 A D D1 證明：證明： C B A1 B1 C1 A D D1 同理可證，同理可證， A1CB1D1 由三垂線(xiàn)定理知由三垂線(xiàn)定理知 A1CBC1 1 11111 AC ACBCACB D 練：在正方體中， 求證：， C B A1 B1 C1 A D D1 結(jié)論結(jié)論:正方體的對(duì)角線(xiàn)與每個(gè)面中與之正方體的對(duì)角線(xiàn)與每個(gè)面中與之 為

7、異面直線(xiàn)的對(duì)角線(xiàn)垂直為異面直線(xiàn)的對(duì)角線(xiàn)垂直 l m n g n g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml m 0,.l glg 即即 ,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 內(nèi)內(nèi)任任一一直直線(xiàn)線(xiàn). 解解: 在在 內(nèi)作不與內(nèi)作不與m ,n重合的任一直線(xiàn)重合的任一直線(xiàn)g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m與與n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù) ,使使 ( , )x y 例例3:已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)m ,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn), 如果如果 m,