函數(shù)模型的應用實例

1、2021/6/211 2021/6/212 一輛汽車在某段路程中的一輛汽車在某段路程中的 行駛速率與時間的關(guān)系如行駛速率與時間的關(guān)系如 圖所示圖所示: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 12534t / h (1)求圖中陰影部分的面積求圖中陰影部分的面積,并說明并說明 所求面積的實際含義所求面積的實際含義; (3)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行 駛這段路程前的讀數(shù)為駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試試 建立汽車行駛這段路程時汽車里程建立汽車行駛這段路程時汽車里程 表讀數(shù)表讀數(shù)s km與時間與時間 t 的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式, 并作出相應的圖象并

2、作出相應的圖象. o (2)試建立汽車行駛路程試建立汽車行駛路程S km 與時間與時間t h的函數(shù)解析式，并作出的函數(shù)解析式，并作出 相應的圖象相應的圖象 1 /()Vkm h 2021/6/213 汽車行使路程與時間的函數(shù)解析式 S 5001tt（） 80(1)5012tt （） ）（3130)2(90tt ）（4220) 3(75tt ) 5295)4(65tt（ 2021/6/214 里程表讀數(shù)與時間的函數(shù)關(guān)系式 S )1t0(2004t50 )2t1(2054)1t (80 )3t2(2134)2t (90 )4t3(2224)3t (75 )5t4(2299)4t (65 2021/

3、6/215 2000 2200 2300 2400 12534 t o 2100 s 2021/6/216 人口問題是當今世界各國普遍關(guān)注的問題人口問題是當今世界各國普遍關(guān)注的問題.認識認識 人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提 供依據(jù)供依據(jù). 早在早在1798年，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯就提出了年，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯就提出了 自然狀態(tài)下的人口增長模型：自然狀態(tài)下的人口增長模型： , 0, rt o o yy e t yt r 其中 表示經(jīng)過的時間 表示時的人口數(shù) 表示人口的年平均增長率 2021/6/217 (1)如果以各年人口增長如果以各年

4、人口增長 率的平均值作為我國這率的平均值作為我國這 一時期的人口增長率一時期的人口增長率 (精確到精確到0.000 1)用馬爾用馬爾 薩斯人口增長模型建立薩斯人口增長模型建立 我國在這一時期的具體我國在這一時期的具體 人口增長模型人口增長模型,并檢驗并檢驗 所得模型與實際人口數(shù)所得模型與實際人口數(shù) 據(jù)是否相符據(jù)是否相符; 年份 人數(shù)/萬人 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 58796 1954 60266 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207 , 0, rt o o yy e t

5、yt r 其中 表示經(jīng)過的時間 表示時的人口數(shù) 表示人口的年平均增長率 19501959年我國的人口數(shù)據(jù)資料年我國的人口數(shù)據(jù)資料: 2021/6/218 Ntey y rrrr rrrr rrrr r r rrr t ,55196 19591951,55196 0221. 09)( 19591951 0184. 0,0222. 0,0276. 0,0223. 0 ,0197. 0,0250. 0,0229. 0,0210. 0 0200. 01951 56300155196 ,195919511 0221. 0 0 921 9876 5432 1 1 921 為年期間的人口增長模型則我國在令

6、均增長率為年期間，我國人口的年于是， 同理可得 年的人口增長率可得 ）（ 。由年的人口增長率分別為設(shè)）（解： 2021/6/219 50000 60000 65000 70000 12534 t o 55000 y 6789 2021/6/2110 年份 人數(shù)/萬人 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 58796 1954 60266 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207 (2)如果按右表的增長趨勢如果按右表的增長趨勢, 大約在哪一年我國的人口大約在哪一年我國的人口 達到達到13億億

7、? 0.0221 19511959 55196, t yetN 我國在年 期間的人口增長模型為 2021/6/2111 76.38 55196 130000)2( 0221. 0 t ey y t 由計算器可得 代入將 2021/6/2112 基本步驟：基本步驟： 第一步：閱讀理解，認真審題第一步：閱讀理解，認真審題 讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟從背景中讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟從背景中 概括出來的數(shù)學實質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進而概括出來的數(shù)學實質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進而 把握住新信息。把握住新信息。 第二步：引進數(shù)

8、學符號，建立數(shù)學模型第二步：引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型 設(shè)自變量為設(shè)自變量為x，函數(shù)為，函數(shù)為y，并用，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知 條件，運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函條件，運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函 數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學化，數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學化， 即所謂建立數(shù)學模型。即所謂建立數(shù)學模型。 第三步：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)數(shù)學問第三步：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)數(shù)學問 題（即數(shù)學模型）予以解答，求得結(jié)果。題（即數(shù)學模型）予以解答，求得結(jié)果。

9、 第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問題作出解答。第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問題作出解答。 2021/6/2113 實際問題實際問題 數(shù)學模型數(shù)學模型 實際問題實際問題 的解的解 抽象概括抽象概括 數(shù)學模型數(shù)學模型 的解的解 還原說明還原說明 推理推理 演算演算 2021/6/2114 例例1一家報刊推銷員從報社買進報紙的價一家報刊推銷員從報社買進報紙的價 格是每份格是每份0.20元，賣出的價格是每份元，賣出的價格是每份0.30元，元， 賣不完的還可以以每份賣不完的還可以以每份0.08元的價格退回報元的價格退回報 社在一個月（以社在一個月（以30天計算）有天計算）有20天每天可天每天可 賣出賣出400份，其余份，

10、其余10天只能賣天只能賣250份，但每天份，但每天 從報社買進報紙的份數(shù)都相同，問應該從報從報社買進報紙的份數(shù)都相同，問應該從報 社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大？社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大？ 并計算每月最多能賺多少錢？并計算每月最多能賺多少錢？ 2021/6/2115 點評：自變量點評：自變量x的取值范圍的取值范圍250，400是由問題的實際是由問題的實際 意義決定的，建立函數(shù)關(guān)系式時應注意挖掘意義決定的，建立函數(shù)關(guān)系式時應注意挖掘 2021/6/2116 點評：信息量大是數(shù)學應用題的一大特點，當所給條件錯綜復雜，一時難點評：信息量大是數(shù)學應用題的一大特點，當所給條件錯綜復雜，

11、一時難 以理清關(guān)系時，可采用列表分析的方法，有些典型應用題也可以畫出相應以理清關(guān)系時，可采用列表分析的方法，有些典型應用題也可以畫出相應 的圖形，建立坐標系等的圖形，建立坐標系等 2021/6/2117 2021/6/2118 D 2021/6/2119 2021/6/2120 2021/6/2121 注意點：注意點： 1在引入自變量建立目標函數(shù)解決函數(shù)應在引入自變量建立目標函數(shù)解決函數(shù)應 用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二 是要檢驗所得結(jié)果，必要時運用估算和近似是要檢驗所得結(jié)果，必要時運用估算和近似 計算，以使結(jié)果符合實際問題的要求計算，以使結(jié)果符合

12、實際問題的要求 2在實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化過程中，要在實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化過程中，要 充分使用數(shù)學語言，如引入字母，列表，畫充分使用數(shù)學語言，如引入字母，列表，畫 圖等使實際問題數(shù)學符號化圖等使實際問題數(shù)學符號化 3對于建立的各種數(shù)學模型，要能夠模型識對于建立的各種數(shù)學模型，要能夠模型識 別，充分利用數(shù)學方法加以解決，并能積累別，充分利用數(shù)學方法加以解決，并能積累 一定數(shù)量的典型的函數(shù)模型，這是順利解決一定數(shù)量的典型的函數(shù)模型，這是順利解決 實際問題的重要資本實際問題的重要資本 2021/6/2122 課后練習課后練習 1某城市出租汽車統(tǒng)一價格，凡上車起步價某城市出租汽車統(tǒng)一價格，凡上車

13、起步價 為為6元，行程不超過元，行程不超過2km者均按此價收費，者均按此價收費， 行程超過行程超過2km，按，按1.8元元/km收費，另外，收費，另外， 遇到塞車或等候時，汽車雖沒有行駛，仍遇到塞車或等候時，汽車雖沒有行駛，仍 按按6分鐘折算分鐘折算1km計算，陳先生坐了一趟這計算，陳先生坐了一趟這 種出租車，車費種出租車，車費17元，車上儀表顯示等候元，車上儀表顯示等候 時間為時間為11分分30秒，那么陳先生此趟行程介秒，那么陳先生此趟行程介 于（）于（） A57km B911km C79km D35km 答案：答案：A 2021/6/2123 2某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增 加一次過濾可減少水中雜質(zhì)加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20，要使水，要使水 中雜質(zhì)減少到原來的中雜質(zhì)減少到原來的5以下，則至少需要以下，則至少需要 過濾的次數(shù)為（）過濾的次數(shù)為（） （參考數(shù)據(jù)（參考數(shù)據(jù)lg20.3010，lg30.4771） A5 B10 C14 D15 答案：答案：C 2021/6/2124 3有一批材料可以建成有一批材料可以建成200m的圍墻，如果的圍墻，如果 用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形 場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相 等的矩形（如下