高數(shù)多元函數(shù)微分學(xué)-多元函數(shù)的極值[教師教材]

1、1 的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù) 22 yx e xy z 播放播放 一、極值一、極值 第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),( 00 yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi) 有定義，對于該鄰域內(nèi)異于有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),( 00 yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx： 若滿足不等式若滿足不等式),(),( 00 yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 在在),( 00 yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式 ),(),( 00 yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),( 00 yx有極有極 小值；小值； 1

2、1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. . 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). . 3 定理定理 1 1（必要條件）（必要條件） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),( 00 yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且 在點(diǎn)在點(diǎn)),( 00 yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必 然為零：然為零： 0),( 00 yxf x ， 0),( 00 yxf y . . 2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件 不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),( 00 yx處有極大值處有極大值,

3、 則則對對于于),( 00 yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),( 00 yx 都都有有 ),(yxf),( 00 yxf, 證證 4 故故當(dāng)當(dāng) 0 yy ， 0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),( 0 yxf),( 00 yxf, 說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),( 0 yxf在在 0 xx 處有極大值處有極大值, 必必有有 0),( 00 yxf x ; 類類似似地地可可證證 0),( 00 yxf y . 推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)),( 000 zyxP 具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),( 000 zyxP有極值的必要條有極值的必要條 件為件為

4、0),( 000 zyxf x ， 0),( 000 zyxf y ， 0),( 000 zyxf z . 5 例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零 的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn). 駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn) 問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？ 定理定理 2 2（充分條件）（充分條件） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),( 00 yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)， 有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏

5、導(dǎo)數(shù)， 注意：注意： 6 又又 0),( 00 yxf x , , 0),( 00 yxf y ， 令令 Ayxf xx ),( 00 ， Byxf xy ),( 00 ， Cyxf yy ),( 00 ， 則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),( 00 yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下： （1 1）0 2 BAC時(shí)具有極值，時(shí)具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值； （2 2）0 2 BAC時(shí)沒有極值；時(shí)沒有極值； （3 3）0 2 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值， 還需另作討論還需另作討論 7 例例

6、1 1 求求由由方方程程yxzyx22 222 0104 z確確定定的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的極極值值 將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 04222 04222 yy xx zzzy zzzx 由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P, 將將上上方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), 解解 8 , 2 1 |, 0|, 2 1 | z zCzB z zA PyyPxyPxx 故故 )2(0 )2( 1 2 2 z z ACB,函函數(shù)數(shù)在在P有有極極值值. 將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 2 21 z

7、z, 當(dāng)當(dāng)2 1 z時(shí)時(shí)，0 4 1 A, 所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值； 當(dāng)當(dāng)6 2 z時(shí)時(shí)，0 4 1 A, 所以所以6)1, 1( fz為極大值為極大值. 9 求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟： 第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxf x 0),( yxf y 求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn). 第二步第二步 對于每一個(gè)駐點(diǎn)對于每一個(gè)駐點(diǎn)),( 00 yx， 求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出 2 BAC 的符號(hào)，再判定是否是極值的符號(hào)，再判定是否是極值. 10 求最值的一般方法求最值的一般

8、方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D 的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最 大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的 極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值. 二、多元函數(shù)的最值二、多元函數(shù)的最值 11 例例 2 2 求求二二元元函函數(shù)數(shù))4(),( 2 yxyxyxfz 在在直直線線6 yx，x軸軸和和y軸軸所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域D 上上的的最最大大值值與與最最小小值值.

9、 解解 先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)， x y o 6 yx D D 如圖如圖, 12 解方程組解方程組 0)4(),( 0)4(2),( 22 2 yxyxxyxf yxyxxyyxf y x 得區(qū)域得區(qū)域D內(nèi)唯一駐點(diǎn)內(nèi)唯一駐點(diǎn))1 , 2(, 且且 4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 13 在邊界在邊界6 yx上，即上，即xy 6 于于是是)2)(6(),( 2 xxyxf, 由由 02)6(4 2 xxxf x , 得得4, 0 21 xx, 2|6 4 x xy ,64)2 , 4(

10、 f 比較后可知比較后可知4)1 , 2( f為最大值為最大值, 64)2 , 4( f為最小值為最小值. x y o 6 yx D 14 例例 3 3 求求 1 22 yx yx z的最大值和最小值的最大值和最小值. , 0 )1( )(2)1( 222 22 yx yxxyx zx , 0 )1( )(2)1( 222 22 yx yxyyx z y 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)) 2 1 , 2 1 (和和) 2 1 , 2 1 ( , 解 解 由 由 15 即邊界上的值為零即邊界上的值為零. , 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( z, 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( z 所以最大值為所以最大值為

11、 2 1 ，最小值為，最小值為 2 1 . 因?yàn)橐驗(yàn)? 1 lim 22 yx yx y x 無條件極值無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)對自變量除了限制在定義域內(nèi) 外，并無其他條件外，并無其他條件. 16 實(shí)例：實(shí)例： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩 種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他 購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果， 效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁 盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200 元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果 x

12、y yxyxUlnln),( 問題的實(shí)質(zhì)：求問題的實(shí)質(zhì)：求 在條在條 件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn) yxyxUlnln),( 200108 yx 三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法 17 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的 可能極值點(diǎn)，可能極值點(diǎn)， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ， 其中其中 為某一常數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由 . 0),( , 0),(),( , 0),(),( yx yxyxf yxyxf yy xx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo). 條件極值條件

13、極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值 18 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況： 要找函數(shù)要找函數(shù)),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(tzyxftzyxF ),(),( 21 tzyxtzyx 其中其中 21, 均為常數(shù)，可由均為常數(shù)，可由 偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出 tzyx,，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo)，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo). 19 例例 4 4 將正數(shù)將正數(shù) 12 分成三個(gè)正數(shù)分成三個(gè)正數(shù)zyx,之和之和 使得使得 zyx

14、u 23 為最大為最大. 解解 令令 )12(),( 23 zyxzyxzyxF , 12 0 02 03 23 3 22 zyx yxF yzxF zyxF z y x 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(， .6912246 23 max u 則則 故最大值為故最大值為 20 例例 8 8 在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)作作橢橢球球面面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的的 切切平平面面，使使切切平平面面與與三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體 體體積積最最小小，求求切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo). 解解設(shè)設(shè)),( 000 zyxP為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn), 令令

15、1),( 2 2 2 2 2 2 c z b y a x zyxF, 則則 2 0 2 | a x F Px ， 2 0 2 | b y F Py ， 2 0 2 | c z F Pz 過過),( 000 zyxP的切平面方程為的切平面方程為 21 )( 02 0 xx a x )( 02 0 yy b y 0)( 02 0 zz c z , 化簡為化簡為 1 2 0 2 0 2 0 c zz b yy a xx , 該切平面在三個(gè)軸上的截距各為該切平面在三個(gè)軸上的截距各為 0 2 x a x ， 0 2 y b y ， 0 2 z c z , 所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000 222

16、 66 1 zyx cba xyzV , 22 在條件在條件1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x 下求下求 V 的最小值的最小值, 令令 ,lnlnln 000 zyxu ),( 000 zyxG 000 lnlnlnzyx)1( 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x , 由由, 01 0, 0, 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 000 c y b y a x GGG zyx 23 當(dāng)當(dāng)切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為 ( 3 a ， 3 b ， 3 c )時(shí)時(shí), 四面體的體積最小四面體的體積最小abcV 2 3 min . 01 0 21 0 21

17、 0 21 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 c z b y a x c z z b y y a x x 可得可得 即即 3 0 a x 3 0 b y ， 3 0 c z 24 四、思考題思考題 若若),( 0 yxf及及),( 0 yxf在在),( 00 yx點(diǎn)均取得點(diǎn)均取得 極值， 則極值， 則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),( 00 yx是否也取得極值？是否也取得極值？ 思考題解答思考題解答 不是不是.例例如如 22 ),(yxyxf , 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)， 2 ), 0(yyf 在在)0 , 0(取取極極大大值值; 當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，時(shí)， 2 )0 ,(xxf

18、 在在)0 , 0(取極小值取極小值; 但但 22 ),(yxyxf 在在)0 , 0(不取極值不取極值. 25 一、一、 填空題填空題: : 1 1、 函數(shù)函數(shù))4)(6(),( 22 yyxxyxf 在在_點(diǎn)取點(diǎn)取 得極得極_值為值為_._. 2 2、 函數(shù)函數(shù)xyz 在附加條件在附加條件1 yx下的極下的極_值值 為為_._. 3 3、 方程方程02642 222 zyxzyx所確定的所確定的 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 的極大值是的極大值是_,_,極小值極小值 是是_._. 二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 點(diǎn)點(diǎn) , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及 0162 yx三三直直線線的的距距離離平平方方之之和和為為最最小小. . 三三、 求求內(nèi)內(nèi)接接于于半半徑徑為為a的的球球且且有有最最大大體體積積的的長長方方體體. . 練練 習(xí)習(xí) 題題 26 四、四、 在第一卦限內(nèi)作球面在第一卦限內(nèi)作球面1 222 zyx的切平面的切平面, ,使使 得切平面與三坐標(biāo)面所圍的四面體的體積最小得切平面與三坐標(biāo)面所圍的四面體的體積最小, ,求求 切點(diǎn)的坐標(biāo)切點(diǎn)的坐標(biāo). . 27 一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, , 4 1 ； 3 3、7 7, ,- -1 1. . 二二、) 5 16 , 5 8