帶摩擦的平衡問題

1、3.5考慮有摩擦時考慮有摩擦時 物體的平衡問題物體的平衡問題 ProblemsInvolvingFriction 聯(lián)軸器聯(lián)軸器 3-4考慮摩擦的平衡問題考慮摩擦的平衡問題 一、摩擦及其分類一、摩擦及其分類 摩擦力摩擦力 當兩個物體沿接觸面當兩個物體沿接觸面公切線公切線方向有方向有相對運動相對運動或或相對運動趨勢相對運動趨勢時，在接時，在接 觸面間產(chǎn)生觸面間產(chǎn)生阻礙運動的力（阻力）阻礙運動的力（阻力）。 產(chǎn)生摩擦的原因產(chǎn)生摩擦的原因 接觸面間的凹凸不平；接觸面間的凹凸不平； 接觸面間的分子吸引力。接觸面間的分子吸引力。 摩擦產(chǎn)生的機理屬固體物理研究內(nèi)容，理力中僅研究摩擦產(chǎn)生的機理屬固體物理研究內(nèi)

2、容，理力中僅研究摩擦的力學效應。摩擦的力學效應。 研究摩擦的目的研究摩擦的目的 克服（或減少）摩擦；克服（或減少）摩擦； 利用摩擦。利用摩擦。 方法：提高零件表面光潔度、加潤滑油等方法：提高零件表面光潔度、加潤滑油等。 如：皮帶傳動、摩擦制動裝置等。如：皮帶傳動、摩擦制動裝置等。 摩擦的分類摩擦的分類 按兩物體的按兩物體的相對運動形式相對運動形式分，有分，有 按兩物體間按兩物體間有無相對運動有無相對運動分，有分，有 滑動摩擦；滑動摩擦； 滾動摩擦。滾動摩擦。 靜摩擦；靜摩擦； 動摩擦。動摩擦。 本書主要討論本書主要討論靜滑動摩擦，靜滑動摩擦， 重點為：重點為：具有摩擦的平衡問題。具有摩擦的平衡

3、問題。 粗糙面粗糙面 二、靜摩擦力及其性質(zhì)二、靜摩擦力及其性質(zhì) 滑動摩擦現(xiàn)象滑動摩擦現(xiàn)象 P FN P FN FT F (1)當當FT =0，則，則F =0。（平衡）。（平衡） (2) 當當0FTFT1時，物體處于運動狀態(tài)（不平衡）。時，物體處于運動狀態(tài)（不平衡）。 靜摩擦力：靜摩擦力：物體 物體僅有相對滑動趨勢僅有相對滑動趨勢時，在接觸面間產(chǎn)生的摩擦力。時，在接觸面間產(chǎn)生的摩擦力。 靜摩擦力的性質(zhì)靜摩擦力的性質(zhì) F存在一個最大值存在一個最大值Fmax。 （1）靜摩擦力的大小具有一定范圍，即：）靜摩擦力的大小具有一定范圍，即： max 0FF NsF fF max 此時此時F由平衡條件決定（同

4、約束反力）。由平衡條件決定（同約束反力）。 （2）靜摩擦力的方向：）靜摩擦力的方向：與相對運動趨勢方向相反（沿接觸處的公切線）與相對運動趨勢方向相反（沿接觸處的公切線）。 （3）Fmax由庫侖靜摩擦定律確定：由庫侖靜摩擦定律確定： （317） Fmax稱為最大靜摩擦力；稱為最大靜摩擦力； fs靜摩擦因素（無量綱系數(shù)）；靜摩擦因素（無量綱系數(shù)）； FN 為法向壓力。為法向壓力。 fs 的物理意義的物理意義： 表示單位正壓力所能產(chǎn)生的摩擦力表示單位正壓力所能產(chǎn)生的摩擦力。 fs 僅與接觸面的材料性質(zhì)、表面狀況、濕度、溫度等有關。僅與接觸面的材料性質(zhì)、表面狀況、濕度、溫度等有關。 fs 值需由實驗測

5、定。值需由實驗測定。 靜摩擦因素現(xiàn)場靜摩擦因素現(xiàn)場 測量方法之一測量方法之一 思考題：思考題： 兩面具有摩擦，F(xiàn) = 12.5N 問：當問：當 F=30N 時，物塊與夾板物塊與夾板 間的摩擦力多大間的摩擦力多大？ 答案：10N M F F ? N F F ? 答案：Fmin=25N 三、摩擦角與自鎖現(xiàn)象三、摩擦角與自鎖現(xiàn)象 摩擦角摩擦角(AngleofFriction) 全反力全反力FR：摩擦力與法向壓力的合力。摩擦力與法向壓力的合力。 表示全反力FR與法向反力FN的夾角。 NR FFF 隨摩擦力F的增加而增加。 當F = Fmax時， max 全反力全反力FR與接觸面法線方向的最大夾角與接觸

6、面法線方向的最大夾角 f 稱為摩擦角，用符號稱為摩擦角，用符號表示。表示。 s N Ns N f f F Ff F F max tan 即：摩擦角的正切等于靜摩擦因素。摩擦角的正切等于靜摩擦因素。 主動合力的作用線主動合力的作用線 自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象 由于全反力由于全反力FR只能在摩擦角范圍只能在摩擦角范圍 內(nèi)變化，所以只要主動力合力的內(nèi)變化，所以只要主動力合力的 作用線在摩擦角范內(nèi)作用線在摩擦角范內(nèi)，不管主動不管主動 力大小如何，都能平衡，力大小如何，都能平衡，這種現(xiàn)這種現(xiàn) 象叫象叫自鎖自鎖(Self-lock)。 f A FRA FR 自鎖條件：自鎖條件： f 如：如：（1）斜面自鎖條件）斜

7、面自鎖條件 自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象 由于全反力由于全反力FR只能在摩擦角范圍內(nèi)變化，所以只要主動力只能在摩擦角范圍內(nèi)變化，所以只要主動力 合力的作用線在摩擦角范內(nèi)合力的作用線在摩擦角范內(nèi)，不管主動力大小如何，都能不管主動力大小如何，都能 平衡，平衡，這種現(xiàn)象叫這種現(xiàn)象叫自鎖自鎖。 又如：（又如：（2）斜面自鎖條件的應用）斜面自鎖條件的應用 自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象 由于全反力由于全反力FR只能在摩擦角范圍內(nèi)變化，所以只要主動力只能在摩擦角范圍內(nèi)變化，所以只要主動力 合力的作用線在摩擦角范內(nèi)合力的作用線在摩擦角范內(nèi)，不管主動大小如何，都能平不管主動大小如何，都能平 衡，衡，這種現(xiàn)象叫這種現(xiàn)象叫自鎖自鎖。 四、

8、動滑動摩擦力四、動滑動摩擦力 當兩接觸面有相對滑動時，接觸面間摩擦力當兩接觸面有相對滑動時，接觸面間摩擦力稱為稱為動滑動摩擦力動滑動摩擦力。 N fFF （318） f 動摩擦因素，由實驗測定。 庫侖動摩擦定律庫侖動摩擦定律 一般有：fs f ?；瑒幽Σ亮ψ兓€滑動摩擦力變化曲線 注：注：動滑動摩擦力是一個值，而不是一個變化范圍。動滑動摩擦力是一個值，而不是一個變化范圍。 五、具有摩擦的平衡問題特點及其求解五、具有摩擦的平衡問題特點及其求解 特點：特點： （1） 受力分析時，需分析摩擦力受力分析時，需分析摩擦力F（方向）。（方向）。 F方向與相對運動趨勢方向相反 （2） 臨界平衡時，除滿足平

9、衡條件外，還需滿足摩擦的物理條件臨界平衡時，除滿足平衡條件外，還需滿足摩擦的物理條件： NsF fFF max （3）解答是以不等式表示的平衡范圍，而不是一個值。 解答是以不等式表示的平衡范圍，而不是一個值。 （通常先求臨界狀態(tài)時的兩個極限值，（通常先求臨界狀態(tài)時的兩個極限值， 所求范圍即為兩個極限值之間。）所求范圍即為兩個極限值之間。） 1 例：例： 解：解： 重量為重量為P 的物塊放在固定斜面上，斜面的傾角為的物塊放在固定斜面上，斜面的傾角為 。已知：物塊與斜面間的摩擦因素為。已知：物塊與斜面間的摩擦因素為 fs(摩擦角摩擦角 為為)，且，且。為使物體在斜面。為使物體在斜面 上保持靜止，在

10、其上作用一水平力上保持靜止，在其上作用一水平力F，如圖所示。，如圖所示。 試求力試求力F 的大小。的大小。 sf farctan f 分析：分析： 當當F 較小時，物塊將有較小時，物塊將有向下的滑動趨勢向下的滑動趨勢。 當當F 較大時，物塊將有較大時，物塊將有向上的滑動趨勢向上的滑動趨勢。 （1）當具有）當具有向下滑動趨勢向下滑動趨勢時，并處于時，并處于臨界平衡臨界平衡狀態(tài)。狀態(tài)。 FN F 1 min x y max :0 xi F0sincos maxmin1 FPF :0 yi F0cossin min1 N FPF (1) (2) 摩擦的物理條件：摩擦的物理條件： NsF fF max

11、 (3) 由由(1)、(2)、(3)求得求得： sincos cossin min1 s s f f PF (4) 或利用 fs ftan sintancos costansin min1 f f PF )tan( f P(5) （2）當具有）當具有向上滑動趨勢向上滑動趨勢時，并處于時，并處于臨界平衡臨界平衡狀態(tài)。狀態(tài)。 1 1 FN Fmax max x y :0 xi F0sincos maxmax1 FPF(6) :0 yi F0cossin max1 N FPF(7) 摩擦的物理條件：摩擦的物理條件： NsF fF max (8) 由由(6)、(7)、(8)求得求得： sincos c

12、ossin max1 s s f f PF (9) 或利用 fs ftan sintancos costansin max1 f f PF )tan( f P(10) 綜合式（綜合式（5）、（）、（10）得，）得，F(xiàn)1的值在下列范圍時，物的值在下列范圍時，物 塊可靜止在斜面上。塊可靜止在斜面上。 )tan()tan( 1ff PFP (11) 說明與討論：說明與討論： （1）當）當，F(xiàn)1max 為負值，說明無需為負值，說明無需F1 物塊也能平衡，即產(chǎn)生物塊也能平衡，即產(chǎn)生自鎖現(xiàn)象。自鎖現(xiàn)象。 f （2）兩種情況）兩種情況下的下的FN 與與Fmax 是不同的。是不同的。 （3）利用摩擦角的概念，

13、結合幾何作圖法求解。）利用摩擦角的概念，結合幾何作圖法求解。 解法二、解法二、 幾何法幾何法 1 1 FN min Fmax （1）當具有）當具有向下滑動趨勢向下滑動趨勢，并處于，并處于臨界平衡臨界平衡狀態(tài)時狀態(tài)時 f R F P、F1min、FR 構成一匯交力系。構成一匯交力系。 作力多邊形（力三角形），得作力多邊形（力三角形），得 P FR F1min f )tan( min1f PF （2）當具有）當具有向上滑動趨勢向上滑動趨勢，并處于，并處于臨界平衡臨界平衡狀態(tài)時狀態(tài)時 1 FN max Fmax FR f P、F1max、FR 構成一匯交力系。構成一匯交力系。 作力多邊形（力三角形）

14、，得作力多邊形（力三角形），得 P FR F1max f )tan( max1f PF )tan()tan( 1ff PFP 綜合上述結果，得綜合上述結果，得 例：例： 解：解： 梯子梯子AB 靠在墻上，與水平面成靠在墻上，與水平面成角。梯子長角。梯子長AB =l，重量可，重量可 略去，如圖所示。已知梯子與地面、墻面間的靜擦因素為略去，如圖所示。已知梯子與地面、墻面間的靜擦因素為 fsA，fsB。重量為。重量為P的人沿梯上登，他在梯上的位置的人沿梯上登，他在梯上的位置C 不能過不能過 高，即距離高，即距離AC =s，如超過一定限度，則梯子即將滑倒。試，如超過一定限度，則梯子即將滑倒。試 求求s

15、 的范圍。的范圍。 梯子梯子AB 研究對象研究對象 P FNA FAmax FBmax FNB x y smax :0 yi F :0 xi F0 max ANB FF(1) (2)0 max PFF BNA :0 Ai M0cossincos maxmax lFlFPs BNB (3) 臨界平衡時有：臨界平衡時有： NAsAA FfF max (4) NBsBB FfF max (5) 解上述5個方程，得 l ff ff s sBsA sBsA 1 )(tan max (6) 所求所求s 值為值為 l ff ff s sBsA sBsA 1 )(tan 0 (7) 設= 60， fsA= 0

16、.4，fsB= 0.2則：則：smax = 0.7156 l。 討論：討論： P FNA FAmax FBmax FNB x y smax l ff ff s sBsA sBsA 1 )(tan max (6)repeat （1） 當 時，)90tan(cot 1 tan fAfA sA f 即： ，此時有 fA 90 ls max （2） 當當fsB = 0，即墻面為光滑時，由式（即墻面為光滑時，由式（6）得）得 lfs sA )tan( max 但當?shù)攆sA = 0，即地面為光滑時，由式（即地面為光滑時，由式（6）得）得 0 max s 此時人無法登上梯子。此時人無法登上梯子。 l f

17、f f ff l ff ff s sB sA sA sBsA sBsA sBsA ) 1 ( )(tan 1 )(tan max 例：例： 解：解： 已知：已知：F1=20kN，F(xiàn)2=20kN，fsA = fsB = 0.3，如圖如圖 所示。試問圓柱是否運動所示。試問圓柱是否運動？ 問題問題：A，B 處摩擦力是否達到最大值處摩擦力是否達到最大值Fmax？ （1）桿）桿OA 研究對象研究對象 F1 FOx FOyFAN FA :0 Oi M042 1 FFAN kN40 AN F （2）圓輪圓輪C 研究對象研究對象 A F AN F BN F B F x y :0 yi F0 ANBN FF k

18、N40 ANBN FF :0 Ci M 0 rFrF BAAB FF :0 xi F0 2 BA FFF kN10 AAB FFF （3）與極限摩擦力比較與極限摩擦力比較 kN12403 . 0 maxmax ANsABA FfFF 顯然有：顯然有： maxmax,BBAA FFFF 所以圓柱所以圓柱C 靜止。靜止。 （其中，（其中，r 為輪的半徑）為輪的半徑） 思路思路： 先假定平衡，求出先假定平衡，求出FA、FB，再與再與Fmax比較。比較。 例：例： 解：解： 已知：已知：F1=20kN，F(xiàn)2=25kN，fsA = fsB = 0.3，且圓柱且圓柱 重重P = 10kN，如圖所示。試問此

19、時圓柱是否運動如圖所示。試問此時圓柱是否運動？ 先假定圓柱平衡先假定圓柱平衡 （1）桿）桿OA 研究對象研究對象 F1 FOx FOyFAN FA :0 Oi M042 1 FFAN kN40 AN F （2）圓輪圓輪C 研究對象研究對象 A F AN F BN F B F x y P :0 yi F0PFF ANBN kN50 BN F :0 Ci M 0 rFrF BAAB FF :0 xi F0 2 BA FFF kN5 .12 AAB FFF （3）與極限摩擦力比較與極限摩擦力比較 kN12403 . 0 max ANsAA FfF 比較有：比較有： maxmax,BBAA FFFF

20、所以圓柱所以圓柱在在A點可動點可動 ，而在而在B點不可運動。點不可運動。 （其中，（其中，r 為輪的半徑）為輪的半徑） kN15503 . 0 max BNsBB FfF 輪子的這種運動稱為輪子的這種運動稱為純滾動，純滾動，純滾動時接觸點的純滾動時接觸點的摩摩 擦力為靜摩擦力擦力為靜摩擦力。 例：例： 解：解： 已知搖臂重已知搖臂重P，與立柱間的摩擦因素與立柱間的摩擦因素fs = 012， L = 450mm，試求搖臂不致卡住時的高度試求搖臂不致卡住時的高度h。 （1）搖臂和立柱之間有間隙，在）搖臂和立柱之間有間隙，在P的作用的作用 下只能有兩點接觸下只能有兩點接觸（A、B）。 （2）搖臂不致

21、卡住的力學意義）搖臂不致卡住的力學意義。 搖臂搖臂 研究對象（先假定搖臂平衡）研究對象（先假定搖臂平衡） FNA FNB FA FB x y :0 xi F 0 NBNA FF )( NBNA FF :0 yi F0PFF BA :0 Bi M 0) 2 ( d LPhFdF NAA （1） （2） （3）將（2）代入（3）得 ) 2 () 2 ( d LF d LFhF BANA 摩擦平衡的物理條件： , NAsA FfF NBsB FfF （4） （5） 將（5）和（1）代入（4）得 ) 2 () 2 ( d LFf d LFfhF NBsNAsNA 0)2(hLfF sNA 0 NA F

22、0)2(hLfs mm10845012. 022Lfh s 要使搖臂不被卡住的要使搖臂不被卡住的 h 值為：值為： mm108h 例：例： 解：解： 已知搖臂重已知搖臂重P，與立柱間的摩擦因素與立柱間的摩擦因素fs = 012， L = 450mm，試求搖臂不致卡住時的高度試求搖臂不致卡住時的高度h。 搖臂搖臂 研究對象（先假定搖臂平衡）研究對象（先假定搖臂平衡） FNA FNB FA FB x y 所以，要使搖臂不被卡住所以，要使搖臂不被卡住 的的 h 值為：值為： mm108h f d Lhtan) 2 ( f d Ltan) 2 ( f Ltan2 mm10845012. 02 30 解

23、：解：作法線AH和BH 作A,B點的摩擦角 交E,G兩點 E,G兩點間的水平距 離l為人的 活 動范圍 練習練習4 水平梯子放在直角V形槽內(nèi)，略去梯重，梯子與兩個斜 面間的摩擦系數(shù)（摩擦角均為），如人在梯子上走動，試分析 不使梯子滑動，人的活動應限制在什么范圍內(nèi)？ l 31 0 90AGBAEB )60cos()30sin()60cos( )30cos()60sin()30cos( 000 000 ABBGBD ABAEAC 所以人在AC和BD段活動 都不能滿足三力平衡必匯 交的原理，只有在只有在CD段段 活動時活動時，才能滿足三力 平衡必匯交，能交上 （有交點） 證明證明：由幾何關系 A C

24、 B FB P F o A C B FB D FAx FAy FNC FC o D F P FD FND FC FNC 解解:(1)取取AB桿為研究對象桿為研究對象 設設C 處達到臨界狀態(tài)，則有：處達到臨界狀態(tài)，則有： 解得：解得：FNC=100N， FC=40N (2)取輪為研究對象取輪為研究對象 已知：已知：P=100N，F(xiàn)B=50N，fc =0.4， 求：求：(1)若若fD =0.3， 輪心輪心O的水平推力的水平推力Fmin =60，AC = CB = l /2，r。 (2)若若fD =0.15， 輪心輪心O的水平推力的水平推力Fmin A C B FB FAx FAy FNC FC 設

25、設C 處達到臨界狀態(tài)，則有：處達到臨界狀態(tài)，則有： 解得：解得：FNC=100N， FC=40N (2)取輪為研究對象取輪為研究對象 o D F P FD FND FC FNC 解得：解得：FD=40N， ，F(xiàn) = 26.6N，F(xiàn)ND=184.6N 由于由于FDFDmax，D處無滑動，上述假定正確處無滑動，上述假定正確 (3)當當fD =0.15 時時 因因FDFdmax 故應設故應設D 處達到臨界狀態(tài)處達到臨界狀態(tài) 補充方程：補充方程： 解得：解得：FD= FC =25.86N， ，F(xiàn) = 47.81N 故上述假定正確故上述假定正確 ?如何求得系統(tǒng)平衡時如何求得系統(tǒng)平衡時Fmax A C B

26、 FB FAx FAy FNC FC o D F P FD FND FC FNC 思考題：思考題：重量均為重量均為的小球的小球A、B用一不計重量的桿連結。放置用一不計重量的桿連結。放置 在水平桌面上，球與桌面間摩擦系數(shù)為在水平桌面上，球與桌面間摩擦系數(shù)為 ，一水平力一水平力作用于作用于 A球，系統(tǒng)平衡時球，系統(tǒng)平衡時 30 AB F A FAFSA FSA FSB Fmax 解：解：（1）取取小球小球A為研究對象為研究對象 （2）取取小球小球B為研究對象為研究對象 思考題：思考題：均質(zhì)桿質(zhì)量為均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長，長l，置于粗糙的水平面上，兩者間，置于粗糙的水平面上，兩者間 的靜摩擦系數(shù)為的靜摩

27、擦系數(shù)為fs?，F(xiàn)在桿的一端施加與桿垂直的力。現(xiàn)在桿的一端施加與桿垂直的力F，試求，試求 使桿處于平衡時的使桿處于平衡時的。設桿的高度忽略不計。設桿的高度忽略不計。 x O F A B l 解：解：取桿取桿AB為研究對象為研究對象 Sample Problem 8 ThemaninFig(a)is tryingtomoveapackingcrate acrossthefloorbyapplyinga horizontalforceP.Thecenterof gravityofthe250-Ncrateis locatedatitsgeometriccenter. Doesthecratemove

28、ifP=60N? Thecoefficientofstaticfiction betweenthecrateandtheflooris 0.3. Solution Theproblemstatementdoesnot specifyimpendingmotion.To determineifthecratemovesforthe conditionsstated,wefirstassume equilibriumandthencheckthe assumption. However,thecheckmustanswertwo questions- (1) doesthecrateslidean

29、d (2)doesthecratetip? Thefree-bodydiagramofthecrateisshowninFig.(b).Ifthe blockisassumedtoremaininequilibrium, thethreeequilibriumequations canbeusedtocalculatethe threeunknowns:thenormal force N1,thefrictionforceF1, andthedistancexlocatingthe lineofactionofN1,asshownin thefollowing. AssumeEquilibri

30、um 0Fx 0Fy N60PF 0FP 1 1 N250N 0250N 1 1 0M0 0)9 . 0(PxN 1 Whichgives m216. 0250/9 . 060N/9 . 0Px 1 Check Thelargestpossiblevalueforxis0.3m(halfthewidthofthecrate) Becausex=0.216m,asobtainedfromequilibriumanalysis,is smallerthanthat,weconcludethattheblockwillnottip . Thelimitingstaticfrictionforceis Cratewill not movewhenP=60N. whichislargerthantheforceF1=60Nthatisrequi