換元定積分法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 換元定積分法換元定積分法 ( )yF u( )ux ( )( ( )( )dyF u duFxx dx ( ( )yFx 若有若有( )( )F uf u 且且( )ux可微可微 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) ( ( )( )fxx dx ( )F uC ( ( )FxC ( )dxdu ( )F u du 2 第1頁/共30頁 sin2cos22dxxdx 2cos2cos22xdxxd x 2ux cossinuduuC sin2xC 3 第2頁/共30頁 4 ( )g x dx ( ) ( ) ux f u du ( )( ) ( ) F uf u F uC ( ) ( ) ux FxC

2、( )dux dx ( )dFF u du ( ) ( )fxx dx ( )( ( )( ),g xfxx定理：設(shè)定理：設(shè)g( (x) )連續(xù)，且有連續(xù)，且有 且且f(x) 有原函數(shù)有原函數(shù)F(x)，則，則 湊微分法湊微分法 第3頁/共30頁 例例1 2sin2xdx sin22xd x 2 sin22 x u xd x 2 cos2 x u xC sin2xdx 1 sin22 2 xd x 2 1 cos2 2 x u xC 2 2 x xe dx 2 2x e dx 2 xu u e du 1 32 dx x 11 (23) 2 32 dx x 3 2 1 x u du u 5 2 2

3、 xu x eC ln |32 |xC 2 3x xdx 22 1 3 2 xdx 22 1 3 (3) 2 xd x 第4頁/共30頁 2 1xx dx 22 1 1 2 x dx 22 1 1(1) 2 x dx 3 2 2 1 1 3 xC tanxdx sin cos x dx x ln cosxC cos cos dx x cot xdx cos sin x dx x sin sin dx x ln sin xC 第5頁/共30頁 7 22 1 (1)d (0)x a ax 22 1 (2)d (0)x a ax 2 1 () 1 x d a x a 22 1 darcsin x x

4、C a ax 2 1 d 1 x a uu u 22 1 d 1 ( ) x x a a 2 11 d 1 x a x aa 1 arctan x C aa 22 1 dx ax 1 arctan x C aa 2 1 1 dx x a a 第6頁/共30頁 2 1 dx x 2 1 1 dx x arcsin 3 x C 2 1 d 3 1 3 x x 2 1 d 2 x x 2 2 11 d 2 1 x x 1 arctan 22 x C 2 2 11 d 22 1 x x 第7頁/共30頁 9 22 1 dx xa 求 解解 1 (1)d ()() x xa xa 原式 111 ()d

5、2 x axaxa 22 11 ln 2 xa dxC xaaxa 1d()1 d() 2 xa xa axaxa 1 lnln 2 xaxaC a 第8頁/共30頁 10 (1) sec dx x (2) csc dx x 解解 (1) sec dx x 1 cos d x x 2 cos cos d x x x 21 sin1 dsin x x 2 111 ln 121 x dxC xx 1sin1 ln 2sin1 x C x 2 2 1(sin1) ln 2sin1 x C x ln sectanxxC (2) csc dx x csc (csccot ) d csccot xxx x

6、 xx (csccot ) csccot dxx xx ln csccotxxC 第9頁/共30頁 11 3 (1) cos xdx 4 (2) cos xdx 解解3 (1) cos xdx 2 coscosxxdx 2 (1 sin) sinx dx 3 sin sin 3 x xC 4 (2) cos xdx 2 1 cos2 2 x dx 2 1 12cos2cos 2 4 xx dx 1sin4 (sin2) 428 xx xxC 第10頁/共30頁 12 (1) cos3 sin2xxdx (2) sin3 sin2xxdx 1 (sin5sin ) 2 xx dx sin()si

7、ncoscos sinxyxyxy sin()sincoscos sinxyxyxy sin()sin()2cos sinxyxyxy 1cos5 (cos) 25 x xC 1 (coscos5 ) 2 xx dx cos()cos cossinsinxyxyxy cos()cos cossinsinxyxyxy cos()cos()2sinsinxyxyxy 1sin5 (sin) 25 x xC 第11頁/共30頁 13 (cos )sinfxxdx () xx f e e dx 2 (arcsin ) 1 fx dx x 2 (arctan ) 1 fx dx x (ln )fx dx

8、 x (cos ) cosfx dx () xx f e de (arcsin ) arcsinfx dx (arctan ) arctanfx dx (ln ) lnfx dx ()f axb dx 1 () ()f axb d axb a ()fx dx x 2()fx dx 第12頁/共30頁 . )ln21 ( d xx x xln21 xlnd 解解: 原式 = xln212 1 )ln21 (dx Cx ln21ln 2 1 例例10. 求 解解: 原式 =x x de2 3 )3d(e 3 2 3 x x C x 3 e 3 2 14 3 e d x x x 第13頁/共30頁

9、. e1 d x x 解法解法1 x x e1 d x x xx d e1 e)e1 ( xd x x e1 )e1 (d xC x )e1ln( 解法解法2 x x e1 d x x x d e1 e x x e1 )e1 (d C x )e1ln( )1(elne)e1ln( xxx 兩法結(jié)果一樣兩法結(jié)果一樣 15 第14頁/共30頁 16 ( ) ( ) ( ) xu fuu du ( )df xx ( )F uC 1 1 ( ) ( ) ux FxC 1 d 1 x x 例7 2 1 xuu du u 1 2 (1) 1 du u 22ln(1)uuC22ln(1)xxC 第15頁/共

10、30頁 17 3 (1) dx xx 解解 3 (1) dx xx 65 32 6 (1) xtt dt tt 2 2 6 1 t dt t 2 2 1 1 6 1 tdt t 6(arctan )ttC 6 66 6(arctan) tx xxC 第16頁/共30頁 18 22 (0)ax dx a 解解原式 sinxat 222 sinaat 22 cosatdt 2 1 cos2 2 t adt 2 sin2 () 22 at tC sin2 2sin cos t tt a x t 22 ax 2 22 1 arcsin) 22 ax x axC a 22 2 (arcsin1) 2 a

11、xxx C aaa sindat 第17頁/共30頁 19 解解(1)原式 secxat 1 sec tan tan attdt at sectdt ln | tansec |ttC 22 1 (0)dx a xa 22 ln()xxaC x a t 22 xa 第18頁/共30頁 20 例例5求不定積分求不定積分 2 9 dx x 解解:3tanxt令 2 3sec 3sec t dt t 原式 sectdt 2 3secdxtdt ln |sectan |ttC 2 ln | 1| 93 xx C 2 ln |9|xxC 22 22 ln() dx xxaC xa 第19頁/共30頁 21

12、 例例5求不定積分求不定積分 22 9 dx xx 解解1 3 2 11 9 1 dx x x 原式 2 2 119 (1) 189 1 d x x 2 19 1 9 C x 2 1 9 9 xC x 解解23secxt令 2 11 1 9sec C t 2 1 9 9 xC x 2 tan sec 9sectan tt dt tt 原式 cos 9 t dt sintC 第20頁/共30頁 22 22 ()faxdx 22 ()faxdx 22 ()fxadx (,) nm fxx dx () n fx dx sin cos xat xat tanxat secxat nm xt n xt

13、第21頁/共30頁 tanln |cos|xdxxC cotln |sin|xdxxC secln |sectan|xdxxxC cscln |csccot|xdxxxC 22 11 ln | 2 xa dxC xaxa 22 22 1 ln |dxxxaC xa 第22頁/共30頁 24 例例6 1x dx x 解解1 3 2 4 (1) 3 xC 1x dx x 21(1)xdx 1 2 dxdx x 1x dx x 1 12uxuudu u 3 2 4 (1) 3 uC 3 2 4 (1) 3 xC 解解2 第23頁/共30頁 25 2 1 2 ed 1 x x x x 解:原式 d x

14、x exeC 2 2 d 1d 1 x xx x 2 1 x eC 2 12 ( 1) x edx 第24頁/共30頁 26 23 5 (1)(3+2) dxxx 2 2 (2)tan 1+d 1 x xx x 解解 33 (32)(32)xdx 5 原式 22 (2)= tan 1d 1xx 原式 3 6 1 (32) 36 xC tanln |cos|xdxxC 2 ln |cos 1|xC 32 (32)=6dxx dx 2 2 d 1 1 xdx x x 第25頁/共30頁 27 222 1 (0) () dx a xa 解解 222 1 () dx xa 2 2222 tansec (tan) xatat dt ata 2 3 1 cos tdt a 3 1sin2 () 22 t tC a 2 1 sin22sin cos2 tan sec tttt t 2 2 1 2 1 x ax a 222 1 () dx xa 3222 1 arctan 22() xx C aaaax 3 1 (1 cos2 ) 2 t dt a 22 2ax