數(shù)學建模的簡單實例[共22頁]

1、1 分析分析：問題的目標是：問題的目標是“放放 穩(wěn)穩(wěn)”?！胺欧€(wěn)放穩(wěn)”可以用各可以用各 腳離地面的高度這一數(shù)量腳離地面的高度這一數(shù)量 指標來表達。于是，引入指標來表達。于是，引入 各腳離地面的高度的數(shù)學各腳離地面的高度的數(shù)學 記號。記號。 問題問題：適當變換方桌的方位，能否將方桌放穩(wěn)？適當變換方桌的方位，能否將方桌放穩(wěn)？ A B C D 1.1 1.1 方桌問題方桌問題 A B C D 數(shù)學建模的簡單實例 2 A B C D A f B f c f D f )( )( )( )( DCBA ffff 依次記依次記A、B、C、D離地面的高度為離地面的高度為： 設想方桌從設想方桌從BD位置旋轉(zhuǎn)至位置

2、旋轉(zhuǎn)至 位位置置DB A B C D 記轉(zhuǎn)過的角度為記轉(zhuǎn)過的角度為 。唯唯一一確確定定 可可由由則則四四腳腳離離地地面面的的高高度度均均 于于是是這這四四個個高高度度均均 的的函函數(shù)數(shù)可可視視為為 ,續(xù)續(xù)曲曲面面若若置置放放方方桌桌的的地地面面為為連連 ，其具有連續(xù)性其具有連續(xù)性是實數(shù)是實數(shù)而而 ：故可以證明故可以證明 ：，記記為為負負的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)且且它它們們均均非非這這四四個個函函數(shù)數(shù)均均是是 3 )()()( )()()( CA DB ffg fff , 則有則有0)()( gf 使使存存在在一一個個方方位位， 0)()(gf 注意到，在任何情況下，總有三只腳能同時著地，且這三注意

3、到，在任何情況下，總有三只腳能同時著地，且這三 只腳中總有兩只腳處在對角位置上，于是我們記：只腳中總有兩只腳處在對角位置上，于是我們記： :方方桌桌能能放放穩(wěn)穩(wěn)即即可可表表達達為為在在這這些些記記號號下下， 4 0)()( )()( gf gf 有有且對且對 非負連續(xù)非負連續(xù)及及 0)()( gf，使使存存在在 方桌問題的數(shù)學模型方桌問題的數(shù)學模型 :已已知知 :求證求證 5 0)0( g，：無妨設無妨設為確定起見為確定起見證明證明 。，f、即得證即得證取取若若00)0(1 )()()(, 0)0(2 gfhf、 構構造造函函數(shù)數(shù)若若 (1) 0)0()0()0()0(fgfh 是是連連續(xù)續(xù)函

4、函數(shù)數(shù)且且的的連連續(xù)續(xù)性性知知和和由由)()()( hgf 即即有有將將方方桌桌旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)， 2 0)0()( 2 gf 0)0()( 2 fg (2) 0) 0 () 0 () 0 ()()()( 222 ffggfh 于是有于是有 兩式可見兩式可見綜合綜合)2)(1(條條件件上上滿滿足足零零點點定定理理的的全全部部在在閉閉區(qū)區(qū)間間, 0)( 2 h 0)()()(),( gfhba使使于于是是存存在在0)()( gf又又由由已已知知有有 綜合得綜合得 0)()( )()( gf gf 0)()( gf有有即即在在 證畢證畢 。穩(wěn)穩(wěn)即規(guī)則方桌肯定可以放即規(guī)則方桌肯定可以放 6 1 1為了證明方

5、桌適當移動后可以放穩(wěn)，我們用為了證明方桌適當移動后可以放穩(wěn)，我們用 “兩相對角離地面的高度之和兩相對角離地面的高度之和”構造出兩個函構造出兩個函 數(shù)，達到了證明目的。必須這樣做嗎？請試用數(shù)，達到了證明目的。必須這樣做嗎？請試用 其它形式構造函數(shù)，以達到同樣的目的。其它形式構造函數(shù)，以達到同樣的目的。 思思考考題題 2 2關于長方形桌，請試給出能否放穩(wěn)的結(jié)論。關于長方形桌，請試給出能否放穩(wěn)的結(jié)論。 7 一批彈子鎖具中每把鎖均有一批彈子鎖具中每把鎖均有5 5個槽，每個槽，每 個必須裝且至多可裝個必須裝且至多可裝6 6個彈子，制鎖工藝要求任兩個彈子，制鎖工藝要求任兩 鄰槽所裝的彈子數(shù)相差不超過鄰槽所

6、裝的彈子數(shù)相差不超過4 4個，問這批鎖具共個，問這批鎖具共 有多少把互不相同的鎖？有多少把互不相同的鎖？ 1.2 1.2 鎖具問題鎖具問題 8 :分分析析?問問題題的的目目標標是是什什么么 鎖具的個數(shù)鎖具的個數(shù) ?什什么么影影響響鎖鎖具具個個數(shù)數(shù)的的因因素素是是 及表現(xiàn)出的槽間組合及表現(xiàn)出的槽間組合 各槽中彈子的個數(shù)各槽中彈子的個數(shù) 9 集集合合表表示示本本批批鎖鎖全全體體組組成成的的A 符號設定符號設定 個個槽槽中中所所裝裝彈彈子子的的個個數(shù)數(shù)表表示示第第iix i )5 , 4 , 3 , 2 , 1( ),( 54321 xxxxxA中中的的元元素素可可表表示示為為 4 , 3 , 2

7、, 1 4 1 ixxx iii應 應滿滿足足 鎖鎖具具問問題題的的數(shù)數(shù)學學模模型型 4 , 3 , 2 , 1 , 4 ;5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ),( 1 54321 ixx ix xxxxxA ii i A求求 10 1, 2 , 1 , 5 ;, 2 , 1 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ),( 1 21 nixx nix xxxA ii i nn 模型的遞推解法模型的遞推解法 差異差異相鄰兩槽中彈子個數(shù)的相鄰兩槽中彈子個數(shù)的問題的工藝要求只牽涉問題的工藝要求只牽涉 時仍能構成鎖時仍能構成鎖 個槽個槽再添加第

8、再添加第槽已構成鎖具槽已構成鎖具可以考慮前可以考慮前因此因此n，n，1 11: 公司不主張倉庫的個數(shù)公司不主張倉庫的個數(shù)號倉庫號倉庫號或號或可關閉可關閉倉庫倉庫。32; 和和倉倉庫庫改改建建的的費費用用由由于于向向客客戶戶供供貨貨的的運運費費個個超超過過。4 。，案案故故需需建建模模為為公公司司選選擇擇方方均均由由公公司司負負擔擔 應于類似地更一般應于類似地更一般應將所建模型推廣為適應將所建模型推廣為適若有可能若有可能， 。情情形形下下的的方方案案選選擇擇 14 問題分析問題分析 問問題題分分析析 能小能小公司的目標是費用盡可公司的目標是費用盡可 總費用 運輸費用 倉庫改建費用 工廠到倉庫 工

9、廠到客戶 倉庫到客戶 1號庫的擴建費用 5號庫的新建費用 2、3號庫節(jié)約費用 費用是怎樣構成的費用是怎樣構成的 15 C55 C6 16 c 26 c 11 c 25 c 55, 1 d 56 d 55, 1 c 55, 2 c 16 d 55, 1 d 運運輸輸費費用用結(jié)結(jié)構構圖圖 1 B 5 B 1 A 2 A 15 c 21 c 16 客戶客戶 倉庫倉庫 工廠工廠 ,55, 7 , 6 ; , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ; , 2 , 1 iC iB iA i i i ;,55, 7 , 6 ; ; , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ; , 2 , 1 1 客戶月需求量客

10、戶月需求量 被擴建后所增加的容量被擴建后所增加的容量 倉庫容量倉庫容量 工廠月產(chǎn)量上限工廠月產(chǎn)量上限 iq BM iM iQ i i i 符號設定符號設定 ;的單位運輸費的單位運輸費到到 kjjk CBd ;的單位運輸費的單位運輸費及及到到 kjiij CBAc ;, ; ; 3232 55 11 變更時發(fā)生的費用變更時發(fā)生的費用 的月增費的月增費 擴建的月增費擴建的月增費 BBee Be Be ; 0 1 ; 1 0 ; 1 0 ; B 0 B 1 5 5 5 3 3 3 2 2 2 1 1 1 B B B B B B 不不建建 新新建建 關關閉閉 保保留留 關關閉閉 保保留留 不不擴擴建建

11、 擴擴建建 ;的的運運量量到到 kjjk CBy ;的的運運量量及及到到 kjiij CBAx 17 5 1 55 6 55332211 2 1 55 1 min kj kjkj ij ijij eeeeydxcz . .ts 55 1 )( , 2 , 1 j iij iQx生產(chǎn)能力限制 55 6 2 1 )( , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , ji ikkj kxy倉庫輸出限制 )( ,55, 7 , 6 2 1 5 1 客戶需求 ik jkjij jqyx )( 3 , 2 )1 ( 2 1 44 2 1 555 2 1 2 1 111 庫容量限制 i i i i i jjij i i Mx Mx jMx MMx )(2 532 倉庫個數(shù)限制 . 10, ,55, 7 , 6 ; 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ,55, 2 , 1 ; 2 , 1 , 0 5321 或均取 jky jix kj ij 數(shù) 學 模 型 18 1.4 價格競爭問題 A、B兩個加油站位于同一公路旁，為在公路 上行駛的汽車提供同一種汽油，彼此競爭激烈。 一天，A站推出降價銷售，以吸引顧客，造成B站 的顧客被拉走。B站決定也降價銷售以拉回顧客。 請你站在B加油站的立場上為其提供決策支持。 19 分析： 目標：利潤。 主要影響因素： 銷售量價格 社會價格 A站