《圓的證明與計(jì)算》 專 題

1、-作者xxxx-日期xxxx圓的證明與計(jì)算 專 題【精品文檔】2012中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圓的證明與計(jì)算 專 題 圓的證明與計(jì)算是中考中的一類重要的問(wèn)題，此題完成情況的好壞對(duì)解決后面問(wèn)題的發(fā)揮有重要的影響，所以解決好此題比較關(guān)鍵。一、考點(diǎn)分析： 1.圓中的重要定理:(1)圓的定義:主要是用來(lái)證明四點(diǎn)共圓.(2)垂徑定理:主要是用來(lái)證明弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.(3)三者之間的關(guān)系定理: 主要是用來(lái)證明弧相等、線段相等、圓心角相等.(4)圓周角性質(zhì)定理及其推輪: 主要是用來(lái)證明直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質(zhì)定理:主要是用來(lái)證明垂直關(guān)系.(6)切線的判定定理: 主要是用來(lái)證明直線是圓的切線.

2、(7)切線長(zhǎng)定理: 線段相等、垂直關(guān)系、角相等. 2.圓中幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過(guò)相等來(lái)互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計(jì)算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn),圓與相似 圓與面積 圓與切線 動(dòng)態(tài)圓三、解題秘笈：1、判定切線的方法：（1）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑（過(guò)圓上一點(diǎn)）；直線與半徑的關(guān)系

3、是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.2、與圓有關(guān)的計(jì)算：計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式復(fù)雜，無(wú)規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問(wèn)題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：（1）構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長(zhǎng)）；構(gòu)造垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；構(gòu)

4、造勾股定理模型；構(gòu)造三角函數(shù).（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過(guò)線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問(wèn)題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線段關(guān)系，把問(wèn)題分解為若干基本圖形的問(wèn)題，通過(guò)基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。四、范例講解：（一）圓與相似 1.（本小題滿分8分）（2011山東濱州，22，8分）如圖，直線PM切O于點(diǎn)M,直線PO交O于A、B兩點(diǎn)，弦ACPM,連接OM、BC.求證：（1）ABCPOM;(2).2、（2011山東日照）（本題滿分9分）如圖，AB是O的直徑，AC是弦，CD是O的切線，C為切點(diǎn)，

5、ADCD于點(diǎn)D求證：（1）AOC=2ACD；（2）AC2ABAD3、（2011山東煙臺(tái)，25，12分）已知：AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)G，E是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、G重合），直線DE交O于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)P.設(shè)O的半徑為r.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在直徑AB上時(shí)，試證明：OEOPr2（2）當(dāng)點(diǎn)E在AB（或BA）的延長(zhǎng)線上時(shí)，以如圖2點(diǎn)E的位置為例，請(qǐng)你畫出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.ABCDEFP.OG（圖1）.ABCDE.OG（圖2）（二）圓與面積4、（2011東營(yíng)）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D均在已知圓上，ADBC，BD平分ABC，B

6、AD=120，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為15（1）求此圓的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積5（2011山東萊蕪）(10分)如圖，AB是O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，DE3，連接BD，過(guò)點(diǎn)E作EMBD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M(1)求O的半徑；(2)求證：EM是O的切線；(3)若弦DF與直徑AB相交于點(diǎn)P，當(dāng)APD45時(shí)，求圖中陰影部分的面積AMDECOPBF6、（2011臨沂）如圖以O(shè)為圓心的圓與AOB的邊AB相切于點(diǎn)C與OB相交于點(diǎn)D，且OD=BD，己知sinA=25，AC=21（1）求O的半徑：（2）求圖中陰影部分的面枳7、（2011山東棗莊）(本題滿分8分)如圖，點(diǎn)在的直徑的延長(zhǎng)線

7、上，點(diǎn)在上，且AC=CD，ACD=120.第23題圖（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積.（三）圓與切線8.（2011山東菏澤）（本題10分）如圖，BD為O的直徑，AB=AC,AD交BC于點(diǎn)E,AE=2，ED=4,(1)求證:ABEADB;(2)求AB的長(zhǎng)；(3)延長(zhǎng)DB到F,使得BF=BO,連接FA,試判斷直線FA與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由. （第18題圖）APCOBED9（2011山東聊城）(8分)如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)O是圓心，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，CDOA交半圓于點(diǎn)D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接AE、OD，過(guò)點(diǎn)D作DPAE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P(1)求AOD的度數(shù)；(2

8、)求證：PD是半圓O的切線10（2011山東淄博）(9分)已知：ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)O在邊AB上，O過(guò)點(diǎn)B且分別與邊AB，BC相交于點(diǎn)D，E，EFAC，垂足為F.（1）求證：直線EF是O的切線；（2）當(dāng)直線DF與O相切時(shí)，求O的半徑.（四）圓與新題型11 （2011山東德州）(本題滿分10分) 觀察計(jì)算當(dāng)，時(shí)， 與的大小關(guān)系是_當(dāng)，時(shí)， 與的大小關(guān)系是_探究證明如圖所示，為圓O的內(nèi)接三角形，為直徑，過(guò)C作于D，設(shè)，BD=b（1）分別用表示線段OC，CD；（2）探求OC與CD表達(dá)式之間存在的關(guān)系（用含a，b的式子表示）歸納結(jié)論根據(jù)上面的觀察計(jì)算、探究證明，你能得出與的大小關(guān)系是：_實(shí)

9、踐應(yīng)用ABCOD要制作面積為1平方米的長(zhǎng)方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長(zhǎng)的最小值（五）圓與動(dòng)點(diǎn)12（2011山東濟(jì)寧）（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（，）的拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）. 已知點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.（1）求此拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)作線段的垂線交拋物線于點(diǎn)， 如果以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸與有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；（3）已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于，兩點(diǎn)之間，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的最大面積. (第23題)13（2011山東德州） (本題滿分12分) 在直角坐標(biāo)系xoy中，

10、已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A（1）如圖1，P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說(shuō)明理由（2）如圖2，P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)：求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使MBP的面積是菱形ABCP面積的若存在，試求出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由APxyKO圖11、【答案】證明：（1）直線PM切O于點(diǎn)M，PMO=901分 弦AB是直徑，ACB=902分 ACB=PMO3分 ACPM, CAB=P 4分 ABCPOM5分(2) ABCPOM, 6分 又

11、AB=2OA,OA=OM, 7分8分2、答案(本題滿分9分)證明：（1）CD是O的切線，OCD=90， 即ACD+ACO=90 2分OC=OA，ACO=CAO，AOC=180-2ACO，即AOC+ACO=90. 4分由，得：ACD-AOC=0，即AOC=2ACD；5分（2）如圖，連接BCAB是直徑，ACB=906分在RtACD與RtACD中，AOC=2B，B=ACD，ACDABC，8分，即AC2=ABAD 9分3、【解】（1）證明：連接FO并延長(zhǎng)交O于Q，連接DQ.FQ是O直徑，F(xiàn)DQ90. QFDQ90. CDAB，PC90.QC，QFDP.FOEPOF，F(xiàn)OEPOF.OEOPOF2r2.（

12、2）解：（1）中的結(jié)論成立.理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長(zhǎng)交O于M，連接CM.FM是O直徑，F(xiàn)CM90，MCFM90.CDAB，ED90.MD，CFME. POFFOE，POFFOE.，OEOPOF2r2.4、解答：解：（1）ADBC，BAD=120ABC=60又BD平分ABC，ABD=DBC=ADB=30AB=AD=DC，BCD=60AB=AD=DC，DBC=90又在直角BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DCBC+32BC=15BC=6此圓的半徑為3（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為O，由（1）可知O即為圓心連接OA，OD，過(guò)O作OEAD于E在直角AOE中，AOE=30OE=OAcos30=

13、332SAOD=123332=934S陰影=S扇形AODSAOD=6032360934=32934=69345、答案：解：連結(jié)OE，DE垂直平分半徑OAOC=,OEC=30（2）由（1）知：AOE=60，,BDE=60BDME，MED=BDE=60MEO=90EM是O的切線。（3）連結(jié)OFDPA=45EOF=2EDF=906、解答：解：（1）連接OA，以O(shè)為圓心的圓與AOB的邊AB相切于點(diǎn)CCOAB，sinA=25=COAO，AC=21假設(shè)CO=2x，AO=5x，4x2+21=25x2，解得：x=1，CO=2，O的半徑為2；（2）O的半徑為2；DO=2，DO=DB，BO=4，BC=23，2CO

14、=BO，OBC，CBO=30，COD=60，圖中陰影部分的面枳為：SOCBS扇形COD=122326022360=23237、(本題滿分8分)（1）證明：連結(jié). ， .2分 , . . 是的切線. 4分（2）解:A=30o，. 6分在RtOCD中, . . 圖中陰影部分的面積為. 8分8答案、.解:(1)證明:AB=AC,ABC=C,C=D,ABC=D,又BAE=EAB,ABEADB, 3分(2)ABEADB,，AB=. 6分(1) 直線FA與O相切，理由如下:連接OA，BD為O的直徑，BAD=90，BF=BO=,AB=,直線FA與O相切 9. （1）解：點(diǎn)C時(shí)OA的中點(diǎn)，OC=OA=ODCD

15、OA，OCD=90。在RtOCD中，cosCOD=COD=60，即AOD=60。（2）證明：連結(jié)OE，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，BOE=DOE=DOB=（180-COD）=（180-60）=60。OA=OE，EAO=AEO，又EAO+AEO=EOB=60EAO=30，PDAE，P=EAO=30。由（1）知AOD=60，PDO=180-（P+POD）=180-（30+60）=90，PD是半圓O的切線。10【答案】解：（1）證明：連接OE，則OB=OE。ABC是等邊三角形，ABC=C=60。OBE是等邊三角形。OEB=C =60。OEAC。EFAC，EFC=90。OEF=EFC=90。EF是O的切線。（2）連

16、接DF, DF是O的切線，ADF=90。設(shè)O的半徑為r，則BE=r，EC=，AD=。在RtADF中，A=60， AF=2AD=。FC=。在RtCEF中 ， C=60， EC=2FC。=2（）。解得。O的半徑是。11（本題滿分10分）觀察計(jì)算:， =. 2分探究證明：（1），3分AB為O直徑,.， A=BCD. 4分.即,. 5分（2）當(dāng)時(shí), =；時(shí), 6分結(jié)論歸納: 7分實(shí)踐應(yīng)用設(shè)長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為米,則另一邊長(zhǎng)為米,設(shè)鏡框周長(zhǎng)為l米，則 9分當(dāng),即（米）時(shí),鏡框周長(zhǎng)最小此時(shí)四邊形為正方形時(shí),周長(zhǎng)最小為4 米.10分12（1）解：設(shè)拋物線為.拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），.拋物線為.3分 (2) 答：與

17、相交. 4分證明：當(dāng)時(shí)，. 為（2，0），為（6，0）.設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，則.，.又，.6分拋物線的對(duì)稱軸為，點(diǎn)到的距離為2.拋物線的對(duì)稱軸與相交. 7分(3) 解：如圖，過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn).可求出的解析式為.8分設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）. . , 當(dāng)時(shí)，的面積最大為.(第23題) 此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，）. 10分 13（本題滿分12分）解：（1）P分別與兩坐標(biāo)軸相切， PAOA，PKOK PAO=OKP=90 又AOK=90， PAO=OKP=AOK=90 四邊形OKPA是矩形 又OA=OK， 四邊形OKPA是正方形2分OAPxyBC圖2GM（2）連接PB，設(shè)點(diǎn)P的

18、橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)P作PGBC于G四邊形ABCP為菱形，BC=PA=PB=PCPBC為等邊三角形在RtPBG中，PBG=60，PB=PA=x，PG=sinPBG=，即解之得：x=2（負(fù)值舍去） PG=，PA=BC=24分易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，OB=OGBG=1，OC=OG+GC=3 A（0，），B（1，0） C（3，0）6分設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c據(jù)題意得： 解之得：a=， b=， c=二次函數(shù)關(guān)系式為：9分解法一：設(shè)直線BP的解析式為：y=ux+v，據(jù)題意得： 解之得：u=， v=直線BP的解析式為：過(guò)點(diǎn)A作直線AMPB，則可得直線AM的解析式為：解方程組： 得： ； 過(guò)點(diǎn)C作直線CMPB，則可設(shè)直線CM的解析式為： 0= 直線CM的解析式為：解方程組： 得： ； 綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)，分別為：（0，），（3，0），（4，