分?jǐn)?shù)階控制理論研究[精選]

1、分?jǐn)?shù)階控制理論研究摘 要進入21世紀(jì)以來，隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論研究不斷取得突破，控制領(lǐng)域中的新的研究熱點就是對其進行理論研究，分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的推廣，將微積分階次從我們熟知的整數(shù)域推廣到實數(shù)域，甚至復(fù)數(shù)域。其理論基礎(chǔ)是分?jǐn)?shù)階微積分算子及方程，這是一個新的研究方向。大量的實踐已經(jīng)證明, 在控制理論中應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分，相比整數(shù)階微積分，具有更好的效果。在擴展控制理論的經(jīng)典研究方法方面，在解釋現(xiàn)有結(jié)果方面，分?jǐn)?shù)階微積分都為之提供了非常強勁的支持。論文闡述了分?jǐn)?shù)階微積分的基本理論，從其定義、導(dǎo)數(shù)定義以及性質(zhì)進行了分析了詳細(xì)說明。接下來分析了微積分控制理論在實際中的應(yīng)用，針對分?jǐn)?shù)階pid進行了

2、研究討論，在前人研究基礎(chǔ)上，對于分?jǐn)?shù)階pid自整定算法進行了研究分析，最后在matlab里進行仿真討論。關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階，分?jǐn)?shù)系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階pid abstractsince the begging of the 21st century, the fractional order calculus theory has achieved lots of breakthough.fractional calculus is the calculus whose integration or differentiation order isnot conventional integer numbe

3、r but real or even complex one. it is extensition ofinteger calculus. farctional order control, which is established on the idea offractional order operators and the theory of fractional order dieffrential equations,is now a quite new research direction. practice has proved that better results could

4、be obtained by introduction of fractional calculus in control theory. fractionalcalculus provides a powerful support for the expansion of the classic researchmethods in control theory and a better explaination of the current results.this paper expounds the basic theory of fractional order calculus,

5、from the definition and nature of its definition, derivative is analyzed in detail. then analyzed the control theory of calculus in the actual application, in view of the fractional order pid with the research and discussion on the basis of previous studies, the fractional order pid self-tuning algo

6、rithm are analyzed, and finally in the matlab simulation is discussed.key words: fractional-order, fractional system, fractional order pid目 錄第一章緒論3引言3研究背景與現(xiàn)狀4第二章分?jǐn)?shù)階微積分基本理論6分?jǐn)?shù)階微積分的定義62.2.1 gamma 函數(shù)62.2.2 mittag-leffler 函數(shù)62.2.3 grnwald-letnikov定義72.2.4 riemann-liouville 定義72.2.5 caputo 定義8分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義的三種變

7、形82.2.1 riemann-liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)82.2.2 grunwald-liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)92.2.3 caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)9常見分?jǐn)?shù)階微積分9分?jǐn)?shù)階微分的性質(zhì)11分?jǐn)?shù)階微分的常用運算11分?jǐn)?shù)階微分的復(fù)合運算11分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的積分變換12第三章分?jǐn)?shù)階控制理論概述14分?jǐn)?shù)階pid控制器概述14分?jǐn)?shù)階pid控制器的整定方法概述15第四章分?jǐn)?shù)階pid自整定算法174.1 控制器自整定算法174.2 整定方程184.3 fopi控制器自整定算法研究184.4 fopi控制器自整定算法研究21第五章分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)仿真分析255.1 高階模型255.2 帶積分的被控對象285

8、.3 帶延對象31第六章總結(jié)35致謝 .36參考文獻37ii第一章 緒論引言分?jǐn)?shù)階微積分展現(xiàn)了微積分環(huán)節(jié)逐漸變化的一個過程，它是常規(guī)的整數(shù)階微積分的一個推廣，從這一點上來講，整數(shù)階微積分可以理解為我們把分?jǐn)?shù)階微積分的微分或積分設(shè)為整數(shù)的時候的一種特殊例子1。分?jǐn)?shù)階微積分從其建立之初到發(fā)展至今經(jīng)過了有300多年，可以說它同整數(shù)階微積分有著一樣的長久發(fā)展歷程2。在早期的研究中，研究方向主要偏向于理論上的研究，想要離散化地數(shù)字實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分環(huán)節(jié)是比較困難的，這是早期落后的計算機水平所造成的。在現(xiàn)代社會，在計算機的軟硬件以及智能水平迅猛發(fā)展的基礎(chǔ)上，分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用到越來越多的領(lǐng)域上，分?jǐn)?shù)階控制

9、理論成為了自動控制領(lǐng)域里的一個新的分支。應(yīng)用分?jǐn)?shù)微積分的領(lǐng)域非常多，在材料學(xué)、力學(xué)、地震分析、機器人、控制器設(shè)計、概率學(xué)等領(lǐng)域都有其應(yīng)用之處3-5。數(shù)學(xué)家在研究理論的過程中，各自根據(jù)他們自己的想法理解，針對怎樣來具體定義分?jǐn)?shù)階微積分算法，他們給出了幾個不同定義，常見的有riemann-liouville定義，grunwald-letnioov定義，以及caputo定義，對于分?jǐn)?shù)階微積分怎樣進行積分變換也進行了相關(guān)研究，比如laplace變換，fourier變換等，數(shù)學(xué)家們針對其在時域中的性質(zhì)也進行了研究，比如沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)，對于其在在頻域中的性質(zhì)進行了細(xì)致的觀察，比如如幅頻特性、相頻特性等

10、。對其近似計算方法的研究，主要有連續(xù)有理近似法、離散近似法yo-i3j，近似展開方面，主要有maclaurin展開、連分式(cfe)展開4-7。除此之外分?jǐn)?shù)階微分方程怎樣進行求解，到目前為止仍然是科學(xué)家們研究的主攻方向，目前主要的方法有解析法、數(shù)值法，解析法大部分用來理論證明分?jǐn)?shù)階微積分的一些方面，相比較而言在實際的應(yīng)用中，數(shù)值法更為廣泛8-10。近年來，分?jǐn)?shù)階微積分取得了大量研究成果，這為其在各個領(lǐng)域中更好發(fā)展提供了堅實的理論基礎(chǔ)。社會發(fā)展的同時工業(yè)也在迅猛發(fā)展，在工業(yè)控制過程中，數(shù)學(xué)模型應(yīng)該怎樣精確建立變得愈發(fā)重要，舊的的控制理論或者別的數(shù)學(xué)建模方法還是側(cè)重于在怎樣建立集中參數(shù)系統(tǒng)，比如我

11、們可以使用比例系數(shù)，用它來表示一個電阻11。但是在我們無法用幾種參數(shù)來表示一個電阻的時候，通過使用偏微分方程，它是用來精確描述分布參數(shù)系統(tǒng)的，可以應(yīng)用在控制系統(tǒng)中難以精確描述的一些模型，比如描述一些在遠距離傳輸線模型、電熱爐模型等。由于分?jǐn)?shù)接微積分的一些性質(zhì)，將分?jǐn)?shù)階微積分算子引入模型描述中，就可以在仿真回路中建立一精確模型12。對比熟知的常規(guī)整數(shù)階控制器，利用分?jǐn)?shù)階微積分的特殊性質(zhì)，在設(shè)計控制器的時候使用分?jǐn)?shù)階微積分，在很多情況下有很大的優(yōu)越性。1.2研究背景與現(xiàn)狀對熟知微積分的人而言，函數(shù)f的n階微積分概念dnf (t)=dnf(t)/dtn(n為正整數(shù))己經(jīng)不是什么陌生的概念。1695年

12、，法國數(shù)學(xué)家lhopital收到德國數(shù)學(xué)家leibniz的一封信，在這封信里第一次提出“整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的概念，可不可以通過類似的方式推廣到非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)呢” ，對于他所提出來的這個陌生問題lhopital感到非常地新奇。在對leibniz的回信里面，他反問了一個簡單的問題，“如果我們把求導(dǎo)的次數(shù)設(shè)置為為二分之一，將會出現(xiàn)什么樣的情況呢?”。同年9月30日，leibniz又給l hopital回了一封信，在這封信里面，leibniz寫到“如果這樣的話會導(dǎo)致錯誤結(jié)論，盡管如此總會有那么一天，會得到一些有用的結(jié)果。” 1695年9月30日，是非常具有紀(jì)念意義的一天，被大家認(rèn)同為分?jǐn)?shù)階微積分的誕生之日。在這

13、之后，像，p.1 evy及等非常多的著名數(shù)學(xué)巨匠，在他們的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多年的努力研究去完善和發(fā)展分?jǐn)?shù)階微積分理論13-14。但是三百多年來，因為得不到物理、力學(xué)等相關(guān)聯(lián)的背景學(xué)科的大力支持，分?jǐn)?shù)階微積分只是純理論，被數(shù)學(xué)家單單在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里面進行研究。并且因為分?jǐn)?shù)階算子是在整數(shù)階微積分的基礎(chǔ)上建立起來的，這與經(jīng)典物理學(xué)理論還有牛頓力學(xué)等是互相矛盾的，它的發(fā)展一直非常緩慢。 1968年，美國耶魯大學(xué)同時也是圖靈獎得主的mandelbrot教授，提出了分形學(xué)說，他首次將riemann-liouville分?jǐn)?shù)階微積分用來分析并研究分形媒介中的布朗運動。由于混沌在本質(zhì)上是一種分形，混沌是通過計算非線性方

14、程而得到的，它在本質(zhì)上可以理解為一種分形，但在描述混沌吸引子的時候，其分形維數(shù)并不依賴非線性方程，mandelbrot通過研究分形維數(shù)的物理意義來尋找混沌吸引子普適常數(shù)的物理內(nèi)容15。mandelbrot的研究發(fā)現(xiàn)，整數(shù)階微積分有力地描述能夠有效地描述euclid空間，于此相對應(yīng)，分?jǐn)?shù)階微積分能夠有效地描述分?jǐn)?shù)維空間。在這次試驗中，分?jǐn)?shù)階微積分得到成功驗證，其他學(xué)科領(lǐng)域的學(xué)者開始關(guān)注分?jǐn)?shù)階微積分的理論及其應(yīng)用。第一部關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的專著fractionalcalculus: theory and applications, differentiation and integration to

15、arbitrary order是在1974年應(yīng)用化學(xué)家和數(shù)學(xué)家合作出版的，在這本專著里面，首次詳細(xì)闡釋了分?jǐn)?shù)階微積分基本理論及其應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階微積分的研究從此跨入新時代。為了促進分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展和應(yīng)用，1974年，第一屆“分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用(fractional calculus and its applications)”國際會議在美國new haven大學(xué)舉行并在1975年出版了相應(yīng)的論文集，這一盛舉極大地促進了分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展和應(yīng)用16。但在之后的二十年中分?jǐn)?shù)接微積分發(fā)展卻是相當(dāng)平緩。從二十世紀(jì)末開始，在科技迅速發(fā)展的同時許多問題的研究變得越來越復(fù)雜，人們的認(rèn)知能力越來越強，與此同時

16、分?jǐn)?shù)階微積分也得以快速發(fā)展，越來越多的領(lǐng)域開始應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分，例如松弛、隨機擴散和波動的傳播、金融、生物材料、控制和機器人、大分子鏈的變形、混沌和湍流、分子譜、粘彈性動力學(xué)、量子力學(xué)、電化學(xué)、電磁場、生物醫(yī)學(xué)甚至交通、等等。在分?jǐn)?shù)階微積分促進其他領(lǐng)域進步的同時，自身也得到了發(fā)展，當(dāng)今非線性科學(xué)的一主要標(biāo)志就是在混沌和結(jié)構(gòu)耗散中的分?jǐn)?shù)微積分應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階微積分的專業(yè)期刊主要有以下三個：1992年創(chuàng)刊的journal of fractional calculus、1998年創(chuàng)刊的fractional calculus& applied analysis及2010年創(chuàng)刊的fractional dyn

17、amic systems17。當(dāng)然，在網(wǎng)絡(luò)上也有大量研究分?jǐn)?shù)階微積分的網(wǎng)站，如oc ,等網(wǎng)站 。在當(dāng)前科學(xué)領(lǐng)域，分?jǐn)?shù)階微積分理論及其應(yīng)用的研究已經(jīng)成為熱點研究課題。隨著分?jǐn)?shù)階微積分在各個領(lǐng)域的應(yīng)用研究越來越多，控制領(lǐng)域的專家學(xué)者們也開始廣泛關(guān)注。tustin在其發(fā)表的一篇關(guān)于多目標(biāo)控制的文章中，首次引入分?jǐn)?shù)階控制。在此之后，上世紀(jì)六十年代，分?jǐn)?shù)階控制的其他一些研究成果有總結(jié)完成。1993年，從分?jǐn)?shù)階魯棒性角度出發(fā)，法國學(xué)者設(shè)計了第一代分?jǐn)?shù)階crone控制器，并且得到成功應(yīng)用。1999年，斯洛伐克學(xué)者l.podlubny出版了分?jǐn)?shù)階微分方程的著作，該著作系統(tǒng)地介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的計算方法，怎樣來

18、求解分?jǐn)?shù)階微分方程，這為分?jǐn)?shù)階微積分提供了物理解釋，并將一些工程常用工具性知識lapla如ce變換、fourier變換等引入到分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)中來，這奠定了為分?jǐn)?shù)階控制理論的基礎(chǔ)18。自2004年開始，國際自動控制聯(lián)合會(international federation of automatic control,ifac)每兩年舉辦一次“分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用”國際會議，專門研討分?jǐn)?shù)階微積分的最新理論成果及其在控制研究領(lǐng)域的最新應(yīng)用成果。在控制系統(tǒng)中使用分?jǐn)?shù)階控制器可以有效地改善閉環(huán)系統(tǒng)性能和魯棒性。在分?jǐn)?shù)階控制理論研究方面，國外起步早，相對成熟，國內(nèi)對這方面的研究起步較晚。近些年，國內(nèi)不少學(xué)者專

19、家投入分?jǐn)?shù)階控制理論的研究，并取得了一些成果。第二章 分?jǐn)?shù)階微積分基本理論2.1分?jǐn)?shù)階微積分的定義研究分?jǐn)?shù)階，在時域中，對于分?jǐn)?shù)階微積分有以下標(biāo)記： ()在分?jǐn)?shù)階微積分迅速發(fā)展的同時，其數(shù)學(xué)定義也是多樣化發(fā)展，一般情況下是針對應(yīng)用領(lǐng)域的不同而言。但是，在控制領(lǐng)域里面，應(yīng)用最廣泛的是以下三種數(shù)學(xué)定義：grnwald-letnikov定義、riemann-liouville定義、caputo定義19。在了解分?jǐn)?shù)階微積分之前需要先熟悉以下幾種特殊函數(shù)，它們主要常用在分?jǐn)?shù)階微積分方程中。2.2.1 gamma 函數(shù) gamma函數(shù)其基本定義如下： ()其中。gamma函數(shù)，它的一個基本特性是： ()從

20、上式可以看出在z=-n處，gamma函數(shù)為單極點，如下式所示， ()2.2.2 mittag-leffler 函數(shù) 在微分方程研究領(lǐng)域，mittag-leffler函數(shù)有至關(guān)重要的作用，應(yīng)用非常廣泛。是帶有一個參數(shù)的mittag-leffler函數(shù)的特殊情況，帶有單個參數(shù)的mittag-leffler函數(shù)其定義如下式所示： (2.5)在分?jǐn)?shù)階微分方程研究領(lǐng)域，mittag-leffler函數(shù)也極其重要。帶有兩個參數(shù)的廣義概念上的mittag-leffler函數(shù)為： （）其中。廣義mittag-leffler函數(shù)，其定義如下式所示： （）其中。2.2.3 grnwald-letnikov定義 對

21、于任意的，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)定義如下 （）其中，是兩個極值。當(dāng)時，表示的階導(dǎo)數(shù)；當(dāng)時，表示的次微分。在工程技術(shù)實際應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階后向差分經(jīng)常會出現(xiàn)一極值，這種情況是十分有害的。如果滿足，那么有性質(zhì) （）2.2.4 riemann-liouville 定義 （）其中，為gamma函數(shù)。 riemann-liouville 的定義是從多重積分這一概念出發(fā)的，在數(shù)學(xué)概念上對其有嚴(yán)格的要求，就是必須做到函數(shù)是連續(xù)的，不連續(xù)函數(shù)是不允許的20。但是，在實際應(yīng)用中，針對的是具體的系統(tǒng)，從工程應(yīng)用及實際角度出發(fā)，完全能夠做到實際系統(tǒng)函數(shù)的連續(xù)性。除此之外，riemann-liouville 定義另外一個嚴(yán)苛要求是

22、可積，對于實際工程應(yīng)用這是一個比較容易滿足的條件，因此在工程應(yīng)用中riemann-liouville 的定義得到了廣泛使用。 然而， 需要注意的一點是，應(yīng)用riemann-liouville 定義的前提是解決其初始值問題。在數(shù)學(xué)理論上，這個問題能夠很好地解決，但是實際應(yīng)用上沒有多大的物理意義。故而，在其更廣泛發(fā)展的道路上是有不小障礙21。2.2.5 caputo 定義 1960年代，意大利的一位數(shù)學(xué)家m. caputo發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階微積分在數(shù)學(xué)應(yīng)用和物理應(yīng)用上的相互，針對這一問題他重新定義了分?jǐn)?shù)階微積分如下式所示22： （）其中。式（）可以看出相較于之前兩種分?jǐn)?shù)接微積分定義，caputo 定義的

23、約束條件強一些，caputo 定義需要保證函數(shù)的前n階導(dǎo)數(shù)可積。riemann-liouville定義的初值在實際應(yīng)用上沒有物理意義，而caputo定義是有的。另外， caputo定義要求常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為必須為0，針對常數(shù)的導(dǎo)數(shù)范圍是有界的，針對常數(shù)的導(dǎo)數(shù)riemann-liouville定義則是無界的。在函數(shù)頻域分析方面以及工程應(yīng)用方面，這些要求都是具有重大影響，尤其當(dāng)其在控制領(lǐng)域進行應(yīng)用的時候。2.2分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義的三種變形2.2.1 riemann-liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)針對正數(shù)，令n-1n，那么，定義在a,b區(qū)間上的函數(shù)f(t)的階riemann-liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義為

24、： (2.12)2.2.2 grunwald-liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與grunwald-liouville定義方式類似地， riemann-liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)如下式所示： (2.13)其中表示的是二項式系數(shù)，其具體計算式為： (2.14)2.2.3 caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與grunwald-liouville定義方式類似地，caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義為： (2.15)三個定義式之間的關(guān)系如下：如果函數(shù)f(t)在閉區(qū)間a，b上(n-l)階連續(xù)可微且在閉區(qū)間a，b上可積，對于n-lan，riemann-liouville型分?jǐn)?shù)階微分和grunwald-liouville型分?jǐn)?shù)階微

25、分是一致的。caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和riemann-liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)也有一個關(guān)系。對于正實數(shù)，n-1-1。對于廣義函數(shù)中的函數(shù)(t)，它的riemann-liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是 （）對于heavisde函數(shù)h(t)， （）2.4分?jǐn)?shù)階微分的性質(zhì)2.分?jǐn)?shù)階微分的常用運算一般對于和，它們有下列的常用性質(zhì)： （）2.分?jǐn)?shù)階微分的復(fù)合運算分?jǐn)?shù)階算子在一定條件下可以進行相互的復(fù)合，一個定義在a，b區(qū)間上的函數(shù)f(t)，針對分?jǐn)?shù)階積分來說，分?jǐn)?shù)階積分之間的階數(shù)是可以直接相加的，令 （）先進行求導(dǎo)數(shù)接下來進行求積分的時候，要求： （）如果分?jǐn)?shù)階積分運算與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)運算，它們的階數(shù)不同時，

26、令0，需要先進行求積分再進行求導(dǎo)數(shù)時，要求：: （）在進行求導(dǎo)數(shù)再進行求積分的時候，要求： （）接下來，當(dāng)進行整數(shù)階導(dǎo)數(shù)與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的復(fù)合運算時， （）若進行的是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)它們之間的復(fù)合運算，令n一10，那么有 （）2.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的積分變換在微分方程領(lǐng)域，積分變換常常用來解決一些整數(shù)階微分方程的問題。然而，各種積分變換對于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來說亦十分重要，通常用來進行求解分?jǐn)?shù)階微積分方程。先看分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的laplace變換。通常某一函數(shù)其laplace變換定義為： （）針對某一函數(shù)riemann-liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，其laplace變換定義為： （）其中n-1n。fourier變換也是一個經(jīng)

27、常見到的一種積分變換。某一函數(shù)g(t)其fourier變換定義為： （）由上式可以看到，在對函數(shù)g(t)施行fourier變換的時候，必須保證在整個實軸上函數(shù)g(t)是有定義的，因此我們應(yīng)用無窮區(qū)間上的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來定義完全是合理的。由此得出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)其定義為下式： （）其中n-1n。在這種情況下分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)它的fourier變換定義為： （）在電傳導(dǎo)，神經(jīng)的分?jǐn)?shù)模型等中，對系統(tǒng)的分析有很好的效果。37第三章 分?jǐn)?shù)階控制理論概述大量數(shù)據(jù)表明，分?jǐn)?shù)階微積分在控制領(lǐng)域的作用極其重要，越來越多的工業(yè)實際控制系統(tǒng)應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分控制。igor podlubny在其發(fā)表的關(guān)于分?jǐn)?shù)階pid控制系統(tǒng)的文章中表明

28、，相較于整數(shù)階pid，如果被控對象是分?jǐn)?shù)階的話，用分?jǐn)?shù)階pid會得到卓越效果。yangquan chen， blas vinagre等學(xué)者也紛紛指出并實驗驗證了分?jǐn)?shù)階控制器具有傳統(tǒng)整數(shù)階控制器無法比擬的優(yōu)點。簡而言之，分?jǐn)?shù)階控制器具有以下三個顯著特點24：（1）針對被控對象是對于分?jǐn)?shù)階，使用分?jǐn)?shù)階控制器來進行控制性能更優(yōu)越；（2） 在被控對象波動變化時， 分?jǐn)?shù)階控制器相比較傳統(tǒng)的整數(shù)階控制器具有更強的魯棒性；（3當(dāng)系統(tǒng)建模相對比較復(fù)雜時，使用分?jǐn)?shù)階微積分相較于整數(shù)階微積分通常能夠更加精準(zhǔn)地描述系統(tǒng)的特性，同時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)更簡單。分?jǐn)?shù)階pid控制器概述1989年，日本一個電氣協(xié)會做了一項調(diào)查統(tǒng)

29、計，全球90%的控制系統(tǒng)都在應(yīng)用pid控制器。此外，加拿大做了一項調(diào)查，統(tǒng)計表明97%的造紙廠控制設(shè)備應(yīng)用的是pi控制器。這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)清晰地表明了pid控制器的重要實用性。但是隨著社會科技的發(fā)展，在工程工業(yè)上對控制器性能提出了更高的要求，一般情況下對于控制系統(tǒng)，希望得到更快的控制速度，更高的控制精度，更強的系統(tǒng)魯棒性等。廣義分?jǐn)?shù)階pid控制器的出現(xiàn)，對于pid控制器的研究發(fā)展起到了至關(guān)重要的作用，開了新的研究方向。相較于傳統(tǒng)pid控制器，廣義pid控制器有諸多優(yōu)點，最突出的是它的階次更加方便靈活，它的積分和微分部分的階次均為實數(shù)。通常我們把傳統(tǒng)的整數(shù)階pid控制器看作是分?jǐn)?shù)階控制器的一種特殊形

30、式。分?jǐn)?shù)階pid其傳遞函數(shù)定義如下式所示： （） （）上式（）為控制器在頻域中的傳遞函數(shù)，式（）為控制器在時域中的傳遞函數(shù)。由上式可以發(fā)現(xiàn)，在情況下，分?jǐn)?shù)階控制器即為傳統(tǒng)的整數(shù)階pid控制器。由此能夠得到上述結(jié)論：傳統(tǒng)的pid控制器可以看做分?jǐn)?shù)階控制器的特例。在如今的工業(yè)控制領(lǐng)域當(dāng)中，使用最多的就是整數(shù)階pid控制器。整數(shù)階pid控制器其結(jié)構(gòu)相對簡單明了，魯棒性強獲得了多數(shù)研究人員的認(rèn)同。在控制系統(tǒng)研究領(lǐng)域，傳統(tǒng)的整數(shù)階pid控制器其p、i、d三個參數(shù)對于調(diào)節(jié)系統(tǒng)起著各自不同的作用。對于分?jǐn)?shù)階控制器而言，多了兩個可調(diào)參數(shù)，這大大地增加了控制器調(diào)整時的靈活自由度，故而分?jǐn)?shù)階控制器能夠?qū)ο到y(tǒng)的相位

31、進行相較于傳統(tǒng)整數(shù)階控制器來說更加的靈活、更加的連續(xù)的精確調(diào)整。分?jǐn)?shù)階控制器在參數(shù)整定這一方面，雖然由于多個參數(shù)的整定將會不可避免地需要提升算法的復(fù)雜難度，可是從長遠角度來看，分?jǐn)?shù)階控制器能夠提高系統(tǒng)的靈活性、提高系統(tǒng)的魯棒性進而提高系統(tǒng)的整體控制性能。圖 整數(shù)階pid與分?jǐn)?shù)階pid取值特點3.2分?jǐn)?shù)階pid控制器的整定方法概述從學(xué)者dorcak首次提出分?jǐn)?shù)階控制器至今，越來越多的研究學(xué)者提出更多的分?jǐn)?shù)階pid控制器。在這些分?jǐn)?shù)階pid控制器當(dāng)中，應(yīng)用廣泛的有a. oustaloup 提出的的crone控制器，i. podlubny提出的控制器，還有y. q. chen等人提出的基于算法結(jié)構(gòu)的

32、分?jǐn)?shù)階pid控制器。每一種結(jié)構(gòu)類型的控制器的誕生，常常都會引來相應(yīng)控制器整定算法的討論研究熱潮。在各種各樣結(jié)構(gòu)控制器的研究中，分?jǐn)?shù)階控制器由于其階次的極大靈活性，它的參數(shù)整定發(fā)展成了在分?jǐn)?shù)階控制研究領(lǐng)域的的一個熱門領(lǐng)域，以下介紹兩種有顯著代表意義的分?jǐn)?shù)階pid控制器的設(shè)計方法。a. oustaloup提出的crone控制器研究基礎(chǔ)是頻域分析方法，a. oustaloup在研究控制系統(tǒng)其相位裕度的魯棒性基礎(chǔ)上，提出了如下所述的不斷改進的三種分?jǐn)?shù)階控制器算法：（1）針對穿越頻率時候周圍增益進行擾動時其開環(huán)傳遞函數(shù)的情況下的整定算法；（2）針對不同增益擾動的模型不同情況的整定算法；（3）針對控制系統(tǒng)

33、被控對象其調(diào)整參數(shù)的不確定性的整定算法。從crone的三種控制器算法中我們可以明顯可以看出來，針對控制系統(tǒng)中的高低頻干擾，分?jǐn)?shù)階pid能夠?qū)ζ溆行б种?，換言之，對傳統(tǒng)整數(shù)階pid而言，分?jǐn)?shù)階控制器其優(yōu)良的魯棒性是前者遠遠做不到的。i. podlubny研究提出的廣義分?jǐn)?shù)階pid控制器的結(jié)構(gòu)，由于計算過程相較crone控制器較為復(fù)雜，其主要是進行控制算法優(yōu)化的一種方法，想要在工業(yè)領(lǐng)域廣泛使用有一定的障礙。第四章 分?jǐn)?shù)階pid自整定算法整數(shù)階pid控制器，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，在控制器整定領(lǐng)域里面已經(jīng)形成一套完整的理論研究及應(yīng)用體系，而且仍有大量學(xué)者針對整數(shù)階pid控制器進行深入研究，研究出了不少心的

34、整定控制器結(jié)構(gòu)的方法理論。近年來，越來越多的學(xué)者關(guān)注分?jǐn)?shù)階控制器的結(jié)構(gòu)的研究，而且研究出了許多卓著成果，提出了一些相對有效的整定方法。在實際的工業(yè)系統(tǒng)中，控制系統(tǒng)的被控對象通常比較復(fù)雜，其數(shù)學(xué)模型一般無從得知，對于被控對象所能得到的有效信息非常匱乏。針對這種情況，國內(nèi)學(xué)者研究出了具有等阻尼特性的fopi、fopi、fopd、fopd四種控制器的自整定算法。本章對其進行學(xué)習(xí)研究。4.1 控制器自整定算法在研究控制系統(tǒng)時，怎樣達到系統(tǒng)穩(wěn)定，怎樣具有好的魯棒性，這是我們研究控制器自整定算法的目的和意義所在。通常采用的是計算的方法，來得到分?jǐn)?shù)階控制器，該控制器有三個參數(shù)，因此在控制器設(shè)計當(dāng)中需要得到控

35、制器參數(shù)值，這可以通過三個參數(shù)整定方程來得到。為了更方便地研究系統(tǒng)的整定方法，我們需要先假設(shè)經(jīng)過幾次實驗可以得到控制系統(tǒng)在期望的正切頻率點處的增益以及相位。針對fopi、fopi、fopd、fopd控制器，各自的傳遞函數(shù)分別如下式所示： (4.1) (4.2) (4.3) (4.4)假設(shè)系統(tǒng)開環(huán)穿越頻率是，在頻率處的相位是。系統(tǒng)開環(huán)增益?zhèn)鬟f函數(shù)為： (4.5)其中是未知的被控對象。4.2 整定方程設(shè)計分?jǐn)?shù)階控制器的基本要點是，當(dāng)處于向量圖中控制系統(tǒng)其靈敏度圓（sensitivity circle）同控制系統(tǒng)的nyquist曲線在點處相切的這一情況下，映射到bode圖上的具象為系統(tǒng)其相位曲線在處

36、保持平直。分?jǐn)?shù)階控制器的該性質(zhì)確保了在增益不斷變化時，系統(tǒng)能夠具有更好的魯棒性。從這一特性出發(fā)，我們能夠設(shè)計出控制系統(tǒng)的三個整定方程，其表達形式分別如下所示：（1）根據(jù)需要滿足控制系統(tǒng)其相位特性曲線需在在wc處是平直的這一要求，能夠得到如下所示方程： (4.6)該方程也可以表達為： (4.7)（2）在處可以把控制系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)其相位表達為： (4.8)（3）在處控制系統(tǒng)的開環(huán)增益表達為： (4.9) 4.3 fopi控制器自整定算法研究根據(jù)fopi控制器其傳遞函數(shù)，能夠得到它的頻率響應(yīng)表達如下： (4.10)由式（）可以獲得控制器其相位與增益表達如下， (4.11) (4.12)在此我們假設(shè)被

37、控對象其傳遞函數(shù)為，則其頻率響應(yīng)能夠表達為： (4.13)其中為被控對象的增益，為被控對象的相位?？刂葡到y(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)頻響可以表達為： (4.14)及 (4.15) (4.16)則 (4.17)由，能夠獲得控制系統(tǒng)對角頻率其導(dǎo)數(shù)可以表達為： (4.18)而且，能后獲得被控對象與角頻率它倆之間的關(guān)系為： (4.19) (4.20) (4.21)由上所述我們可以推導(dǎo)出開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)與角頻率二者之間關(guān)系為： (4.22)由 (4.7)所示的參數(shù)整定方程，可以得到nyquist曲線在處的斜率表達如下式： (4.23)則 (4.24)其中 (4.25) (4.26) 從式(4.23)及（），我們可以得到

38、 (4.27)其中 (4.28) (4.29)其中 (4.30) (4.31) (4.32)對于一個穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)來說，的近似形式為 (4.33)其中，表示為被控對象的統(tǒng)計增益。由(4.9)所示的參數(shù)整定方程得到： (4.34)那么 (4.35)由(4.8)所示參數(shù)整定方程可以得到： (4.36) (4.37)那么， (4.38) (4.39)其中 (4.40)若能夠獲得。那么由(4.29)(4.35)及(4.39)，則能夠通過計算獲取及的值。4.4 fopi控制器自整定算法研究 (4.41) (4.42)控制系統(tǒng)其開環(huán)頻率響表達為： (4.43)控制系統(tǒng)其開環(huán)增益能夠表達如下： (4.4

39、4)控制系統(tǒng)其開環(huán)相位幅度表達如下： (4.45)那么 (4.46)由，我們能夠獲得下式： (4.47)由上式可以得到控制系統(tǒng)其被控對象同其角頻率二者之間關(guān)系表達為： (4.48)將(4.47)和(4.48)帶入到(4.46)，則能夠獲得系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)同角頻率二者關(guān)系如下式： (4.49)因此，由式(4.6)的參數(shù)整定方程，我們可以得到nyquist曲線在處的正切頻率斜率為 (4.50)因此 (4.51)其中 (4.52) (4.53)從式(4.50)，能夠獲得： (4.54)于是可以進一步推出控制器參數(shù) (4.55)由(4.9)所示參數(shù)整定方程，有 (4.56)那么 (4.57)根據(jù)整定方

40、程(4.8)， (4.58) (4.59) (4.60) (4.61)其中如果能夠得到，那么從式(4.59)(4.60)及(4.61)，就可以計算得到控制器參數(shù)及了。第五章 分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)仿真分析在前面討論的fopi及fopi控制器設(shè)計方法在這里將通過一些仿真例子進行說明， (5.1) (5.2) (5.3)5.1 高階模型考慮在(4.55)中模型，參數(shù)設(shè)定為：及。使用以上的方法，fopi控制器的傳遞函數(shù)為 （）而且經(jīng)過推導(dǎo)fopi，可知控制器傳遞函數(shù)的形式是 （）圖5.1 對于的fopi系統(tǒng)bode圖圖的fopi系統(tǒng)bode圖從圖以及圖的系統(tǒng)波特圖中能夠得知相位曲線在時是平直的，同時相位裕度

41、約為。被控對象fopi、fopi以及控制器閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的曲線如圖及所示。從圖中，能夠得知前面設(shè)計的fopi和fopi控制器很有效果。當(dāng)系統(tǒng)增益變化時，階躍響應(yīng)的超調(diào)量一般是常數(shù)，這時系統(tǒng)對增益變化有魯棒性。圖5.3 對于在增益變化及負(fù)載擾動下fopi控制器階躍響應(yīng)圖5.4 對于在增益變化及負(fù)載擾動下fopi控制器階躍響應(yīng) 圖是fopi及fopi兩個閉環(huán)控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖。從圖，我們能夠看到fopi控制器階躍響必須遠少于fopi控制器。圖5.5 對于利用fopi和fopi控制器的階躍響應(yīng)圖5.2 帶積分的被控對象被控對象，參數(shù)設(shè)計定為：，。使用前述整定方法fopi控制器的傳遞函數(shù)為(5.6)

42、fopi控制器傳遞函數(shù)是：(5.7)圖5.6 對于的fopi系統(tǒng)bode圖圖 對于的fopi系統(tǒng)bode圖圖和圖是系統(tǒng)波特圖，圖中能夠得知在附近相位曲線為平直的。其相位裕度約為。圖5.8 在增益變化以及負(fù)載擾動下fopi控制器階躍響應(yīng)圖 對于在增益變化及負(fù)載擾動下fopi控制器階躍響應(yīng)控制對象的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)如圖及圖所示。圖中可知，前述方案設(shè)計的fopi和fopi控制器很有效果。增益雖然變化但是系統(tǒng)超調(diào)保持不變，這就表明該方法具有魯棒特性。圖 對于利用fopi和fopi控制器的階躍響應(yīng)圖圖對應(yīng)的fopi和fopi控制器階躍響應(yīng)圖。圖中可以看出，系統(tǒng)階躍響應(yīng)是相同的。5.3 帶延對象被控對象，

43、設(shè)計系統(tǒng)參數(shù)時定為：，。使用前述方法fopi控制器整定參數(shù)是 (5.8)fopi控制器的傳遞函數(shù)是 (5.9)圖5.11 對于的fopi系統(tǒng)bode圖圖對的fopi系統(tǒng)bode圖圖以及分別是的fopi系統(tǒng)bode圖。圖中看出相位曲線在附近時是平直的，其相位裕度約為。圖在增益變化和負(fù)載擾動時fopi控制器的階躍響應(yīng)圖在增益變化和負(fù)載擾動時fopi控制器的階躍響應(yīng)的fopi和fopi控制器閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖及圖所示。圖中可知使用前面方案設(shè)計的fopi和fopi控制器可以使系統(tǒng)穩(wěn)定，同時增益變化時有很強的魯棒特性。圖利用fopi以及fopi控制器階躍響應(yīng)圖經(jīng)對比fopi以及fopi階躍響應(yīng)可知，

44、fopi控制系統(tǒng)的超調(diào)和fopi幾乎一樣。從以上仿真結(jié)果能夠斷定前述的自整定方法，滿足設(shè)計要求。仿真中，利用以及的值計算出來的，因此是正確的。第六章 總結(jié)當(dāng)分?jǐn)?shù)階微積分的理論不斷發(fā)展時，很多人開始關(guān)注它的實際應(yīng)用。目前有很多文獻提及，使用分?jǐn)?shù)階理論能夠?qū)σ恍┦挛飳崿F(xiàn)更精確的、更完善的數(shù)學(xué)建模，在一定的程度上來講，這些分析結(jié)論極大的推動了分?jǐn)?shù)階微積分在工程應(yīng)用上的發(fā)展。現(xiàn)實自然界中很多系統(tǒng)特性都用分?jǐn)?shù)階理論描述特別簡單同時較真實的、可觀的反映事物本質(zhì)規(guī)律。因為在應(yīng)用工程中，分?jǐn)?shù)階理論是較好的數(shù)學(xué)工具，所以分?jǐn)?shù)階理論在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，是一個特別有成效的領(lǐng)域是控制研究。一些文獻提出基于分?jǐn)?shù)

45、階微積分理論的控制器數(shù)學(xué)模型和結(jié)構(gòu)，不過對比整數(shù)階控制器的大量應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階控制器還是一個起步階段。fopid控制器的出現(xiàn)，將分?jǐn)?shù)階控制器應(yīng)用到一個全新的領(lǐng)域。fopid控制器結(jié)構(gòu)是傳統(tǒng)pid控制器不能比擬的。很多研究者對fopid控制器參數(shù)整定進行過深入的研究，不過這方面的研究工作仍然有許多沒有解決的難題以及缺陷，如缺乏傳統(tǒng)控制器優(yōu)勢對比、整定計算過程比較復(fù)雜以及系統(tǒng)性的控制器的參數(shù)整定方法研究等問題。所以，研究fopid控制器問題和探索它的工程實際應(yīng)用意義重大。致謝在畢業(yè)設(shè)計實驗與畢業(yè)論文撰寫過程中，指導(dǎo)老師給予了我精心的指導(dǎo)，不僅為我指出了總的學(xué)習(xí)方向，而且提出很多精辟、寶貴的意見，在此表

46、達我對老師衷心地感謝。在畢業(yè)設(shè)計期間老師對我遇到的各種問題予以提示、指點，使我在學(xué)習(xí)中少走了很多彎路。老師認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神、扎實的理論水平都使我受益匪淺，這些對我以后工作和學(xué)習(xí)都有很大的幫助。在這里再次表示我誠摯的感謝！感謝同學(xué)們對我的指點和幫助。我還要感謝我的母校，以及在大學(xué)四年生活中給予我關(guān)心和幫助的老師和同學(xué)，是他們教會了我專業(yè)的知識和做人的道理。在此祝愿老師、同學(xué)工作順利，事業(yè)更上一層樓；同時也祝愿學(xué)校更加輝煌！參考文獻1 k.b. oldham and j. spanier. the fractional calculus. new york and london:

47、 academic press, 1974.2 r. l. magin. fractional calculus in bioengineering. critical reviews tm in biomedical engineering, 2004, 32: 1-4.3 s. yamamoto and i. hashimoto. recent status and future needs: the view from japanese industry. in: proc. of the 4th int. conf. chemical process control, chemical

48、 process control -cpciv, 1991.4 b. mandelbrot. some noises with 1/f spectrum, a bridge between direct current and white noise. ieee trans. inform. theory, 13(1967): 289-2985 m. ichise, y. nagayanagi and t. kojima, an analog simulation of noninteger order transfer functions for analysis of electrode processes，j. eleetroanal. chem. 33(1971): 253-265.6 h. h. sun, b. onaral and y. tsao. application of the positive reality principle to metal electrode linear polarizatio