行列式的性質(zhì)與計(jì)算論文

1、目 錄摘 要 1 abstract 1 引 言 2 1 行列式的定義和性質(zhì) 2 1.1 行列式的定義 2 1.1.1 排列 2 1.1.2 行列式的定義 3 1.2 行列式的相關(guān)性質(zhì) 3 2 行列式的計(jì)算方法 3 2.1行列式計(jì)算的基本方法 3 2.1.1利用行列式的性質(zhì)計(jì)算 4 2.1.2 三角形法 4 2.1.3代數(shù)余子式法 5 2.1.4 加邊法6 2.1.5降階法 8 2.1.6 分塊法 9 2.2行列式計(jì)算的特殊方法 10 2.2.1遞推公式法 10 2.2.2數(shù)學(xué)歸納法11 2.2.3 分拆法 12 3 小結(jié) 13 參考文獻(xiàn) 14 成果聲明 15 致 謝 16 淺談行列式的相關(guān)性質(zhì)

2、及計(jì)算方法張祝波摘要：本文在歸納行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過案例分析總結(jié)了計(jì)算行列式的幾種常用方法. 這些方法包括三角形法、代數(shù)余子式法、加邊法、降階法、數(shù)學(xué)歸納法和分拆法等. 在介紹各種計(jì)算方法的同時(shí)，也給出了如何根據(jù)行列式特征，恰當(dāng)選擇相應(yīng)計(jì)算方法的技巧.關(guān)鍵詞: 行列式性質(zhì) 行列式計(jì)算 案例分析on the determinant of the nature and common solutionzhang zhuboabstract: this paper summarized the determinant in the nature of the foundation, through

3、 the case analysis summarizes several common methods of calculating the determinant. these include triangle method、more than algebra son type method、add edge method、depression of order、mathematical induction and split method. introduced the various calculation methods at the same time, also given ho

4、w according to the determinant features, the calculation method of appropriate choice corresponding skills.keywords: determinant properties determinant calculation case analysis1引 言在中學(xué)數(shù)學(xué)和解析幾何里，我們學(xué)習(xí)過兩個(gè)未知量和三個(gè)未知量的線性方程組及其解法. 在數(shù)學(xué)研究和實(shí)際問題的解決過程中，經(jīng)常會(huì)遇到含多個(gè)未知量的線性方程組. 為了解決這些具體的問題，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過長期的探索，萊布尼茨和關(guān)孝于十七世紀(jì)晚期對行列式概

5、念有了最初的認(rèn)識，它最早出現(xiàn)在解線性方程組中. 十八世紀(jì)開始，行列式開始作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被研究. 十九世紀(jì)以后，行列式理論得到進(jìn)一步發(fā)展和完善. 在引入矩陣概念后，更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，其應(yīng)用領(lǐng)域變得更廣. 目前，人們在線性自同態(tài)和矢量組中也引入了行列式的定義1-3. 1 行列式的定義和性質(zhì)1.1 行列式的定義1.1.1 排列在一個(gè)排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么他們的排列就稱為一個(gè)逆序. 一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù). 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.例如排列2541，含有逆序21、54、41和51，逆

6、序數(shù)為4，故排列2541為偶排列.1.1.2 行列式的定義定義 階行列式 (1)等于所有取自不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和.這一定義也可以寫成： (2)1.2 行列式的相關(guān)性質(zhì)4,5性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)2 交換行列式的兩行（列），行列式改變符號.推 論 若一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式為零.性質(zhì)3 把一個(gè)行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一個(gè)數(shù),等于數(shù)乘這個(gè)行列式.性質(zhì)4 一個(gè)行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號的外邊.性質(zhì)5 如果一個(gè)行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么這個(gè)行列式等于0.性質(zhì)6 行列式中若有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，

7、那么這個(gè)行列式為零.性質(zhì)7 若行列式的第行元素都可以表示成，則.性質(zhì)8 行列式的某一行(列)的元素乘以同一個(gè)數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上，行列式不變.2 行列式的計(jì)算方法為了系統(tǒng)把握行列式的計(jì)算方法，下面我們通過案例對行列式的一些計(jì)算方法進(jìn)行歸納和總結(jié).2.1 行列式計(jì)算的基本方法行列式基本的解法包括：三角形法、代數(shù)余子式法、加邊法、降階法、范德蒙行列式法等6-8.2.1.1利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式例1 一個(gè)階行列式的元素滿足，則稱為反對稱行列式，證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零.證明：由知，因此, 可表示為. 由行列式的性質(zhì)知,.由于為奇數(shù)，所以，即.2.1.2 三角形法三角形法是將原行列

8、式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺竭M(jìn)行計(jì)算的一種方法，它是計(jì)算行列式的常用方法之一.例2 計(jì)算如下行列式的值.分析 若直接按定義計(jì)算該行列式，計(jì)算十分繁瑣，利用行列式的性質(zhì)將其化為三角形行列式進(jìn)行計(jì)算，要方便得多.解：2.1.3代數(shù)余子式法在一個(gè)階行列式中，把所在的行與列劃去后，剩下的個(gè)元素按照原來的次序組成的一個(gè)階行列式，稱為元的余子式，帶上符號稱為的代數(shù)余子式，記作.定理 .例3 計(jì)算四階行列式.證明：按第一行展開，有對等式右端的兩個(gè)3階行列式都按第3行展開可得, .2.1.4 加邊法有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法稱為加邊法或升階法.

9、這種方法要求加邊后必須是保值的，而且要使所得的高階行列式較易計(jì)算. 加邊法的一般做法是：.注：特殊情況取或.利用加邊法求行列式，關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子.例4 計(jì)算階行列式.分析 若行列式中主對角線的元素都減去1，則第行含有相同因子.從而就可考慮用加邊法.解：結(jié)論 若行列式某行或某列元素有相同的因子，就可以考慮使用加邊法.例5 計(jì)算4階行列式：.解： 若，則或，故.下設(shè)，加邊后得 故無論為何值，均有.2.1.5 降階法設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有或 其中為中的元素的代數(shù)余子式.按行（列）展開法可以將一個(gè)階行列式化為個(gè)階行列式計(jì)算.若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將

10、階行列式降階直至化為許多個(gè)2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法.在應(yīng)用按行（列）展開法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開.例6 計(jì)算20階行列式 .分析這個(gè)行列式中沒有一個(gè)零元素，則利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果.注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算：解：2.1.6 分塊法 、.其中是級方陣，是級方陣.例7 計(jì)算級行列式.解：自下而上，每一行減去相鄰的上一行，然后加邊得 2.2 行列式計(jì)算的特殊方法 對一些復(fù)雜的行列式，我們需根據(jù)行列式的特點(diǎn)，選擇一些特殊方法進(jìn)行求解. 下面介紹一些計(jì)算

11、行列式的特殊方法9-11.2.2.1遞推公式法 遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點(diǎn)，建立起與的遞推關(guān)系式，逐步推下去，從而求出的值，有時(shí)也可以找到與和的遞推關(guān)系，最后利用得到的值.用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)，如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法.例8 用遞推關(guān)系求行列式：.解：將行列式按照2.1.5降階展開即而，所以，帶入上述遞推公式，可得.2.2.2數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是證明（計(jì)算）行列式的常用方法. 首先建立遞推關(guān)系，當(dāng)遞推關(guān)系僅涉及相鄰兩階行列式時(shí)，采用歸納法. 但是數(shù)學(xué)歸納法一般是事先知道結(jié)論，然后歸納證明. 例9 證明：.證明：用數(shù)學(xué)歸納法： 當(dāng)=2

12、時(shí)，命題成立.假設(shè)對于階行列式命題成立，即.將第1列展開所以對于階行列式命題成立.2.2.3 分拆法由行列式拆項(xiàng)性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個(gè)行列式之和，計(jì)算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法.例10 要求下列行列式的值，設(shè)階行列式：.且滿足對任意數(shù)，求階行列式的值.分析 該行列式的每個(gè)元素都是由兩個(gè)數(shù)的和組成，且其中有一個(gè)數(shù)是，故可用拆行（列）法計(jì)算. 解：由，且，易知.因此，.3 小結(jié)我們介紹了計(jì)算行列式的幾種方法，計(jì)算行列式的方法很多，也較靈活，還有一些方法和技巧由于篇幅所限不再列舉.行列式的計(jì)算是一個(gè)很重要的問題，也是一個(gè)復(fù)雜的問題，本文僅針對實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)域討論行列式的計(jì)算方法和計(jì)

13、算技巧，當(dāng)涉及復(fù)數(shù)域時(shí)，還可利用laplace變換和歐拉公式等工具簡化行列式的計(jì)算。計(jì)算一個(gè)行列式常常有多種方法，有時(shí)計(jì)算一個(gè)行列式需要幾種方法配合使用.我們應(yīng)根據(jù)行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法.參考文獻(xiàn):1張賢科，許甫華.高等代數(shù)m.清華大學(xué)出版社，19982張禾瑞.高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社，1989.73 王品超.高等代數(shù)新方法m.山東教育出版社，19894盧剛，馮翠蓮.線性代數(shù)m.北京大學(xué)出版社，2006.65蘇醒僑，盧陳輝.線性代數(shù)m.冶金工業(yè)出版社，2004.96萬勇，李兵.線性代數(shù)m.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006.87林華鐵.線性代數(shù).天津大學(xué)出版社m.1994.88樊惲，鄭

14、延履，劉合國.線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)m.北京:科學(xué)出版社，2003.29毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納m.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2000.310宴林，范德蒙.行列式的應(yīng)用j.文山師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2001.1311david c.lay，劉深泉等譯線性代數(shù)及其應(yīng)用m.機(jī)械工業(yè)出版社，2005.0814成果聲明 本人聲明所提交的學(xué)位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行研究工作所取得的研究成果。盡我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容和致謝的地方外，本論文不包含其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含本人或他人已申請學(xué)位或其它用途使用過的成果。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。本學(xué)位論文若有不實(shí)或者侵犯他人權(quán)利的，本人愿意承擔(dān)一切相關(guān)法律責(zé)任。作者簽名： 日期： 年 月 日17致 謝本文是在儲昌木老師的指導(dǎo)下完成的，他治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)識淵博，視野廣闊，為我營造了一種良好的學(xué)術(shù)氛圍. 在第一次交初稿后，他為我仔細(xì)的查閱，不耐其煩的給我講解其中的錯(cuò)誤，指導(dǎo)我在論文的深度和廣度反面不斷加強(qiáng)，糾正了論文的不規(guī)范格式.置身其間，耳濡目染，潛移默化，使我不僅接受了全新的思想觀念，樹立了