第1課時(shí) 排列的概念及簡(jiǎn)單排列問題

1、1.2 1.2 排列與組合排列與組合 1.2.1 1.2.1 排列排列 第第1 1課時(shí)課時(shí) 排列的概念及簡(jiǎn)單排列問題排列的概念及簡(jiǎn)單排列問題 五只小羊排成一行五只小羊排成一行 有多少種排法？有多少種排法？ 分類加法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理( (加法原理加法原理) 完成一件事有兩類不同方案，在第完成一件事有兩類不同方案，在第1 1類方案中有類方案中有m m種種 不同的方法，在第不同的方法，在第2 2類方案中有類方案中有n n種不同的方法，那么種不同的方法，那么 完成這件事共有：完成這件事共有： 種不同的方法種不同的方法N=m+n 分步乘法計(jì)數(shù)原理（乘法原理）分步乘法計(jì)數(shù)原理（乘法原理） 完成一件

2、事需要分成兩個(gè)步驟，做第完成一件事需要分成兩個(gè)步驟，做第1 1步有步有m m種不同種不同 的方法，做第的方法，做第2 2步有步有n n種不同的方法，那么完成這件種不同的方法，那么完成這件 事共有：事共有： 種不同的方法種不同的方法N=mn 分類加法計(jì)數(shù)原理與分類加法計(jì)數(shù)原理與“分類分類”有關(guān)，各種有關(guān)，各種 方法方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完 成這件事；成這件事； 分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理與“分步分步”有關(guān)，各個(gè)有關(guān)，各個(gè) 步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件 事才算完成事才算完成 1.1.了解

3、排列、排列數(shù)的定義了解排列、排列數(shù)的定義. .（重點(diǎn)）重點(diǎn)） 2.2.能用能用“樹形圖樹形圖”寫出一個(gè)排列問題的所有寫出一個(gè)排列問題的所有 的排列的排列. .（難點(diǎn)）（難點(diǎn)） 3.3.通過實(shí)例分析過程體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和通過實(shí)例分析過程體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和 發(fā)展，總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣發(fā)展，總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣. . 問題問題1 1：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2 2名參加一項(xiàng)活名參加一項(xiàng)活 動(dòng)，其中動(dòng)，其中1 1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1 1名同學(xué)參加名同學(xué)參加 下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 分析

4、：分析：把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選名同學(xué)中選2 2名，名， 按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午的活動(dòng)在后的按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午的活動(dòng)在后的 順序排列，求一共有多少種不同的排法？順序排列，求一共有多少種不同的排法？ 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 排列排列 上午上午下午下午 相應(yīng)的排法相應(yīng)的排法 甲甲 乙乙 丙丙 乙乙 甲甲 丙丙 丙丙 甲甲 乙乙 甲丙甲丙 甲乙甲乙 乙甲乙甲 乙丙乙丙 丙甲丙甲 丙乙丙乙 第一步：確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)即從第一步：確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)即從3 3名中任名中任 選選1 1名，有名，有3 3種選法種選法. . 第二步：確定參加下

5、午活動(dòng)的同學(xué)，有第二步：確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，有2 2種方法種方法 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6種方法種方法. . 把上面問題中被取的對(duì)象叫做把上面問題中被取的對(duì)象叫做元素元素, ,于是問于是問 題就可以敘述為：題就可以敘述為： 從從3 3個(gè)不同的元素個(gè)不同的元素a,b,ca,b,c中任取中任取2 2個(gè)，然后按照一個(gè)，然后按照一 定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ 所有不同的排列是所有不同的排列是 abab, ac, , ac, baba, , bcbc, ca, , ca, cbcb 共有

6、共有3 32=62=6種種. . 1.1.排列：排列： 一般地，從一般地，從n n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m (m m (m n)n)個(gè)元素，個(gè)元素， 按照按照一定的順序一定的順序排成一列，叫做從排成一列，叫做從n n個(gè)不同元素中個(gè)不同元素中 取出取出m m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)排列排列. . 說明：說明： 1.1.元素不能重復(fù)元素不能重復(fù).n.n個(gè)元素不能重復(fù)，個(gè)元素不能重復(fù)，m m個(gè)元素也不個(gè)元素也不 能重復(fù)能重復(fù). . 2.“2.“按一定順序按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一就是與位置有關(guān)，這是判斷一 個(gè)問題是否是排列問題的關(guān)鍵個(gè)問題是否是排列問題的關(guān)鍵. . 3.3.兩個(gè)

7、排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完 全相同，而且元素的排列順序也完全相同全相同，而且元素的排列順序也完全相同. . 4.m4.mn n時(shí)的排列叫選排列，時(shí)的排列叫選排列，m mn n時(shí)的排列叫全排列時(shí)的排列叫全排列. . 5.5.為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏， 最好采用最好采用“樹形圖樹形圖”. . 問題問題2 2從從1,2,3,41,2,3,4這這 4 4 個(gè)數(shù)字中，每次取出個(gè)數(shù)字中，每次取出3 3個(gè)個(gè) 排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？

8、分析：分析：解決這個(gè)問題分三個(gè)步驟：第一步先確定解決這個(gè)問題分三個(gè)步驟：第一步先確定 左邊的數(shù)，在左邊的數(shù)，在4 4個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字中任取1 1個(gè)，有個(gè)，有4 4種方法；第種方法；第 二步確定中間的數(shù)，從余下的二步確定中間的數(shù)，從余下的3 3個(gè)數(shù)中取，有個(gè)數(shù)中取，有3 3種種 方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的2 2個(gè)數(shù)中取，個(gè)數(shù)中取， 有有2 2種方法種方法 由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有：由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有：4 43 32=242=24種不種不 同的方法，用樹形圖排出，并寫出所有的排列，同的方法，用樹形圖排出，并寫出所有的排列， 由此可寫出所有的排法由此可寫

9、出所有的排法. . 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 排列數(shù)排列數(shù) 顯然，從顯然，從 4 4 個(gè)數(shù)字中，每次取出個(gè)數(shù)字中，每次取出 3 3 個(gè)，按個(gè)，按“百百” “十十”“”“個(gè)個(gè)”位的順序排成一列，就得到一個(gè)三位位的順序排成一列，就得到一個(gè)三位 數(shù)因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同數(shù)因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同 的三位數(shù)可以分三個(gè)步驟來解決這個(gè)問題：的三位數(shù)可以分三個(gè)步驟來解決這個(gè)問題： 第第 1 1 步，確定百位上的數(shù)字，在步，確定百位上的數(shù)字，在 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 這這 4 4 個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字中任取 1 1 個(gè)，有個(gè)，有 4 4 種方法；種方

10、法； 第第 2 2 步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定 后，十位上的數(shù)字只能從余下的后，十位上的數(shù)字只能從余下的 3 3 個(gè)數(shù)字中個(gè)數(shù)字中 去取，有去取，有 3 3 種方法；種方法； 第第 3 3 步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù) 字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的 2 2 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 字中去取，有字中去取，有 2 2 種方法種方法 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 這這 4 4 個(gè)不同的數(shù)字中，每次取

11、出個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出 3 3 個(gè)數(shù)字，按個(gè)數(shù)字，按 “百百”“”“十十”“”“個(gè)個(gè)”位的順序排成一列，共有位的順序排成一列，共有 4 43 32=242=24種不同的排法，種不同的排法， 因而共可得到因而共可得到2424個(gè)不個(gè)不 同的三位數(shù)，如圖同的三位數(shù)，如圖1.22 1.22 所示所示 1 234 443322 4 44 3 3 3 1 11 2 4 4 4 3 1 11 2 22 4 3 33 1 11 2 22 圖圖1.221.22 有此可寫出所有的三位數(shù)：有此可寫出所有的三位數(shù)： 123123，124124，132132，134134，142142，143143， 213 21

12、3，214214，231231，234234，241241，243243， 312312，314314，321321，324324，341341，342342， 412412，413413，421421，423423，431431，432.432. 問題問題2 2可歸結(jié)為可歸結(jié)為 從從4 4個(gè)不同的元素個(gè)不同的元素a,b,c,da,b,c,d 中任取中任取3 3個(gè)，然后個(gè)，然后 按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排 列方法？列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adcabc,abd,acb,acd,adb,adc， bac,bad,b

13、ca,bcd,bda,bdcbac,bad,bca,bcd,bda,bdc， cab,cad,cba,cbd,cda,cdbcab,cad,cba,cbd,cda,cdb， dab,dac,dba,dbc,dca,dcbdab,dac,dba,dbc,dca,dcb. . 共有共有4 43 32=242=24種種. . 2.2.排列數(shù)：排列數(shù)： 從從n n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出m(mnm(mn) )個(gè)元素的個(gè)元素的所有所有 不同排列的個(gè)數(shù)不同排列的個(gè)數(shù)叫做從叫做從n n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出m m個(gè)元個(gè)元 素的素的排列數(shù)排列數(shù). .用符號(hào)用符號(hào) 表示表示. . m

14、n A “排列排列”和和“排列數(shù)排列數(shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？有什么區(qū)別和聯(lián)系？ “一個(gè)排列一個(gè)排列”是指：從是指：從n n個(gè)不同元素中，任取個(gè)不同元素中，任取m m個(gè)元個(gè)元 素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)； “排列數(shù)排列數(shù)”是指從是指從n n個(gè)不同元素中，任取個(gè)不同元素中，任取m m個(gè)元素個(gè)元素 的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)；所以符號(hào)的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)；所以符號(hào) 只表只表 示排列數(shù)，而不表示具體的排列示排列數(shù)，而不表示具體的排列. . m n A 例題例題 下列問題是排列問題嗎？請(qǐng)說明理由下列問題是排列問題嗎？請(qǐng)說明理由 (1)(1)從從1,2,3,41

15、,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做減法，其結(jié)果四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做減法，其結(jié)果 有多少種不同的可能？有多少種不同的可能？ (2)(2)從從1,2,3,41,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做乘法，其結(jié)果四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做乘法，其結(jié)果 有多少種不同的可能？有多少種不同的可能？ (3)(3)有有1212個(gè)車站，共需準(zhǔn)備多少種車票？個(gè)車站，共需準(zhǔn)備多少種車票？ (4)(4)從學(xué)號(hào)從學(xué)號(hào)1 1到到1010的十名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開的十名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開 座談會(huì)，有多少種選法？座談會(huì)，有多少種選法？ (5)(5)平面上有平面上有5 5個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，這個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共

16、線，這5 5點(diǎn)最多點(diǎn)最多 可確定多少條直線？可確定多少條直線？ 問題問題各問題研析各問題研析結(jié)果結(jié)果 (1)(1) 由減法定義知，結(jié)果都與兩數(shù)相減由減法定義知，結(jié)果都與兩數(shù)相減 的順序有關(guān)，故的順序有關(guān)，故(1)(1)是排列是排列 (1)(1) (3)(3) (2)(2) 由乘法定義知，結(jié)果都與兩數(shù)相乘由乘法定義知，結(jié)果都與兩數(shù)相乘 的順序無關(guān)，故的順序無關(guān)，故(2)(2)不是排列不是排列 (3)(3) 車票與始點(diǎn)站和終點(diǎn)站有關(guān)，由排車票與始點(diǎn)站和終點(diǎn)站有關(guān)，由排 列定義知列定義知(3)(3)是排列是排列 (4)(4) 所選取兩名同學(xué)參加座談會(huì)，無順?biāo)x取兩名同學(xué)參加座談會(huì)，無順 序之分，故序

17、之分，故(4)(4)不是排列不是排列 (5)(5) 兩點(diǎn)確定一條直線，與兩點(diǎn)順序無兩點(diǎn)確定一條直線，與兩點(diǎn)順序無 關(guān)，故關(guān)，故(5)(5)不是排列不是排列 解解: : 判斷一個(gè)問題是否為排列問題的依據(jù)是判斷一個(gè)問題是否為排列問題的依據(jù)是 是否有順序，有順序且是從是否有順序，有順序且是從n n個(gè)不同的元素個(gè)不同的元素 中任取中任取m m( (m mn n) )個(gè)不同的元素的問題就是排個(gè)不同的元素的問題就是排 列，否則就不是排列，而檢驗(yàn)它是否有順序列，否則就不是排列，而檢驗(yàn)它是否有順序 的依據(jù)就是變換元素的位置，看其結(jié)果是否的依據(jù)就是變換元素的位置，看其結(jié)果是否 有變化，有變化就是有順序，無變化就

18、是無有變化，有變化就是有順序，無變化就是無 順序順序 【總結(jié)提升總結(jié)提升】 判斷下列問題是否是排列問題：判斷下列問題是否是排列問題： (1)(1)某班共有某班共有5050名同學(xué)，現(xiàn)要投票選舉正、副班長(zhǎng)名同學(xué)，現(xiàn)要投票選舉正、副班長(zhǎng) 各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？ (2)(2)從從2,3,5,7,92,3,5,7,9中任取兩數(shù)分別作對(duì)數(shù)的底數(shù)和中任取兩數(shù)分別作對(duì)數(shù)的底數(shù)和 真數(shù)，有多少不同對(duì)數(shù)值？真數(shù)，有多少不同對(duì)數(shù)值？ (3)(3)從從1 1到到1010十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)組成點(diǎn)的坐十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)組成點(diǎn)的坐 標(biāo)，可得多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？標(biāo)，可得

19、多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？ 【變式練習(xí)變式練習(xí)】 (4)(4)從集合從集合M M1,21,2，99中，任取相異的兩個(gè)中，任取相異的兩個(gè) 元素作為元素作為a a，b b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢軸上的橢 圓方程圓方程 ? ? 22 22 1 xy ab 解：解： (1)(1)是排列問題選出的是排列問題選出的2 2人，擔(dān)任正、副班長(zhǎng)人，擔(dān)任正、副班長(zhǎng) 任意，與順序有關(guān)，所以該問題是排列問題任意，與順序有關(guān)，所以該問題是排列問題 (2)(2)是排列問題顯然對(duì)數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值的是排列問題顯然對(duì)數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值的 不同有關(guān)系，與順序有關(guān)不同有關(guān)系，與順序有關(guān) (3)(

20、3)是排列問題任取兩個(gè)數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)，橫、縱是排列問題任取兩個(gè)數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)，橫、縱 坐標(biāo)的順序不同，即為不同的坐標(biāo)，與順序有關(guān)坐標(biāo)的順序不同，即為不同的坐標(biāo)，與順序有關(guān) (4)(4)不是排列問題焦點(diǎn)在不是排列問題焦點(diǎn)在x x軸上的橢圓，方程中的軸上的橢圓，方程中的a a、 b b必有必有a ab b，a a、b b的大小一定的大小一定 1 1下列問題中：下列問題中： (1)10(1)10本不同的書分給本不同的書分給1010名同學(xué)，每人一本；名同學(xué)，每人一本； (2)10(2)10位同學(xué)互通一次電話；位同學(xué)互通一次電話； (3)10(3)10位同學(xué)互通一封信；位同學(xué)互通一封信； (4)10(4

21、)10個(gè)沒有任何三點(diǎn)共線的點(diǎn)構(gòu)成的線段個(gè)沒有任何三點(diǎn)共線的點(diǎn)構(gòu)成的線段 屬于排列的有屬于排列的有( () ) A A1 1個(gè)個(gè)B B2 2個(gè)個(gè) C C3 3個(gè)個(gè) D D4 4個(gè)個(gè) 解：解：(1)(3)(1)(3)是排列問題，是排列問題，(2)(4)(2)(4)不是排列問題不是排列問題 B B 2 2A A、B B、C C三名同學(xué)照相留念，成三名同學(xué)照相留念，成“一一”字形排字形排 隊(duì)，所有排列的方法種數(shù)為隊(duì)，所有排列的方法種數(shù)為( () ) A A3 B3 B4 C4 C6 D6 D1212 解：解：A AB BC C，A AC CB B，B BA AC C，B BC CA A， C CA A

22、B B，C CB BA.A.所以排列方法有所以排列方法有6 6種種. . C C 3 3上海世博會(huì)期間，某調(diào)研機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備從上海世博會(huì)期間，某調(diào)研機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備從5 5人中選人中選3 3 人去調(diào)查中國(guó)館、日本館、美國(guó)館的參觀人數(shù)，有人去調(diào)查中國(guó)館、日本館、美國(guó)館的參觀人數(shù)，有 _種安排方法種安排方法 解：解：由題意可知，問題為從由題意可知，問題為從5 5個(gè)元素中選個(gè)元素中選3 3個(gè)元素個(gè)元素 的排列問題，所以安排方法有的排列問題，所以安排方法有5 54 43 36060種種 答案：答案：6060 6060 4 4用用1,2,3,41,2,3,4四個(gè)數(shù)字排成三位數(shù)，并把這些三位數(shù)四個(gè)數(shù)字排成三位數(shù)，并把這些三位數(shù) 從小到大排成一個(gè)數(shù)列從小到大排成一個(gè)數(shù)列aan n (1)(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前寫出這個(gè)數(shù)列的前1111項(xiàng)項(xiàng). . (2)(2)這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)這個(gè)數(shù)列共