小學(xué)奧數(shù)5-5-5同余問題.教師版

1、5-5-3.同余問題5-5-3.同余問題.題庫教師版page 7 of 6且M恒教學(xué)目標(biāo)1 .學(xué)習(xí)同余的性質(zhì)2 .利用整除性質(zhì)判別余數(shù)加尼 知識點(diǎn)撥同余定理1、定義：若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：a三b (mod m ),左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b ,模m。2、重要性質(zhì)及推論：(1)若兩個數(shù)a, b除以同一個數(shù) m得到的余數(shù)相同，則 a, b的差一定能被 m整除 例如：17與11除以3的余數(shù)都是2,所以(17-11)能被3整除.(2)用式子表示為：如果有 a三b ( mod m ),那么一定有 ab = mk,k是整數(shù)，即

2、m|( ab)3、余數(shù)判別法當(dāng)一個數(shù)不能被另一個數(shù)整除時，雖然可以用長除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時，計(jì)算是很麻煩的.建立余數(shù)判別法的基本思想是： 為了求出“ N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個較簡單的數(shù) R,使得： N與R對于除數(shù)m同余.由于 R是一個較簡單的數(shù)，所以可以通過計(jì)算 R被m除的余數(shù)來求得 N被m除 的余數(shù). 整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于 N的個位數(shù)被2或5除的余數(shù)； 整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于 N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)；整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于 N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)；(4)整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)； 整數(shù)N被11除的余

3、數(shù)等于 N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；(不夠減的話先適當(dāng)加11的倍數(shù)再減)；(6)整數(shù)N被7, 11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù) N從個位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與 偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被 7, 11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被 7, 11或13除的余數(shù).且Me 例題精講模塊一、兩個數(shù)的同余問題例1 有一個整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3,求這個數(shù).【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【難度】1星【題型】解答【解析】(法 1) 393=36, 51-3=48 , 1473=144, (36,144)=12, 12 的約數(shù)是 1,2,3,4,6,12 ,因?yàn)橛鄶?shù)為3要小于

4、除數(shù)，這個數(shù)是 4,6,12 ;(法2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).5139=12, 147-39=108, (12,108) =12 ,所以這個數(shù)是 4,6,12 .【答案】4,6,12【例2】 某個兩位數(shù)加上3后被3除余1 ,加上4后被4除余1 ,加上5后被5除余1 ,這個兩位數(shù)是 【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】人大附中，分班考試【解析】“加上3后被3除余1”其實(shí)原數(shù)還是余 1 ,同理這個兩位數(shù)除以4、5都余1 ,這樣，這個數(shù)就是3、4、5+1=60+1=61 ?！敬鸢浮?1例3 有一個自然數(shù)

5、，除 345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33 .求這個數(shù)是多少？【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答【解析】由于這個數(shù)除345和543的余數(shù)相同，那么它可能整除543-345 ,并且得到的商為 33.所以所求的數(shù)為(543 345)33 =6 .【答案】6【例4】 一個大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個自然數(shù)是多少？【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答【解析】 這個自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除90+164 = 254后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個自然數(shù)后所得的余數(shù)

6、相同，因此這個自然數(shù)是254-220 = 34的約數(shù)，又大于10,這個自然數(shù)只能是 17或者是34.如果這個數(shù)是34 ,那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是 22、28、16,不符合題目條件； 如果這個數(shù)是17,那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是 5、11、16,符合題目條件，所 以這個自然數(shù)是17.【答案】17【例5 兩位自然數(shù)ab與ba除以7都余1 ,并且a b ,求ab父ba .【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答【解析】ab-ba能被7整除，即(10a+b) - (10b+a) =9 (a-b)能被7整除.所以只能有a-b = 7,那么ab可 能為

7、92和81,驗(yàn)算可得當(dāng) 品=92時，ba =29滿足題目要求， 加父 =92父29 =2668【答案】2668【例6】 現(xiàn)有糖果254粒，餅干210塊和桔子186個.某幼兒園大班人數(shù)超過 40.每人分得一樣多的糖果，一樣 多的餅干，也分得一樣多的桔子。 余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量的比是：1:3:2,這個大班有 名小朋友，每人分得糖果 粒，餅干 塊，桔子 個?！究键c(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】南京市，興趣杯【解析】設(shè)大班共有a名小朋友。由于余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量之比是1:3:2 ,所以余下的糖果、桔子數(shù)目的和正好等于余下的餅干數(shù)，從而 254+186-210 一定

8、是a 的倍數(shù)，即 254+186- 210=230=1X 230=10 X 23=2 X 5 X 2猾 a 的 倍 數(shù)。 同 樣，2X 254-186=322=23 X 14=23 X 14=23 X 池亍定是 a的倍數(shù)。所以， a只能是23 X2的因數(shù)。 但 a 40,所以 a =46。此時 254=46 X 5+24 , 210=46 X 3+72 , 186=46 X 3+48 。故大班有力硼友 名，每人分得糖果 5粒，餅干3塊，桔子3個?！敬鸢浮啃∨笥?6名，每人分得糖果 5粒，餅干3塊，桔子3個模塊二、三個數(shù)的同余問題【例7】 有一個大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，

9、求這個數(shù) .【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答【解析】這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同 余定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).10145=56, 5945=14, (56,14)=14, 14的約數(shù)有 1,2,7,14，所以這個數(shù)可能為 2,7,14?！敬鸢浮?,7,14【鞏固】有一個整數(shù)，除300、262、205得到相同的余數(shù)。問這個整數(shù)是幾？【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 9題【解析】 這個數(shù)除300、262,得到相同的余

10、數(shù)，所以這個數(shù)整除300 262 =38,同理，這個數(shù)整除 262 205 = 57,因此，它是 38、57的公約數(shù)19?！敬鸢浮?9【鞏固】在除13511 , 13903及14589時能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是 .【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】 因?yàn)?1390313511=392, 1458913903=686,由于 13511 , 13903 , 14589 要被同一個數(shù)除時， 余 數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個數(shù)整除.(392,686) =98,所以所求的最大整數(shù)是 98.【答案】98【鞏固】140, 225, 293被某大于1

11、的自然數(shù)除，所得余數(shù)都相同。2002除以這個自然數(shù)的余數(shù)是 .【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】三帆中學(xué)，入學(xué)測試【解析】 這樣我們用總結(jié)的知識點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定余0。那么這個自然數(shù)是 293-225=68的約數(shù)，又是225-140=85的約數(shù)，因此就是 68、85的公約數(shù)，所以這個自然數(shù)是 17。所以2002除以17余 13?！敬鸢浮?3【鞏固】三個數(shù)：23, 51 , 72,各除以大于1的同一個自然數(shù)，得到同一個余數(shù)，則這個除數(shù)是 ?！究键c(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第 4題，6分【解析】51 23=28, 725

12、1 =21, (28, 21 ) =7,所以這個除數(shù)是 7。【答案】7【例8】 學(xué)校新買來118個乒乓球，67個乒乓球拍和33個乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個班級， 那么這三種物品剩下的數(shù)量相同.請問學(xué)校共有多少個班？【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答【解析】 所求班級數(shù)是除以118,67,33余數(shù)相同的數(shù).那么可知該數(shù)應(yīng)該為118 67 = 51和67 33=34的公約數(shù)，所求答案為 17.【答案】17【例9】 若2836, 4582, 5164, 6522四個自然數(shù)都被同一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除 數(shù)和余數(shù)的和為.【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】3星【題

13、型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】設(shè)除數(shù)為A.因?yàn)?836, 4582, 5164, 6522除以A的余數(shù)相同，所以他們兩兩之差必能被A整除.又因?yàn)橛鄶?shù)是 兩位數(shù)，所以 A 至少是兩位數(shù).4582-2836=1746 , 51644582 = 582,65225164=1358,因?yàn)椋?82,1358） =194,所以A是194的大于10的約數(shù).194的大于10的約數(shù)只有97和194 .如果A=194, 2386+194 =14對120 ,余數(shù)不是兩位數(shù)，與題意不符.如果A = 97, 經(jīng)檢驗(yàn)，余數(shù)都是 23 ,除數(shù)十余數(shù)=97 +23 =120 .【答案】120【例10】一個大于1的

14、數(shù)去除290, 235, 200時，得余數(shù)分別為a, a+2, a+5,則這個自然數(shù)是多少？【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】4星【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，這個自然數(shù)去除290, 233, 195時，得到相同的余數(shù)（都為 a）.既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個數(shù)肯定余0.那么這個自然數(shù)是290233=57的約數(shù)，又是233195 =38的約數(shù)，因此就是 57和38的公約數(shù)，因?yàn)?7和 38的公約數(shù)只有19和1 ,而這個數(shù)大于1 ,所以這個自然數(shù)是 19.【答案】19【鞏固】有3個吉利數(shù)888, 518, 666,用它們分別除以同一個自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為

15、a,a+7, a+10,則這個自然數(shù)是.【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測試【解析】 處理成余數(shù)相同的，則 888、518-7、666-10的余數(shù)相同，這樣我們可以轉(zhuǎn)化成同余問題。這樣我們用總結(jié)的知識點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定余0。那么這個自然數(shù)是 888-656=232 的約數(shù)，也是656-511=145的約數(shù)，因此就是 232、145的公約數(shù)，所以這個自然數(shù)是 29?！敬鸢浮?9【例11一個自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是 a+5、2a、a,求這個自然數(shù)和 a的值.【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】4星【題型】解答【解析】 將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被

16、該自然數(shù)除后余數(shù)為2a的數(shù)：（429 -5）2 =848, 791、500M2 =1000,這樣這些數(shù)被這個自然數(shù)除所得的余數(shù)都是2a,故同余.將這三個數(shù)相減，得至IJ 848791=57、1000-848=152,所求的自然數(shù)一定是 57和152的公約數(shù)， 而（57,152 ）=19,所以這個自然數(shù)是19的約數(shù)，顯然1是不符合條件的，那么只能是 19.經(jīng)過驗(yàn)證， 當(dāng)這個自然數(shù)是19時，除429、791、500所得的余數(shù)分別為11、12、6, a=6時成立，所以這個自 然數(shù)是19, a =6.【答案】6【例12】甲、乙、丙三數(shù)分別為603, 939, 393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是 A除乙數(shù)所

17、得余數(shù)的2倍，A除 乙數(shù)所得余數(shù)是 A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍.求A等于多少？【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】4星【題型】解答【解析】根據(jù)題意，這三個數(shù)除以A都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來： 603gA=K1ll|lk , 939A=K2|l|r2 , 393e A = K3111111r3 由于 r1 =2，2=2.,要消去余數(shù). 2, r3,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減.這樣我們先把第二個式子乘以2,使得被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大 2倍，同理，第三個式子乘以4 .于是我們可以得到下面的式子：603-A=KjlNlk1（939X2-A=2K21111112r2 （393X4廣

18、A =2K31111114r3這樣余數(shù)就處理成相同的.最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被A整除.939M 2 603= 1275, 3934603=969, (1275,969 )=51 =3x17. 51的約數(shù)有1、3、17、51,其中1、3顯然不滿足，檢驗(yàn) 17和51可知17滿足，所以A等于17.【答案】17【例13】已知60, 154, 200被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是a_1, a2, a3 -1 ,求該自然數(shù)的值.【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】5星【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，自然數(shù) 61, 154, 201被該數(shù)除所得余數(shù)分別是a, a2, a3.由于a2 =a xa,所以自然

19、數(shù) 612 =3721與154同余；由于a3 =axa2 ,所以61x154 = 9394與201同 余，所以除數(shù)是3721-154=3567和9394-201=9193的公約數(shù)，運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法可得到 (3567,9193) =29 ,該除數(shù)為29.經(jīng)檢驗(yàn)成立.【答案】29【例14】有一個自然數(shù)，它除以15、17、19所得到的商(1)與余數(shù)( 0)之和都相等，這樣的數(shù)最小可能 是多少.【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【難度】5星【題型】解答【解析】A=15=aXa(=X a)= A=15a +(X a) =14a+X4A=17=bX b( =X b)= A=17b +(X b) =16b+XA-19=

20、c.Xc( =X c)= A=19c +(X c) =18c + X14a =16b=18cn 72|a= a 至少為 72, A =15a+Xa =15 父72 十 Xa =1080 + Xa14a =16b =18c= 63| b= b 至少為 63, A=17b +Xb =17X63+Xb =1071 +Xb14a =16b =18c= 56|cn c至少為 56, A=19c+X。=19父56 十Xc =1064+X。最小為1081 .【答案】1081【例15】三個不同的自然數(shù)的和為 2001 ,它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三 個數(shù)是, , ?！究键c(diǎn)】

21、三個數(shù)的同余問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【解析】設(shè)所得的商為 a,除數(shù)為 b . (19a+b)+(23a+b)+(31a+b) =2001, 73a+3b = 2001,由 b19,可求得 a=27, b =10.所以，這三個數(shù)分別是 19a+b=523, 23a+b=631, 31a + b = 847?！敬鸢浮?23 , 631 , 847模塊三、運(yùn)用同余進(jìn)行論證【例16】在3X3的方格表中已如右圖填入了 9個質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的3個數(shù)加上相同的自然數(shù)稱為一次操作。問：你能通過若干次操作使得表中9個數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證【難度】3星

22、【題型】解答【解析】略【答案】因?yàn)楸碇?9個質(zhì)數(shù)之和恰為100 ,被3除余1,經(jīng)過每一次操作，總和增加3的倍數(shù)，所以表中 9個數(shù)之和除以3總是余1。如果表中9個數(shù)變?yōu)橄嗟?，那?9個數(shù)的總和應(yīng)能被 3整除，這就得出9個相同的數(shù)。矛盾！所以，無論經(jīng)過多少次操作，表中的數(shù)都不會變?yōu)椤纠?7】一個三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以 17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與余數(shù)的和.那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校【解析】 設(shè)這個三位數(shù)為s,它除以17和19的商分別為a和b,余數(shù)分別為m和n ,則s=17a

23、F = 9bW.根據(jù)題意可知 a +m =b +n ,所以s (a +m )=s (b +n ),即16a =18b ,得8a = 9b .所以a是9的 倍數(shù)，b是8的倍數(shù).此時，由 a+m = b+ n知n _m =a _b =a _8 a =1a .由于s為三位數(shù)，最小99為 100,最大為 999,所以 100M17a+mM999 ,而 1WmW16,所以 17a+ 1M 17i+m W 999 100 M17a+m M17a+16 ,得至U 5a 1 ,所以此時s最小為17M9 + 1 =154.所以這樣的三位數(shù)中最大的是930,9最小的是154 .【答案】最大的是 930 ,最小的是154【例18】從1 , 2, 3,n中，任取57個數(shù)，使這57個數(shù)必有兩個數(shù)的差為 13,則n的最大值為多 少？【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】西城