高中數(shù)學(xué)常用公式、結(jié)論、方法集錦22（終結(jié)版）

1、高二（下）部分1.等角定理：內(nèi)容：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.角相等的證明方法：利用等角定理及其推論；利用三角形全等或相似；利用平行直線的性質(zhì)；對頂角相等.2.斜二測畫法結(jié)論：直觀圖的面積（或體積）是原實(shí)物圖面積（或體積）的倍.3.異面直線： （1）所成角（或夾角）：范圍是，要點(diǎn)是平移、構(gòu)三角形.（2）兩條異面直線垂直（）沒有公共點(diǎn).（區(qū)分相交垂直和異面垂直）（3）證明方法：定義法；反證法；判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直

2、線.（4）距離：兩條異面直線的公垂線段（只有一條?。?和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線.4.直線和平面平行：（1）判定定理：如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（線線平行線面平行）符號表示：，.（2）性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（線面平行線線平行）符號表示：，.5.面面平行：（1）判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.（線面平行面面平行）符號表示：，=A，.推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

3、，那么這兩個(gè)平面平行. （線線平行面面平行）（2）性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.（面面平行線線平行）符號表示：，.（3）其它結(jié)論：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線均平行于另一個(gè)平面；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，那么另一條直線也平行于這個(gè)平面；夾在兩個(gè)平行平面間的兩條平行線段相等.6.線線平行的證明方法：（1）利用同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）線線平行的定義：共面二直線無交點(diǎn)；（3）平行直線的傳遞性：，（公理4）；（4）線面平行的性質(zhì)定理：線面平行線線平行；（5）面面平行的性質(zhì)定理：面面平行線線平行；

4、（6）線面垂直的性質(zhì)定理：線面垂直線線平行.7.線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義：線面沒有公共點(diǎn)；（2）線面平行的判定定理：線線平行線面平行；（3）性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線均平行于另一個(gè)平面；（4）性質(zhì)：平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，那么另一條直線也平行于這個(gè)平面；線線平行線面平行面面平行8.面面平行的證明方法：（1）面面平行的定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)；（2）面面平行的判定定理：線面平行面面平行；（3）定理：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（4）平面平行的傳遞性：，；（5）面面平行判定定理的推論：線線平行面面平行.9.線面垂直：（1）定義：如果

5、一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直.（2）判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.（線線垂直線面垂直）（3）性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行（線面垂直線線平行）符號表示：，.（4）其它結(jié)論：過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直；如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.（ab，ab）如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.（線面垂直線線垂直）10.三垂線定理及其逆定理：（1）在一個(gè)平面內(nèi)，如果平面內(nèi)

6、的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么這條直線也和這條斜線垂直；（2）在一個(gè)平面內(nèi)，如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么這條直線也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直.符號語言：設(shè)是平面的斜線，是在內(nèi)的射影，直線，則.11.（1）射影長定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短.（2）最小角定理：2BCOA1斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角.（3）三余弦定理：設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BCAC，垂足為C，

7、又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為，則（4）從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點(diǎn)A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上.（5）面積射影定理：設(shè)多邊形的面積為，它在一個(gè)平面上的射影面積為，若多邊形所在的平面與這個(gè)平面所成的二面角為，則有.12.面面垂直：（1）定義：如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直.（2）判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.符號語言：AB，AB，則.（3）性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.符號語言：，CD，A

8、B，ABCD，則AB.（4）其它結(jié)論：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)；兩條平行直線和同一個(gè)平面所成的角相等；一條直線和兩個(gè)平行平面所成的角相等；三個(gè)兩兩互相垂直的平面的交線兩兩垂直.13.線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義：直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）線面垂直的判定定理：線線垂直線面垂直；（3）性質(zhì)：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面；（4）性質(zhì)：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線垂直于另一個(gè)平面；（5）面面垂直的性質(zhì)定理：面面垂直線面垂直.14.線線垂直的證明方法：（1）利用定

9、義：相交（或異面）成直角；（2）性質(zhì)：線面垂直線線垂直；（3）三垂線定理及其逆定理；線線垂直線面垂直面面垂直15.面面垂直的證明方法：（1）判斷二面角是直二面角；（2）面面垂直的判定定理：線面垂直面面垂直.16.二面角的平面角的作法（或二面角大小的求法）：范圍001800.（1）定義法（垂面法）；（2）三垂線法；（3）向量法：二面角的平面角（，為平面、的法向量）或（4）射影面積法（公式法）：17.判定直線在平面內(nèi)的方法：（1）若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；（2）過一點(diǎn)與已知直線垂直的直線，都在過這點(diǎn)與已知直線垂直的平面內(nèi)；（3）過平面外一點(diǎn)與已知平面平行的直

10、線，都在過這點(diǎn)與已知平面平行的平面內(nèi)；（4）一直線平行于一平面，則過平面內(nèi)一點(diǎn)與已知直線平行的直線都在該平面內(nèi)；（5）兩平面垂直，過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).18.幾個(gè)距離：點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離、線面距離、面面距離、線線距離.（1）合理選點(diǎn)；（2）等面積法求點(diǎn)線距離、等體積法求點(diǎn)面距離；（3）異面直線的距離要求不高（）； （4）距離之間的相互轉(zhuǎn)化；（5）養(yǎng)成用向量求距離的意識.點(diǎn)Q到直線距離：（點(diǎn)在直線上，直線的方向向量，向量）異面直線間的距離：（、是兩異面直線，其公垂向量為，C、D分別是、上任一點(diǎn)，為、間的距離）點(diǎn)B到平面的距離：（為平面的法向量，AB是經(jīng)

11、過面的一條斜線，）.19.用向量方法求角：（1）直線AB與平面所成角：（為平面的法向量）.（2）線線角：見22.（3）面面角：見16（3）.20.空間向量運(yùn)算的運(yùn)算律：（1）加法交換律：；（2）加法結(jié)合律：；（3）數(shù)乘分配律：.21.（1）共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量、，存在實(shí)數(shù)使=.推論：P、A、B三點(diǎn)共線.（2）共面向量定理：向量與兩個(gè)不共線的向量、共面存在實(shí)數(shù)對、，使.推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)存在有序?qū)崝?shù)對、，使，或?qū)臻g一點(diǎn)O，有.A、B、C、D四點(diǎn)共面與、共面（平面ABC）.（3）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量、不共面，那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組、，使.

12、推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)、，使.22.數(shù)量積公式：.夾角公式：，范圍.射影長公式：已知向量=和軸，是（即）上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則23.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：（1）；（2）；（3）（R）；（4）；（5）=或；（6）.24.向量的坐標(biāo)（兩點(diǎn)間的距離公式）：設(shè)A，B，則；.25.向量的模、夾角公式：設(shè)，則：；cos.26.三個(gè)向量和的平方公式：.27.棱柱：（1）定義：有兩個(gè)面互相平行，其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行，這樣的多面體叫做棱柱.（2）分類：斜棱柱、直棱柱、正棱柱.（3）性質(zhì)：側(cè)棱都相等，

13、側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形.28.（1）直棱柱、正棱錐的側(cè)面積公式：（是直棱柱的側(cè)面積、是底面多邊形的周長、是直棱柱的高）（是正棱錐的側(cè)面積、是底面正多邊形的周長、是斜高）全面積等于側(cè)面積與底面積之和.（2）棱柱、棱錐的體積公式：（是棱柱的底面積、是棱柱的高）（是棱柱的直截面面積、是棱柱的側(cè)棱長）（是棱錐的底面積、是棱錐的高）（3）正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)cos=S底.（4）若長方體的體對角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2+cos2+cos2=1； 若長方體的體對角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面

14、所成的角分別為，則有cos2+cos2+cos2=2.（5）平行六面體：四條體對角線的平方和等于各棱的平方和.（6）長方體一條對角線的長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和.（7）棱錐的截面性質(zhì)定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積比等于對應(yīng)邊比的平方）；相應(yīng)小棱錐與原棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比29.（1）球的截面性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面；球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系：.（2）球的表面積，體積（

15、R是球的半徑）.此外，.（3）球面上兩點(diǎn)A、B間的距離求法：計(jì)算線段AB的長，計(jì)算球心角AOB的弧度數(shù)；用弧長公式計(jì)算劣弧AB的長.（區(qū)分大圓、小圓）30.球的組合體：（1）球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.（2）球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長；正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長；正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.（3）球與正四面體的組合體：棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為.31.兩個(gè)基本原理：（1）分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：；（2）分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：.32.排列數(shù)公式：=（、N*，且）注：規(guī)定.33.排

16、列恒等式：（1），；（2）；（3）；（4）.34.組合數(shù)公式（組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系）：=（N*，）.35.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）=；（2）+=，=.注:規(guī)定.36.組合恒等式：（1）；（2）；（3） ，；（4）；（5）；（6）.37.解排列組合問題分清“分類”與“分步”，“排列”與“組合”之分，方法有：相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法，多排問題單排法，定位問題優(yōu)限法，定序問題用除法，多元問題分類法，分配分堆問題縮倍法，至多至少問題排除法，名額安排隔板法，涂色問題分類法等.38.不定方程的解的個(gè)數(shù)：（1）方程（）的正整數(shù)解有個(gè)；（2）方程（）的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).39.二項(xiàng)式定理：；二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式.特別的，.（1）區(qū)分系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)；（2）賦值法；（3）二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是展開式中的中間一項(xiàng)（為偶數(shù)）或中間兩項(xiàng)（為奇數(shù)）.40.一般地，對于多項(xiàng)式，（1）的二項(xiàng)式系數(shù)的和為；（2）的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）的各項(xiàng)的系數(shù)和為；（4）的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；（5）的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為.41.近似求值：一般是取展開式的前三項(xiàng).特別的，；更精確，.42.等可能性事件的概率：.注：任何事件A有.43.（1）互斥事件A、B分別發(fā)生的概率的和：P（AB）= P（A）P（B）；（2）個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和：P（A1A2An）= P（A1）P（A2）P（An